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复合函数问题
一、复合函数定义：　设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若A B，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.
二、复合函数定义域问题：
(1)、已知的定义域，求的定义域
思路：设函数的定义域为D，即，所以的作用范围为D，又f对作用，作用范围不变，所以，解得，E为的定义域。
例1. 设函数的定义域为（0，1），则函数的定义域为_____________。
解析：函数的定义域为（0，1）即，所以的作用范围为（0，1）
又f对lnx作用，作用范围不变，所以
解得，故函数的定义域为（1，e）
例2. 若函数，则函数的定义域为______________。
解析：先求f的作用范围，由，知
即f的作用范围为，又f对f(x)作用所以，即中x应满足即，解得
故函数的定义域为
（2）、已知的定义域，求的定义域
思路：设的定义域为D，即，由此得，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以为的定义域。
例3. 已知的定义域为，则函数的定义域为_________。
解析：的定义域为，即，由此得
所以f的作用范围为，又f对x作用，作用范围不变，所以

即函数的定义域为例4. 已知，则函数的定义域为-------
解析：先求f的作用范围，由，知
解得，f的作用范围为，又f对x作用，作用范围不变，所以，即的定义域为
（3）、已知的定义域，求的定义域
思路：设的定义域为D，即，由此得，的作用范围为E，又f对作用，作用范围不变，所以，解得，F为的定义域。
例5. 若函数的定义域为，则的定义域为____________。
解析：的定义域为，即，由此得
的作用范围为，又f对作用，所以，解得
即的定义域为
评注：函数定义域是自变量x的取值范围（用集合或区间表示）f对谁作用，则谁的范围是f的作用范围，f的作用对象可以变，但f的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。
三、复合函数单调性问题
（1）引理证明
已知函数.若在区间 ）上是减函数，其值域为(c，d)，又函数在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数在区间 ）上是增函数.
证明：在区间）内任取两个数，使
因为在区间）上是减函数，所以,记, 即

因为函数在区间(c,d)上是减函数，所以,即，
故函数在区间）上是增函数.
（2）．复合函数单调性的判断
复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：

增 ↗
减 ↘

增 ↗
减 ↘
增 ↗
减 ↘

增 ↗
减 ↘
减 ↘
增 ↗
以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.
（3）、复合函数的单调性判断步骤：
ⅰ   确定函数的定义域；
ⅱ   将复合函数分解成两个简单函数：与。
ⅲ   分别确定分解成的两个函数的单调性；
ⅳ   若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数为增函数；  若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数为减函数。
（4）例题演练
例1、 求函数的单调区间，并用单调定义给予证明
解：定义域
单调减区间是 设 则

=
∵ ∴

∴> 又底数
∴ 即
∴在上是减函数
同理可证：在上是增函数
［例］2、讨论函数的单调性.
［解］由得函数的定义域为

则当时，若，∵为增函数，∴为增函数.
若，∵为减函数.
∴为减函数。
当时，若，则为减函数，若，则为增函数.
例3、.已知y=(2-)在［0，1］上是x的减函数，求a的取值范围.
解：∵a＞0且a≠1
当a＞1时，函数t=2->0是减函数
由y= (2-)在［0，1］上x的减函数，知y=t是增函数，
∴a＞1
由x［0，1］时，2-2-a＞0,得a＜2,
∴1＜a＜2
当0<a<1时，函数t=2->0是增函数
由y= (2-)在［0，1］上x的减函数，知y=t是减函数，
∴0<a<1
由x［0，1］时，2-2-1＞0, ∴0<a<1
综上述，0<a<1或1＜a＜2
例4、已知函数（为负整数）的图象经过点，设.问是否存在实数使得在区间上是减函
数，且在区间上是减函数？并证明你的结论。
［解析］由已知，得，

其中 ∴即，
解得
∵为负整数，∴
∴，
即 ，
∴
假设存在实数，使得满足条件，设，
∴
∵，当时，为减函数，
∴，∴
∵,∴,
∴,
∴ ①
当时, 增函数,∴
∵,∴,
∴. ②
由①、②可知，故存在

