2016高三数学一轮复习--单调性与极值.doc

省扬高中高三数学一轮复习学案　函数与导数　　主备：　杨恒清
单调性与极值
【考点扫描】
1.函数单调性与导数的关系，A级要求；
2.利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)，B级要求；
3.函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，A级要求；
4.利用导数求函数的极大值、极小值，闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)，B级要求．
【知 识 梳 理】
1．函数的导数与单调性的关系
函数y＝f(x)在某个区间内可导，则
(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内 ．
(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内 ．
(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是 ．
极大值
函数y＝f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0，若在点x0附近左侧 ，右侧 ，则x0为函数的极大值点，f(x0)叫做函数的极大值
极小值
函数y＝f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0，若在点x0附近左侧 ，右侧 ，则x0为函数的极小值点，f(x0)叫做函数的极小值
2．函数的极值与导数
3. 函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的 ．
②将函数y＝f(x)的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值， 的一个是最小值．
【基础训练】
1.(2015·北京海淀区模拟)函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是________．
2．(苏教版选修2－2P34T8(2)改编)函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是________．
3．(2014·新课标全国Ⅱ卷改编)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是________．

考点一　利用导数研究函数单调性
【例1】 （1）已知，求函数的单调区间
（2）已知，讨论函数的单调性；
（3）已知，若f(x)在(1,2)上单调递减，求实数a的范围．

【训练1】 (2014·山东卷)设函数，其中a为常数．
讨论函数f(x)的单调性．

考点二　利用导数求函数的极值
【例2】 (2013·重庆卷)设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．
(1)确定a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．

【训练2】 设函数f(x)＝ax3－2x2＋x＋c(a＞0)．
(1)当a＝1，且函数图象过(0,1)时，求函数的极小值；
(2)若f(x)在R上无极值点，求a的取值范围．

考点三　利用导数求函数的最值
【例3】 (2014·江西卷)已知函数f(x)＝(4x2＋4ax＋a2)，其中a＜0.
(1)当a＝－4时，求f(x)的单调递增区间；
(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8，求a的值．

【训练3】 已知函数f(x)＝(x－k)ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．

【本课小结】

备用题一：已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围；
(3)函数f(x)能否为R上的单调函数，若能，求出a的取值范围；若不能，请说明理由．

备用题二：设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点．
(1)试确定常数a和b的值；
(2)试判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．

