资源描述
第一讲、分式的认识
【引入】（1）面积为3m2的长方形，一边长4m，则它的另一边长为多少？
（2）面积为Sm2的长方形，一边长am，则它的另一边长为多少？
（3）一箱葡萄售价为a元，总量m千克，箱重n千克，则每千克葡萄的售价是多少？
【知识归纳】
1、整式和分式统称有理数，即有理式（整式包含单项式和多项式，单项式：只含有数与字母的积的代数式；多项式：几个单项式的和；）
2、分式的定义：如果A、B是两个整式，并且B中含有字母，B≠0，那么式子叫做分式．
其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母．
分式是不同于整式的另一类式子，如等都是分式；且字母可以表示不同的数，因此分式比分数更具有一般性；
3、分式有意义的条件：第一，B中含有字母；第二，B≠0．
4、分式值为0的条件：当A=0时且满足B≠0时才会有=0．
【例题解析】
例1：下列各式中哪些是整式？ 哪些是分式？
①； ②； ③； ④． （5）
例2：当x取什么值时，下列分式有意义？
①； ②； ③
例3：确定字母的取值,使分式值为0： （1）、 ； （2） ； （3）
【轻松一练】
一、选择题:
1.下列各式中,是分式的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.当x=-3时,在下列各分式中,有意义的有( )
(1).
A. 只有(1); B. 只有(4); C.只有(1)、(3); D.只有(2)、(4)
3、为任意实数时，分式一定有意义的是 （ ）
A． B． C． D．
4、若分式 无意义,则( )
A.x=1 B.x=-1; C.x=1或-1 D.没有这样的实数
5.对于分式 的变形永远成立的是( )
A.; B.; C.; D.
6、要使分式的值为零，则x的取值为（ ）
A．x=1 B．x=-1 C．x≠1且x≠-2 D．无任何实数
二、填空题:
1.不改变分式的值,使分式的首项分子与分式本身都不含“-号:=________;=___________.
2.当x________时, 有意义.
3.当a=_______时,分式 的值为零.
4.当分式=-1时,则x__________.
5、已知x=2时，分式的值为零，则k=
6.小明参加打靶比赛,有a次打了m环,b次打了n环, 则此次打靶的平均成绩是________环.
三、解答题
1、给出4个整式：2，x+2，x-2，2x+1．
（1）从上面的4个整式中选择2个整式，写出一个分式；
（2）从上面的4个整式中选择2个整式进行运算，使运算结果为二次三项式．请你列出一个算式，并写出运算过程．
2、当x的取值范围是多少时，
（1）分式 有意义；（2）分式 值为负数．
3、已知 ，x取哪些值时：
（1）y的值是正数；（2）y的值是负数；（3）y的值是零；（4）分式无意义．
4、已知2+ =22× ，3+ =32× ，4+ =42× ，…，若10+ =102× （a，b为正整数），则a+b=_________.
第二讲、分式的约分和分式的通分
【知识归纳】
1、分数的基本性质：分数的分子与分母都同乘以（或除以）一个不等于0的数，分数的值不变．
2、分式的基本性质：分式的分子与分母都同乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变．
如果A、B、M是整式，=，=（其中M是不等于零的整式）．
注意：分式中的A，B，M三个字母都表示整式，其中B必须含有字母，除A可等于零外，B，M都不能等于零.因为若B=0，分式无意义；若M=0，那么不论乘或除以分式的分母，都将使分式无意义.
