数乘向量(1).doc

高中数学（上册）教案 第六章《平面向量》第4课时 保康县职业高级中学：洪培福
课 题：6.2向量的加法与减法 数乘向量--数乘向量(1)
教学目的：1.掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；
2.掌握实数与向量的积的运算律；
教学重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律
教学难点：实数与向量的积的定义
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法
2.向量的减法向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差即：a - b = a + (-b)
二、讲解新课：
1．示例：已知非零向量，作出++和(-)+(-)+(-)
==++=3
==(-)+(-)+(-)=-3
（1）3与方向相同且|3|=3||；
（2）-3与方向相反且|-3|=3||
2．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ
（1）|λ|=|λ|||
（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=
3．运算定律 结合律：λ(μ)=(λμ) ①
第一分配律：(λ+μ)=λ+μ ②
第二分配律：λ(+)=λ+λ ③
结合律证明：
如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则①式成立
如果λ¹0，μ¹0，¹有：|λ(μ)|=|λ||μ|=|λ||μ|||
|(λμ)|=|λμ|| |=|λ||μ||| , ∴|λ(μ)|=|(λμ)|
如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与同向；
如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与反向. 从而λ(μ)=(λμ)
第一分配律证明：
如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则②式显然成立
如果λ¹0，μ¹0，¹
当λ、μ同号时，则λ和μ同向，
∴|(λ+μ)|=|λ+μ|||=(|λ|+|μ|)|| , |λ+μ|=|λ|+|μ|=|λ|||+|μ|||=(|λ|+|μ|)||
∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与同向, 即 |(λ+μ)|=|λ+μ|
当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λ同向；当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μ同向，且|(λ+μ)|=|λ+μ| ,∴②式成立
第二分配律证明：
如果=,=中至少有一个成立,或λ=0,λ=1,则③式显然成立
当¹，¹且λ¹0，λ¹1时
（1）当λ>0且λ¹1时在平面内任取一点O，
作,,λ,λ,则+,λ+λ,
由作法知,∥有ÐOAB=ÐOA1B1,||=λ||,
∴λ ∴△OAB∽△OA1B1
∴λ ÐAOB=Ð A1OB1
因此,O，B，B1在同一直线上,||=|λ|,与λ方向也相同,∴λ(+)=λ+λ
当λ<0时 可类似证明：λ(+)=λ+λ ∴ ③式成立
三、讲解范例：
例1计算下列各式:
(1); (2); (3).
解：(1)原式=;
(2)原式=;
(3)原式.
例2若3ｍ＋2ｎ＝ａ,ｍ－3ｎ＝ｂ,其中ａ,ｂ是已知向量,求ｍ,ｎ.
分析：此题可把已知条件看作向量ｍ、ｎ的方程，通过方程组的求解获得ｍ、ｎ.
解：记3ｍ＋2ｎ＝ａ ① ｍ－３ｎ＝ｂ ② 3×②得３ｍ－９ｎ＝３ｂ ③
①－③得11ｎ＝ａ－３ｂ. ∴ｎ＝ａ－ｂ④
将④代入②有：ｍ＝ｂ＋３ｎ＝ａ＋ｂ
评述：在此题求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律，从而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.
四、课堂练习：
1.设是未知向量,解方程.
2.如图,已知,说明向量与的关系.
五、小结:
通过本节学习，要求大家掌握实数与向量的积的定义，掌握实数与向量的积的运算律，理解两个向量共线的充要条件，并能在解题中加以运用.
六、课后作业：(P147练习6-2 T7, T8)
七、板书设计（略）
八、课后记：实数与向量的积的定义可以看作是数与数的积的概念的推广.启发学生在掌握向量加法的基础上，学习实数与向量的积的概念及运算律，引导学生从特殊归纳到一般.
在学习实数与向量的积的运算律时，应启发学生寻求其与代数运算中实数乘法的运算律的相似性，但应注意它们之间的区别，从而掌握实数与向量的积及其应用.
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