一．指数函数与对数函数
．同底的指数函数与对数函数互为反函数；
（二）主要方法：
1．解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；
2．指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1，要注意对底数的讨论；
3．比较几个数的大小的常用方法有：①以和为桥梁；②利用函数的单调性；③作差．
（三）例题分析：
例1．（1）若，则，，从小到大依次为 ；
（2）若，且，，都是正数，则，，从小到大依次为 ；
（3）设，且（，），则与的大小关系是 （ ）
（） （） （） （）
解：（1）由得，故．

（2）令，则，，，，
∴，∴；
同理可得：，∴，∴．（3）取，知选（）．
例2．已知函数，
求证：（1）函数在上为增函数；（2）方程没有负数根．
证明：（1）设，
则
，
∵，∴，，，
∴；
∵，且，∴，∴，
∴，即，∴函数在上为增函数；
（2）假设是方程的负数根，且，则，
即， ①
当时，，∴，∴，而由知，
∴①式不成立；
当时，，∴，∴，而，
∴①式不成立．
综上所述，方程没有负数根．
例3．已知函数（且）．
求证：（1）函数的图象在轴的一侧；
（2）函数图象上任意两点连线的斜率都大于．
证明：（1）由得：，
∴当时，，即函数的定义域为，此时函数的图象在轴的右侧；
当时，，即函数的定义域为，此时函数的图象在轴的左侧．
∴函数的图象在轴的一侧；
（2）设、是函数图象上任意两点，且，则直线的斜率，

，
当时，由（1）知，∴，∴，
∴，∴，又，∴；
当时，由（1）知，∴，∴，
∴，∴，又，∴．
∴函数图象上任意两点连线的斜率都大于．

同步练习
（二）同步练习：
1、 已知函数的定义域为，求函数的定义域。
答案：
2、 已知函数的定义域为，求的定义域。
答案：
3、 已知函数的定义域为，求的定义域。
答案：
4、设，则的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
解：选C.由得，的定义域为。故，解得。故的定义域为
5、已知函数的定义域为，求的定义域。
［解析］由已知，有
（1）当时，定义域为；
（2）当，即时，有，
定义域为；
（3）当，即时，有，
定义域为.
故当时，定义域为；
当时，定义域为
［点评］对于含有参数的函数，求其定义域，必须对字母进行讨论，要注意思考讨论字母的方法。
练习二
（5）同步练习：
1．函数y＝（x2－3x＋2）的单调递减区间是（　　）
A．（－∞，1） B．（2，＋∞）
C．（－∞，） D．（，＋∞）
解析：先求函数定义域为（－o，1）∪（2，＋∞），令t（x）＝x2＋3x＋2，函数t（x）在（－∞，1）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y＝（x2－3x＋2）在（2，＋∞）上单调递减．
答案：B
2找出下列函数的单调区间.
（1）；
（2）
答案：(1)在上是增函数，在上是减函数。
（2）单调增区间是，减区间是。
3、讨论的单调性。
答案：时为增函数，时，为增函数。
4．求函数y＝（x2－5x＋4）的定义域、值域和单调区间．
解：由（x）＝x2－5x＋4＞0，解得x＞4或x＜1，所以x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），当x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛｜＝x2－5x＋4｝＝R＋，所以函数的值域是R＋．因为函数y＝（x2－5x＋4）是由y＝（x）与（x）＝x2－5x＋4复合而成，函数y＝（x）在其定义域上是单调递减的，函数（x）＝x2－5x＋4在（－∞，）上为减函数，在［，＋∞］上为增函数．考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y＝（x2－5x＋4）的增区间是定义域内使y＝（x）为减函数、（x）＝x2－5x＋4也为减函数的区间，即（－∞，1）；y＝（x2－5x＋4）的减区间是定义域内使y＝（x）为减函数、（x）＝x2－5x＋4为增函数的区间，即（4，＋∞）．