3、约分：利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做约分；:根据分式的基本性质：分子、分母都要同除以最大公约式．
最大公约式：①系数取最大公约数；
②字母取相同字母；
③相同字母取最低次幂．
4、最简分式：经过约分后，分子和分母没有公因式的分式，叫做最简分式；
注意：一般分式的约分，都要是所得结果成为最简分式或整式；（一找公因式要找全，二约分要彻底）
5、通分：利用分式的基本性质，分子分母同时乘以适当的整式，不改变分式的值，使异分母分式化为同分母分式的过程，这样的分式变形叫做分式的通分；
通分的关键是要确定各分式的公分母，各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，即为最简公分母．
最简公分母的条件：①系数取最小公倍数；
②字母取所有字母；
③取所有字母的最高次幂．
注意：为确定最简公分母，通常先将各分母分解因式．
【例题解析】
【轻松一练】
一、 选择题:
1．若分式中的x、y的值都变为原来的3倍，则此分式的值( ).
A、不变 B、是原来的3倍 C、是原来的 D、是原来的
2．化简的结果是（ ）.
A、 B、 C、 D、
3．式子2a¸的运算结果为( ).
A、 B、 C、 a D、 4a
4. 下列各式计算正确的是( )
A.; B. C.; D.
5.下列分式中,最简分式是( )
A. B. C. D.
6.已知x为整数,且分式的值为整数,则x可取的值有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题:
1、当x 时，分式有意义. 当x 时，分式的值为零.
2、化简：-3xy·= .
3.计算a2÷b÷÷c×÷d×的结果是__________.
4.若代数式有意义,则x的取值范围是__________.
三.约分:
(1); (3).
四.通分:
（1） （2）
五、解答题
1、从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并将它化简：x2-4xy+4y2，x2-4y2，2x-4y．
2、 若分式的值为0，则b的值是多少？
3、若分式 的值为正数,求n的取值范围.
第三讲 分式的乘除法运算
【知识归纳】
1、分式乘除法性质
（1）乘法法则：分式乘分式 ，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。即：
（2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘；
用式子表示为：
2.分式的乘方
1.分式乘方法则用式子表示是： (n是正整数,b≠0)
注意：分式乘方要把分子分母分别乘方；
2.
3.分式乘除,乘方混合运算时,要先乘方,再化除为乘,最后进行约分并把结果化成最简分式或整式。
正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．
【例题解析】
例1：⑴ （2）×； （3）；
例2：（1） （2） （3）
例3、（1） （2）； （3）÷（）2.
【轻松一练】
一、选择题：
1.下列计算中，正确的是 （ ）
A．·= B．÷= C．÷=1 D．÷=
2、化简等于（ ）
A、1 B、xy C、 D、
3.与÷÷的运算结果相同的是 （ ）
A．÷÷÷ B．÷×（÷） C．÷÷· D．÷×（÷）
4、下列计算正确的是（ ）
A、x÷y• =x B、x•y÷x•y=1 C、 D、
5、化简的结果是（ ）
A、-x-1 B、-x+1 C、- D、
二、算一算
（1）× （2） ÷ （3）÷（）．
（4）（）3； （5）（)÷()2； （6）·；
（7） ·； （8）·． （9）（-）3·（）3÷（-）
三、解答题
1、先化简，再求值
(1)，其中a=1; (2) ,其中x=3．
2、 解方程组：，并求的值；
3、的值是多少？
【小试牛刀】
观察下列计算： … …
从计算结果中找规律，利用规律性计算：
＝ ；
第四讲、 分式加减法间的运算
【知识归纳】
同分母分数的加减法：同分母的分数相加减，分母不变，把分子相加减．
异分母分数相加减，先通分，变为同分母分数，然后再加减．
1、同分母分式的加减法法则：分母不变，把分子相加减．表示为。
注意：同分母分数的加减法法则是与同分母分式的加减法法则基本上是一致的，其中只有一字之差，一个是数，一个是式．
2、异分母分式的加减法法则：先通分．变为同分母的分式后再加减．表示为：。
【例题解析】
例1：（1） （2） （3）+；
例2 ：（1）＋； （2）+． （3）a+2+．
【轻松一练】
一、选择题：
1、计算 的结果是（ ）
A、 B、 C、-1 D、2
2、化简的结果是（ ）
A、a+b B、a-b C、a2-b2 D、1
3、计算 的结果为（ ）
A、 B、 C、 D、
4、分式a-b+的值为 （ ）
A． B．a+b C． D．以上都不对
5、计算的结果为（ ）
A、a-1 B、-a-1 C、1-a D、a+1
6、化简 的结果是（ ）
A、-2a-b B、b-2a C、2a-b D、b+2a
二、填空题：
1.计算 ；
2.+-＝ ；
3.若 ,则M=___________.
