根的判别式.2-一元二次方程的解法5.doc

1.2 一元二次方程的解法（5）
学情分析：
学生已经学过一元二次方程的四种解法，并对其作用已经有所了解，在此基础上来进一步研究作用，它是前面知识的深化与总结。九年级学生的认识水平渐渐由具体直觉占优势过渡到抽象思维占优势。教师的指导方法应适应他们的认知特点和相应规律。
从数学思想方法上来说，学生对分类讨论、归纳总结的数学思想已经有所接触。所以可以通过让学生动手、动脑来培养学生探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力。
教学目标：
知识与技能：理解一元二次方程根的判别式得意义，会根据根的判别式判断一元二次方程根的情况；能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根以及两个实数根是否相等。
过程与方法：经历一元二次方程根的判别式的意义及作用的探究过程，体会分类讨论和转化的思想方法，感受数学思想的严密性与方法的灵活性。
情感态度与价值观：通过对根的判别式的意义及作用的探究，培养对科学的探索精神和严谨的治学态度。
教学难点：含字母系数的一元二次方程根的判别式的运用。
教学难点：含字母系数的一元二次方程根的判别式的运用。
一、知识回顾
1.一元二次方程的求根公式是什么？
一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0时，它的根是
2.用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？
首先要把一元二次方程化为一般形式，然后确定 a、b、c的值，再求出b2-4ac的值，
当b2-4ac≥0的前提下，再代入公式求解；
当b2-4ac＜0时，方程无实数 解(根)

二、创设情境，提出问题
1.能力展示：分组比赛用公式法解方程
第一组：x2+4=4x ； x2+2x=3； x2-x+2=0 。
第二组： x2-2x=5； x2-6x+9=0； x2+3x+4=0；
（待学生做完后，教师点评)
2.发现问题
观察你所解的三个方程的根的情况，你有什么发现？
(1)方程根的情况？   （2）与b2-4ac的值，有什么关系？
3.提出问题
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，何时有两个相等的实数根？何时有两个不相等的实数根？它何时没有实数根？方程的根的情况是由什么决定的？
三、探索活动
1.一元二次方程的根的判别式
展示学生的成果，让大家观察解题过程，可以发现：在把系数代入求根公式之前，都是先确定了a、b、c的值，然后求出b2-4ac的值，为什么要这样做呢？学生能说出b2-4ac 的作用是：它能决定方程是否可解。
由此可见：在解一元二次方程时，代数式b2-4ac起着重要的作用，显然我们可以根据b2-4ac的值的符号来判断一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况，因此我们把b2-4ac 叫做一元二次方程的根的判别式。
2．一元二次方程根的判别方法
思考：你能说出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况具体有哪几种，又是如何判别的吗？
学生思考，师生共同得出：
在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，
     若b2-4ac＞0  则方程有两个不相等的实数根
     若b2-4ac = 0 则方程有两个相等的实数根
     若b2-4ac＜0  则方程没有实数根
     (若b2-4ac≥0  则方程有实数根)
这个结论告诉我们，只要算出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式的值，就可以由它的符号直接判别方程根的情况。
3．例题1：不解方程，判别下列方程根的情况：
   （1）5x2-3x=2（2）25x2+4=20x（3）2x2+2x+1=0
本例先让学生思考，分析解题思路，然后请学生口述第（1）小题的解法，教师板书，以进一步明确思路，强调解题方法及格式。
请学生回顾上面的解题过程，总结判别一元二次方程的根的情况的一般步骤：
一化（将一元二次方程化为一般形式）；
二算（确定a、b、c的值，算出的b2-4ac值）；
三判断（根据b2-4ac的值判别方程根的情况）。
练习反馈：1.课本第 17页练习第1题。
2. 不解方程，判断方程x2-2mx+4（m-1）=0根的情况
解：∵b2-4ac=（-2m）2-4×1×4（m-1）
=4m2-16（m-1）
=4m2-16m+16
=（2m-4）2≥0
∴该方程有两个实数根
四、讨论交流
根的判定定理中共有三个命题，你能分别说出它们的逆命题吗？（屏幕显示定理）
学生思考、交流并回答，教师指出：这三个命题也是真命题，从而得到：
  逆定理：在一元二次方程中ax2+bx+c=0(a≠0)，
     若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac＞0
     若方程有两个相等的实数根，  则b2-4ac= 0
     若方程没有实数根，          则b2-4ac＜0
(若方程有实数根,  则b2-4ac≥0)
例题2： 已知关于x的方程2x2－4x + k = 0，问k取何值时，这个方程有两个相等的实数根?
学生思考、分析，并与同伴交流与讨论，然后请同学说出自己的想法。
解：∵方程有两个相等的实数根，  
 ∴b2-4ac= 0，
即 (－4)2－4×2×k = 0, 解得k=2
    ∴ k=2时，方程有两个相等的实数根。
变式1：已知关于x的方程2x2－4x + k = 0，问k取何值时，这个方程有两个实数根?
学生思考、分析，并与同伴交流与讨论，师生共同得到正确解题思路。
解：∵方程有两个实数根，  
 ∴b2-4ac≥0，
即 (－3)2－4×2×k ≥ 0, 解得k ≤2
∴ k≤2时，方程有两个实数根。
变式2：已知关于x的方程kx2－4x + 2 = 0，问k取何值时，这个方程有两个不相等的实数根?
析：本题学生容易想到若方程有两个不相等的实数根则必须满足b2-4ac>0，但同时也会忽略掉前提条件方程必须是一元二次方程，即二次项系数不为0.
三、当堂检测
1.一元二次方程3x2-2x+1=0的根的判别式的值为______ ,所以方程根的情况是_______________.
2.若一元二次方程x2-ax+1=0的两实根相等，则a的值是（     ）
A.a=0    B.a =2或a =-2    C.a =2    D.a =2或a =0
3. 若关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0有两个实数根，则m的取值范围是 （       ）
A .m ﹥0  B . m ≥ 0  C . m ﹥ 0 且m≠1  D . m≥0且m≠1
五、课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
本节课的主要内容：
（1）一元二次方程根的判别式的意义；
（2）由根的判别式的符号判断一元二次方程根的情况的定理和逆定理