省扬高中高三数学一轮复习课时作业0830　　姓名　　　　
（一）师生互动：请写出你本节课的难点、疑点？还有哪些问题需要老师帮助？

（二）限时练习：
7．(2014·济南模拟)已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围是________．
解析　　f′(x)＝3x2＋1>0，∴f(x)在R上为增函数．
又f(x)为奇函数，由f(mx－2)＋f(x)<0知，f(mx－2)<f(－x)．∴mx－2<－x，即mx＋x－2<0，
令g(m)＝mx＋x－2，由m∈[－2,2]知g(m)<0恒成立，可得∴－2<x<.
答案　
1．函数y＝x2－ln x的单调递减区间为________．
解析　f(x)＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－＝，令f′(x)＞0，得x＞1，令f′(x)＜0，得0＜x＜1，所以f(x)的递增区间是(1，＋∞)，递减区间是(0,1)．
答案　(0,1)
2．(2015·扬州模拟)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________.
解析　由题意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，则
解得或
经检验当a＝1，b＝3时，函数f(x)在x＝－1处无法取得极值，而a＝2，b＝9满足题意，故a－b＝－7.
答案　－7
3．f(x)＝x3－12x，x∈[－3,3]的最大值为________，最小值为________．
解析　f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，
令f′(x)＝0，得x＝±2，
∵f(－3)＝9，f(3)＝－9，
f(－2)＝16，f(2)＝－16，
∴f(x)最大值为16，最小值为－16.
答案　16　－16
4．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围是________．
解析　∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.
∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，
则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，
∵x＞0时，－ex＜－1，∴a＝－ex＜－1.
答案　(－∞，－1)
5．(2013·福建卷改编)设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是________(填序号)．
①∀x∈R，f(x)≤f(x0)；
②－x0是f(－x)的极小值点；
③－x0是－f(x)的极小值点；
④－x0是－f(－x)的极小值点．
解析　①错，因为极大值未必是最大值；②错，因为函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称，－x0应是f(－x)的极大值点；③错，函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称，x0应为－f(x)的极小值点；④正确，函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，－x0应为y＝－f(－x)的极小值点．
答案　④
6．(2015·成都诊断)已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R)在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为________．
解析　由已知可得f′(x)＝2x－，
要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，只需当x≥2时，
f′(x)≥0恒成立，即2x－≥0，
则a≤2x3恒成立，又当x≥2时，2x3≥16，
故当a≤16时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数．
答案　(－∞，16]
7．已知函数f(x)＝xsin x，x∈R，则f(－4)，f，f的大小关系为________(用“<”连接)．
解析　∵f′(x)＝sin x＋xcos x，当x∈时，sin x<0，cos x<0，
∴f′(x)＝sin x＋xcos x<0，
则函数f(x)在区间上为减函数，
∵<4<，∴f<f(4)<f，
又函数f(x)为偶函数，∴f<f(－4)<f.
答案　f<f(－4)<f
8．若函数y＝x3－3ax在区间[1,2]上单调，则实数a的范围为________．
解析　y′＝3x2－3a＝3(x2－a)，
由题意x2－a＝0在(1,2)内无解．
即a＝x2，x∈(1,2)无解，
∵x∈(1,2)时，1＜x2＜4，
∴a＝x2无解的a范围为a≤1或a≥4.
答案　(－∞，1]∪[4，＋∞)
二、解答题
9．(2014·湘潭检测)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx＋c在点P(1，f(1))处的切线方程为y＝－3x＋1.
(1)若函数f(x)在x＝－2时有极值，求f(x)的解析式；
(2)函数f(x)在区间[－2,0]上单调递增，求实数b的取值范围．
解　f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，函数f(x)在x＝1处的切线斜率为－3，所以f′(1)＝－3＋2a＋b＝－3，
即2a＋b＝0　①，
又f(1)＝－1＋a＋b＋c＝－2得a＋b＋c＝－1　②.
(1)函数f(x)在x＝－2时有极值，所以f′(－2)＝－12－4a＋b＝0　③，由①②③解得a＝－2，b＝4，c＝－3，
所以f(x)＝－x3－2x2＋4x－3.
(2)因为函数f(x)在区间[－2,0]上单调递增，所以导函数f′(x)＝－3x2－bx＋b在区间[－2,0]上的值恒大于或等于零，则
得b≥4，所以实数b的取值范围是[4，＋∞)．
10．设函数f(x)＝x－－aln x(a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，记过点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))的直线的斜率为k，是否存在a，使得k＝2－a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝1＋－＝.
令g(x)＝x2－ax＋1，其判别式Δ＝a2－4，
①当|a|≤2时，Δ≤0，f′(x)≥0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②当a＜－2时，Δ＞0，g(x)＝0的两根都小于0，在(0，＋∞)上，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
③当a＞2时，Δ＞0，g(x)＝0的两根为x1＝＞0，x2＝＞1，
当0＜x＜x1时，f′(x)＞0；当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0；当x＞x2时，f′(x)＞0，
故f(x)在，上单调递增，在上单调递减．
(2)由(1)知，a＞2.
因为f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋－a(ln x1－ln x2)，
所以k＝＝1＋－a·，
又由(1)知，x1x2＝1，
于是k＝2－a·，
若存在a，使得k＝2－a，则＝1，
即ln x1－ln x2＝x1－x2，
即x2－－2ln x2＝0(x2＞1)，(*)
令h(t)＝t－－2ln t，t＞1，
易知函数h(t)＝t－－2ln t在(1，＋∞)上单调递增，则h(t)＞h(1)，即x2－－2ln x2＞1－－2ln 1＝0.
这与(*)式矛盾．故不存在a，使得k＝2－a.
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
1．(2014·泰州检测)函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是________．
解析　因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)
令f′(x)＝0得x＝±1，可知－1,1为函数的极值点．
又f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3,2]上f(x)max＝1，f(x)min＝－19.由题设知在区间[－3,2]上f(x)max－f(x)min≤t，从而t≥20，所以t的最小值是20.
答案　20
2．已知f(x)＝＋ln x－ax，x∈(0,2)，若f(x)存在两个极值点，则实数a的范围为________．
解析　f′(x)＝x＋－a，由题意，
f′(x)有两个变号零点，即x＋－a＝0在(0,2)内有两不等根，
亦即a＝x＋在x∈(0,2)内时有两不等根，
所以动直线y＝a与曲线y＝x＋，x∈(0,2)有两不同交点，结合y＝x＋，x∈(0,2)的图象可知a的范围为.
答案　
3．(2014·新课标全国Ⅰ卷改编)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是________．
解析　(1)当a＝0时，显然f(x)有两个零点，不符合题意．
(2)当a≠0时，f′(x)＝3ax2－6x，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.
当a＞0时，＞0，所以函数f(x)＝ax3－3x2＋1
在(－∞，0)和上为增函数，在上为减函数，因为f(x)存在唯一零点x0，且x0＞0，则f(0)＜0，
即1＜0，不成立．
当a＜0时，＜0，所以函数f(x)＝ax3－3x2＋1在和(0，＋∞)上为减函数，在上为增函数，因为f(x)存在唯一零点x0，且x0＞0，则f＞0，即a·－3·＋1＞0，解得a＞2或a＜－2，又因为a＜0，故a的取值范围为(－∞，－2)．
答案　(－∞，－2)
4．(2014·安徽卷)设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0.
(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；
(2)当x∈[0,1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．
解　(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
f′(x)＝1＋a－2x－3x2.
令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝，x1<x2.
所以f′(x)＝－3(x－x1)(x－x2)．
当x<x1或x>x2时，f′(x)<0；
当x1<x<x2时，f′(x)>0.
故f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)内单调递减，在(x1，x2)内单调递增．
(2)因为a>0，所以x1<0，x2>0.
①当a≥4时，x2≥1，
由(1)知，f(x)在[0,1]上单调递增．
所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值．
②当0<a<4时，x2<1，
由(1)知，f(x)在[0，x2]上单调递增，在[x2,1]上单调递减，所以f(x)在x＝x2＝处取得最大值．
又f(0)＝1，f(1)＝a，所以
当0<a<1时，f(x)在x＝1处取得最小值；
当a＝1时，f(x)在x＝0处和x＝1处同时取得最小值；
当1<a<4时，f(x)在x＝0处取得最小值.
13. 已知函数f(x)＝ax2＋blnx在x＝1处有极值.
(1)求a，b的值；
(2)判断函数y＝f(x)的单调性并求出单调区间．