4.不改变分式的值,把分式 中分子、分母各项系数化成整数为________.
三、计算下列各题：
⑴＋； ⑵-x-1
⑶ -； （4）＋－；
四、 解答题
1.已知a+=6,求的值.
2、 已知分式： ．（x≠±1）．下面三个结论：
①A，B相等，②A，B互为相反数，③A，B互为倒数，请问哪个正确？为什么？
3.已知x=2,y=,求 的值.
【小试牛刀】.
阅读下列题目的计算过程:
① ，
=x-3-2(x-1) ②
=x-3-2x+2 ③
=-x-1 ④
(1)上述计算过程,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号:______.
(2)错误的原因是__________.
(3)本题目的正确结论是__________.
第五讲 整数指数幂的性质
【知识归纳】
1、当m,n是正整数时，
（1） a·a＝a； （2）（a）＝a； （3）（ab）＝a b ．
（4）a÷a＝a．（m＞n， a≠0）； （5） (b≠0)（分式乘方法则）.
2.零指数幂与负整指数幂
（1），即：任何不等于零的数的零次幂都等于1.
注意： 零的零次幂无意义。
（2）；即： 任何不等于零的数的－n （n为正整数）次幂，等于这个数的 n 次幂的倒数.即可表示为：。
注意：正整数的运算性质可推广到全体整数。
3. 科学计数法
利用10的正整数次幂，把一个绝对值大于10的数表示成 a×10n的形式，其中n是正整数，1≤∣a∣＜10.
例如，864000可以写成8.64×105.
类似地，我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，1≤∣a∣＜10.
例如，0.000021可以表示成2.1×10-5.
【例题解析】
例1：（1）3-3； （2） （3）
（4）
例2： 用科学计数法表示下列各数：
0.00002， 0.000023， 234000， -32000000， -0.00000102.
例3：计算：
(1)（2×105）×（2.5×104）； （2）（4×108）÷（102）3
例4：判断下列等式是否正确？为什么？
【轻松一练】
一、 选择题
1、下列说法正确的是（ ）
A、a2•b3=a6 B、5a2-3a2=2a2 C、a0=1 D、（2）-1=-2
2、下列运算正确的是（ ）
A、4x6÷（2x2）=2x3 B、2x-2= C、（-2a2）3=-8a6 D、
3、计算-22+（-2）2-（- ）-1的正确结果是（ ）
A、2 B、-2 C、6 D、10
4、下列各式：①（- ）-2=9；②（-2）0=1；③（a+b）2=a2+b2；④（-3ab3）2=9a2b6；⑤3x2-4x=-x．其中计算正确的是（ ）
A、①②③ B、①②④ C、③④⑤ D、②④⑤
二、计算：
(1) (3×10-8)×(4×103) (2) (2×10-3)2÷(10-3)3
(3) (4)
(5) (6)
三、填空：
① ②
③ ④
⑤ ⑥
四、用科学记数法表示下列各数：
①1236500=___________ ②-379001=______________
③378000=______________ ④5760000000=______________
⑤0．000 04=___________ ⑥ -0. 034=___________
⑦0. 003 009=___________ ⑧ -0.00001096=___________
五、解答题
1、计算（1）、|-3|+（1- ）0+ -（ ）-2 （2）、（π-3）0-（-1 ）3-2-2+（）3
2、 先化简，再求值：其中a=5,b=-3
第六讲 分式方程
【分式方程定义】
1、分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫分式方程；
例1. 判断下列各式哪个是分式方程。
（1） （2） (3) (4)
例2.在中，哪个是方程的解，为什么？
【可化为一元一次方程的分式方程】
1.分式方程通过去分母、整理最后可以化简得到一个一元一次方程的分式方程，叫做可化为一元一次方程的分式 方程；
例1：（1）； （2）（可化为一元一次方程的分式方程吗？）
【分式方程的解法】
1、解分式方程常用的方法：（1）拆项法；（2）去分母法；（2）换元法；
2、解分式方程 （1）能化简的先化简；----化
(2)方程两边同乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程；-----约
(3)解整式方程；------解
（4）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。--------验
3、增根 在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为０或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根。
如何验根：只要把求得的x的值代入所乘的整式(即最简公分母)，若该式的值不等于零，则是原方程的根；若该
式的值为零，则是原方程的增根。此时原分式方程无解。
例1：解分式方程
解：方程两边同乘最简公分母,
得整式方程
解整式方程，得
检验：将x=1代入原方程，可知x=1使分式方程两边的分式分母均为零，这两个分式没意义，
因此x=1不是原分式方程的解.
