《2.2.3向量的数乘》同步练习.doc

《2.2.3向量的数乘》同步练习
情景切入
情景：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)(与已知向量a相比)．
思考：相加后和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？

分层演练
基础巩固
1．设λ、μ∈R，下面叙述不正确的是(　　)
A．λ(μa)＝(λμ)a
B．(λ＋μ)a＝λa＋μa
C．λ(a＋b)＝λa＋λb
D．λa与a的方向相同(λ≠0)

答案：D

2．|a－b|＝|a|＋|b|(b≠0)成立的等价条件是(　　)
A．b＝λa且λ∈(－∞，0)　　B．a＝λb且λ∈[0，＋∞)
C．b＝λa且λ∈(－∞，0] D．a＝λb且λ∈(－∞，0]

答案：D

3．在△ABC中，D是BC边的中点，E是AD的中点，若＝m＋n，则m＋n＝________.

解析：如图，＝－
＝－
＝(＋)－
＝－＋
＝－＋
＝－＋(－)
＝－＋.
∴m＝－，n＝
∴m＋n＝－.
答案：－

4．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是________．

答案：共线

5．若a，b是已知向量，且(3a－2c)＋4＋a＋6b＝0，则c＝________.

答案：－6(a＋b)

6．已知向量a、b不共线，实数x、y满足等式5xa＋(8－y)b＝4xb＋3(y＋9)a，则x＝________，y＝________.

答案：3 －4

7．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若－2 015＋2 014＝0，则＝________.

答案：2014

8．代简，－＝________.

答案：0

9．已知＝a，＝b，C为上距A较近的一个三等分点，D为上距C较近的一个三等分点，则用a，b表示的表达式为＝________.

答案：

能力升级
10．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则＝(　　)
A．2－ B．－＋2
C.－ D．－＋

答案：A

11．已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)
A．A、B、D B．A、B、C
C．B、C、D D．A、C、D

解析：∵＝a＋2b，＝＋＝2a＋4b＝2，
∴A、B、D三点共线．
答案：A

12．向量＝a，＝b，a、b不共线，则∠AOB的平分线可表示为(　　)
A.＋ B.
C. D．λ(λ由||确定)

解析：因与均是单位向量，∴以这两个向量为邻边的平行四边形是菱形，而菱形的对角线平分对角．∴只有D项才表示∠AOB的平分线向量．
答案：D

13．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
解析：是与同向的单位向量，是与同向的单位向量．以A为共同起点，以这两个单位向量为邻边作出菱形AB0P0C0，则它们的和向量＋即菱形的对角线所确定的以A为起点的向量，同时由菱形的对角线平分一组对角知AP0平分∠BAC.λ＝λ(λ≥0)，与以A为起点的AP0同向的向量＝－＝λ(λ≥0)，故P的轨迹是∠BAC的平分线(含A)．故通过内心．

答案：B

14．过△ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D，E，若＝x，＝y，xy≠0，则＋的值为________．

解析：不妨设过△ABC的重心所作直线与BC平行，则＝，＝，故x＝y＝，所以＋＝＋＝3.
答案:3

15．已知非零向量e1，e2不共线，且＝e1＋e2，＝ke1＋ 8e2，＝3(e1－e2)．若A、B、D三点共线，试确定实数k的值．

解析：∵B＝B＋C
＝ke1＋8e2＋3(e1－e2)
＝(k＋3)e1＋5e2.
∵A、B、D三点共线，
∴存在唯一实数λ，使得A＝λ，
即e1＋e2＝λ[(k＋3)e1＋5e2]，
即[λ(k＋3)－1]e1＝(1－5λ)e2.
又e1，e2不共线，∴则
∴k＝2.

16．设a，b是不共线的两个非零向量．
(1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A，B，C三点共线；
(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值．

(1)证明：∵＝－＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，而＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2a－4b＝－2，
∴与共线，且有公共端点B.
∴A，B，C三点共线．
(2)解析：∵8a＋kb与ka＋2b共线，
∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)．
∴(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.
∵a与b不共线，
∴∴8＝2λ2.∴λ＝±2.∴k＝2λ＝±4.

17．如右下图所示，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，M是AB的中点，点N是BD上一点，|BN|＝|BD|.

求证：M、N、C三点共线．

证明：∵＝a，＝b，
∴＝－＝a－b.
∴＝＋＝b＋＝b＋(a－b)＝a＋b＝(2a＋b)．
又∵＝＋＝b＋a＝(2a＋b)，
∴＝3.
∴与共线．
又与有共同起点，∴M、N、C三点共线．

18．设平面上不在一直线上的三点为O、A、B，证明：当实数p，q满足＋＝1时，连接p，q两个向量终点的直线通过一个定点．

证明：方法一(构造法一)
设＝p，＝q，其中C′为直线A′B′上任意一点，
则＝λ＋μ＝λp＋μq(λ＋μ＝1)．
∵＋＝1，令λ＝，μ＝，

则＝＋＝，其中C点是以OA、OB为邻边的平行四边形的另一顶点，显然C为定点，故满足要求．
方法二(构造法二)
如图所示，＝＋λ＝＋λ·(－)＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)p＋λq.
∵＋＝1，∴令1－λ＝，λ＝，
显然满足1－λ＋λ＝＋＝1，＝＋，
∴C′为定点．