解析 (1)因为函数f(x)＝ax2＋blnx，
所以f′(x)＝2ax＋.
又函数f(x)在x＝1处有极值，
所以即解得
(2)由(1)可知f(x)＝x2－lnx，其定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝x－＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)

极小值

所以函数y＝f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)．

14．已知f(x)＝ex－ax－1.
(1)求f(x)的单调增区间；
(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围．
解析：(1)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.
令f′(x)>0，得ex>a，
当a≤0时，有f′(x)>0在R上恒成立；
当a>0时，有x≥ln a.
综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；
当a>0时，f(x)的单调增区间为[ln a，＋∞)．
(2)由(1)知f′(x)＝ex－a.
∵f(x)在R上单调递增，∴f′(x)＝ex－a≥0恒成立，
即a≤ex，x∈R恒成立．
∵x∈R时，ex∈(0，＋∞)，∴a≤0.
即a的取值范围为(－∞，0]．
15．已知函数f(x)＝x3－ax－1
(1)若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在试说明理由．
解析 (1)f′(x)＝3x2－a
由Δ≤0，即12a≤0，解得a≤0，
因此当f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增时，a的取值范围是(－∞，0]．
(2)若f(x)在(－1,1)上单调递减，
则对于任意x∈(－1,1)不等式f′(x)＝3x2－a≤0恒成立
即a≥3x2，又x∈(－1,1)，则3x2<3因此a≥3
函数f(x)在(－1,1)上单调递减，实数a的取值范围是[3，＋∞)．

省扬高中高三一轮复习教学案　　第13页