∴原方程无解．
例2、（1） （2）
两边同时乘以最小公倍数 得： 两边同时乘以最简公分母 得：
（ ）（ ）
例3、（09年上海中考）用换元法解分式方程 时，如果设 =y，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（ ）
A、y2+y-3=0 B、y2-3y+1=0 C、3y2-y+1=0 D、3y2-y-1=0
例4、（2005•宿迁）若关于x的方程 有增根，则m的值是（ ）
A、3 B、2 C、1 D、-1
例5. 若关于x的方程有增根，求m的值
分析：若原分式方程有增根，则增根只能是x=1或x=2，通过把x=1或x=2代入由原分式方程所化成的整式方程，即可求出m的值。
解：将原分式方程去分母，化为整式方程，得
， ①
因为分式方程有增根，只能是x=1或x=2，
把x=1代入①，得；把x=2代入①，得。
所以m的值为或。
【轻松一练】
一、1、下列关于x的方程中，是分式方程的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、下列式子不属于分式方程的是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、若分式方程 无解，则m值为（ ）
A、1 B、0 C、-1 D、-2
4、（2007•山西）关于x的方程： 的解是负数，则a的取值范围是（ ）
A、a＜1 B、a＜1且a≠0 C、a≤1 D、a≤1且a≠0
5、（2011鸡西）分式方程 有增根，则m的值为（ ）
A、0和3 B、1 C、1和-2 D、3
二、解方程：
（1）＝1； （2）； （3） =2；
（4） = （5）+=2 （6）=1
（7） （8） (9) .
三、填空题
1.当m=________时，方程有增根。
2.若关于的方程无解, 则的值为 ；
3.若关于的方程无解, 则的值为 ；
四、解答题
1.关于的方程有增根，求的值。
2. 若关于的分式方程的解为正数,求的取值范围。
3、a为何值时，分式方程 无解．
第七讲 分式的实际应用
【知识归纳】
1、列方程解应用题 (1)审； (2)设； (3)列； (4)解； (5)答．
2、应用题基本公式有四种：
(1)行程问题：路程=速度×时间．
(2)数字问题：掌握十进制数的表示法．
(3)工程问题：工作量=工时×工效．
(4)顺水逆水问题： v顺水=v静水+v水； v逆水=v静水-v水．
【例题解析】
例1：（2011•南平）某商店销售一种玩具，每件售价92元，可获利15%，求这种玩具的成本价．设这种玩具的成本价为x元，依题意列方程正确的是（ ）
A、 =15% B、 =15% C、92-x=15% D、x=92×15%
例2、为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场.现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；
信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍.
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？
解：设甲工厂每天加工x件产品，则乙工厂每天加工1.5x件产品，依题意得
解得:x=40
经检验：x=40是原方程的根，所以1.5x=60
答：甲工厂每天加工40件产品，乙工厂每天加工60件产品.
