三角函图像及性质1.doc

三角函数的图像与性质

1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：
正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：
(0,0) (,1) (p,0) (,-1) (2p,0)
余弦函数y
x
o
1
-1
y=cosx xÎ[0,2p]的五个点关键是
(0,1) (,0) (p,-1) (,0) (2p,1)
3．定义域：
正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］，
分别记作： y＝sinx，x∈R y＝cosx，x∈R
4．值域
正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］
其中正弦函数y=sinx,x∈R
①当且仅当,k∈Z时，取得最大值1
②当且仅当，k∈Z时，取得最小值－1
而余弦函数y＝cosx，x∈R
①当且仅当，k∈Z时，取得最大值1
②当且仅当，k∈Z时，取得最小值－1
5．周期性
正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π
6．奇偶性
y＝sinx为奇函数，y＝cosx为偶函数
正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称

7 .对称轴与对称中心：
的对称轴为，对称中心为；
的对称轴为，对称中心为；

2.三角函数的单调区间：
的递增区间是，
递减区间是；
的递增区间是，
递减区间是，
的递增区间是，
3.函数
最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。

对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。

例1 函数的图象的一条对称轴方程是（ ）
A． B． C． D．

例2 把函数y=cos（x+）的图象向左平移个单位，所得的函数为偶函数，则的最小值是
A. B. C. D.
解：先写出向左平移4个单位后的解析式，再利用偶函数的性质求解.
向左平移个单位后的解析式为y=cos（x++），
则cos（－x++）=cos（x++），
cosxcos（+）+sinxsin（+）=cosxcos（+）－sinxsin（+）.
∴sinxsin（+）=0，x∈R.
∴+=kπ.∴=kπ－＞0.
∴k＞.∴k=2.∴=.
答案：B
例3 试述如何由y=sin（2x+）的图象得到y=sinx的图象.
解：y=sin（2x+）

另法答案：
（1）先将y=sin（2x+）的图象向右平移个单位，得y=sin2x的图象；
（2）再将y=sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得y=sinx的图象；
（3）再将y=sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到y=sinx的图象.

例4 求下列函数的单调区间：
y=sin（－）；
解：y=sin（－）=－sin（－）.
故由2kπ－≤－≤2kπ+
3kπ－≤x≤3kπ+（k∈Z），为单调减区间；
由2kπ+≤－≤2kπ+
3kπ+≤x≤3kπ+（k∈Z），为单调增区间.
∴递减区间为［3kπ－，3kπ+］，
递增区间为［3kπ+，3kπ+］（k∈Z）.

1．将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y＝sin(x－)的图象，则φ等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D.将函数y＝sinx向左平移φ(0≤φ<2π)个单位得到函数y＝sin(x＋φ)．在A、B、C、D四项中，只有φ＝π时有y＝sin(x＋π)＝sin(x－)．

2．函数f(x)＝3sin(2x－)的图象为C，下列结论中正确的是(　　)
A．图象C关于直线x＝对称
B．图象C关于点(－，0)对称
C．函数f(x)在区间(－，)内是增函数
D．由y＝3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C
解析：选C.选项A错误，由于f()＝0≠±3，故A错．选项B错误，由于正弦类函数图象的对称点是图象的平衡点，因为f(－)＝3sin(－2×－)＝－，所以(－，0)不在函数图象上．此函数图象不关于这点对称，故B错误．选项C正确，令u＝2x－，当－<x<时，－<u<，由于y＝3sinu在(－，)上是增函数，所以选项C正确．选项D错误，由于y＝3sin2x的图象向右平移个单位得y＝3sin2(x－)即y＝3sin(2x－)的图象而不是图象C.综上，本题选C.

4
O
x
y
2

3、已知函数的一部分图象如下图所示，如果，则( )
A. B.
C. D.

4．若函数的图象（部分）如图所示，则的取值是 （ ）
A．
B．
C．
D．

5．（1）将函数的周期扩大到原来的2倍，再将函数图象左移，得到图象对应解析式是 （ ）

（2）若函数图象上每一个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的两倍，然后再将整个图象沿轴向右平移个单位，向下平移3个单位，恰好得到的图象，则__________
（3）先将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象作关于轴的对称变换，则所得函数图象对应解析式为___________

6．函数的图象向右平移（）个单位，得到的图象关于直线对称，则的最小值为 （ ）
以上都不对
略解：平移后解析式为，图象关于对称，
∴（），∴（），∴当时，的最小值为．

2

0
7．已知函数（）的一段图象如下图所示，求函数的解析式．
解：由图得，∴，∴，
∴，又∵图象经过点，
∴，∴（），
∴，∴函数解析式为．

8．求下列函数的定义域：
（1）；（2）；（3）．
解：（1）由，得，∴．
∴的定义域为．
（2）∵，∴．即的定义域为．
（3）由已知，得，
∴，
∴原函数的定义域为．

9．判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）．

解：(1)∵的定义域为，∴定义域关于原点对称，
又∵，∴为偶函数．
（2）∵的定义域为不关于原点对称，∴为非奇非偶函数．

10．函数的图象如图所示，其中A>0,ω>0，0<<，求它的解析式。

10 若函数（）的最小值为，周期为，且它的图象过点，求此函数解析式

11．设定义域为的奇函数是减函数，若当时，，求的值．
解：∵是奇函数，∴，原不等式可化为
，即．
∵是减函数，∴，
即，.
∵，∴．
当即时，成立；
当时，，即成立；
当时，，即．
综上所述，的取值范围是．