【中考真题演练】
1、货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同,已知小车每小时比货车多行驶20千米,求两车的速度各多
少?设货车的速度为千米/小时,依题意列方程正确的是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2、（2011•长春）小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为2800米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的4倍，骑自行车比步行上学早到30分钟．设小玲步行的平均速度为x米/分，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、（2010•青海）某施工队挖掘一条长90米的隧道，开工后每天比原计划多挖1米，结果提前3天完成任务，原计划每天挖多少米？若设原计划每天挖x米，则依题意列出正确的方程为（ ）
A、 B、 C、 D、
4、（2011•青岛）某车间加工120个零件后，采用了新工艺，工效是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用1小时，采用新工艺前每小时加工多少个零件？若设采用新工艺前每小时加工x个零件，则根据题意可列方程为
5、某商店经销一种商品，由于进货价降低了6.4%，使得利润率提高了8%，那么原来经销这种商品的利润率是多少？
6、某车间加工1200个零件后，采用了新工艺，工作效率是原来的1.5倍，这样加工同样零件就少用10 h，求采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件？
7、市政工程公司修建一段6000米长的河岸，修了30天后，从有关部门获知汛期将提前，公司决定增派施工人员以加快进度，工效比原来提高了20%，工程恰好比原计划提前5天完工. 求该公司完成这项工程实际的天数.
8、甲、乙两地相距360km，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地间行驶的长途客车的速度提高了50%，从甲地到乙地的时间缩短了2 h，求原来的平均速度 。
第八讲 分式单元小测
一、选择题：（每小题2分，共20分）
1．下列各式：，，，，，中，是分式的共有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2．下列判断中，正确的是（ ）
A．分式的分子中一定含有字母 B．当B＝0时，分式无意义
C．当A＝0时，分式的值为0（A、B为整式） D．分数一定是分式
3．下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列各分式中，最简分式是（ ）
A． B． C． D．
5．化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
6．若把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．缩小6倍
7．A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则的值是（ ）
A． B.7 C.1 D.
9．一轮船从A地到B地需7天，而从B地到A地只需5天，则一竹排从B地漂到A地需要的天数是（ ）
A．12 B.35 C.24 D.47
10．已知，且，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
二、填空题：（每小题3分，共24分）
11．分式当x _________时分式的值为零，当x ________时,分式有意义．
12．利用分式的基本性质填空：
（1） （2）
13．分式方程去分母时，两边都乘以 ．
14.要使的值相等，则＝__________.
15.计算：__________．
16. 若关于x的分式方程无解，则m的值为__________.
17.若分式的值为负数，则x的取值范围是__________．
18. 已知，则的值为______.
三、解答题：（共56分）
19.计算：
（1） （2） （3）
（4）3xy2 （5） （6）
20. 计算：
21. 先化简，后求值：，其中
22、 解下列分式方程．
（1） （2）
23．已知为整数，且为整数，求所有符合条件的x的值．
24．先阅读下面一段文字，然后解答问题：
一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔301支以上（包括301支）可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款．现有学生小王购买铅笔，如果给初三年级学生每人买1支，则只能按零售价付款，需用元，（为正整数，且＞100）如果多买60支，则可按批发价付款，同样需用元．设初三年级共有名学生，则①的取值范围是 ；②铅笔的零售价每支应为 元；③批发价每支应为 元．（用含、的代数式表示）．
25．某工人原计划在规定时间内恰好加工1500个零件，改进了工具和操作方法后，工作效率提高为原来的2倍，因此加工1500个零件时，比原计划提前了5小时，问原计划每小时加工多少个零件？
26． A、B两地相距20 km，甲骑车自A地出发向B地方向行进30分钟后，乙骑车自B地出发，以每小时比甲快2倍的速度向A地驶去，两车在距B地12 km的C地相遇，求甲、乙两人的车速.
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