变式练习
　　一、选择题
　　1．函数f（x）＝的定义域是（　　）
　　 A．（1，＋∞） B．（2，＋∞）
　　 C．（－∞，2） D．
　　解析：要保证真数大于0，还要保证偶次根式下的式子大于等于0，
　　所以解得1＜x≤2．
　　答案：D
　　2．函数y＝（x2－3x＋2）的单调递减区间是（　　）
　　 A．（－∞，1） B．（2，＋∞）
　　 C．（－∞，） D．（，＋∞）
　　解析：先求函数定义域为（－o，1）∪（2，＋∞），令t（x）＝x2＋3x＋2，函数t（x）在（－∞，1）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y＝（x2－3x＋2）在（2，＋∞）上单调递减．
　　答案：B
　　3．若2（x－2y）＝x＋y，则的值为（　　）
　　 A．4 B．1或
　　 C．1或4 D．
　　错解：由2（x－2y）＝x＋y，得（x－2y）2＝xy，解得x＝4y或x＝y，则有＝或＝1．
　　答案：选B
　　正解：上述解法忽略了真数大于0这个条件，即x－2y＞0，所以x＞2y．所以x＝y舍掉．只有x＝4y．
　　答案：D
　　4．若定义在区间（－1，0）内的函数f（x）＝（x＋1）满足f（x）＞0，则a的取值范围为（　　）
　　 A．（0，） B．（0，1）
　　 C．（，＋∞） D．（0，＋∞）
　　解析：因为x∈（－1，0），所以x＋1∈（0，1）．当f（x）＞0时，根据图象只有0＜2a＜l，解得0＜a＜（根据本节思维过程中第四条提到的性质）．
　　答案：A
　　5．函数y＝（－1）的图象关于（　　）
　　 A．y轴对称 B．x轴对称
　　 C．原点对称 D．直线y＝x对称
　　解析：y＝（－1）＝，所以为奇函数．形如y＝或y＝的函数都为奇函数．
　　答案：C
　　二、填空题
　　已知y＝（2－ax）在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是__________．
　　解析：a＞0且a≠1（x）＝2－ax是减函数，要使y＝（2－ax）是减函数，则a＞1，又2－ax＞0a＜（0＜x＜1）a＜2，所以a∈（1，2）．
　　答案：a∈（1，2）
　　7．函数f（x）的图象与g（x）＝（）x的图象关于直线y＝x对称，则f（2x－x2）的单调递减区间为______．
　　解析：因为f（x）与g（x）互为反函数，所以f（x）＝x
　　则f（2x－x2）＝（2x－x2），令（x）＝2x－x2＞0，解得0＜x＜2．
　　（x）＝2x－x2在（0，1）上单调递增，则f［（x）］在（0，1）上单调递减；
　　（x）＝2x－x2在（1，2）上单调递减，则f［（x）］在［1，2）上单调递增．
　　所以f（2x－x2）的单调递减区间为（0，1）．
　　答案：（0，1）
　　8．已知定义域为R的偶函数f（x）在［0，＋∞］上是增函数，且f（）＝0，
　　则不等式f（log4x）＞0的解集是______．
　　解析：因为f（x）是偶函数，所以f（－）＝f（）＝0．又f（x）在［0，＋∞］上是增函数，所以f（x）在（－∞，0）上是减函数．所以f（log4x）＞0log4x＞或log4x＜－．
　　解得x＞2或0＜x＜．
　　答案：x＞2或0＜x＜
　　三、解答题
　　9．求函数y＝（x2－5x＋4）的定义域、值域和单调区间．
　　解：由（x）＝x2－5x＋4＞0，解得x＞4或x＜1，所以x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），当x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛｜＝x2－5x＋4｝＝R＋，所以函数的值域是R＋．因为函数y＝（x2－5x＋4）是由y＝（x）与（x）＝x2－5x＋4复合而成，函数y＝（x）在其定义域上是单调递减的，函数（x）＝x2－5x＋4在（－∞，）上为减函数，在［，＋∞］上为增函数．考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y＝（x2－5x＋4）的增区间是定义域内使y＝（x）为减函数、（x）＝x2－5x＋4也为减函数的区间，即（－∞，1）；y＝（x2－5x＋4）的减区间是定义域内使y＝（x）为减函数、（x）＝x2－5x＋4为增函数的区间，即（4，＋∞）．
　　10．设函数f（x）＝＋，
　　（1）求函数f（x）的定义域；
　　（2）判断函数f（x）的单调性，并给出证明；
　　（3）已知函数f（x）的反函数f－1（x），问函数y＝f－1（x）的图象与x轴有交点吗?若有，求出交点坐标；若无交点，说明理由．
　　解：（1）由3x＋5≠0且＞0，解得x≠－且－＜x＜．取交集得－＜x＜．
　　（2）令（x）＝，随着x增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数；
　　＝－1＋随着x增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数．
　　又y＝lgx在定义域内是增函数，根据复合单调性可知，y＝是减函数，所以f（x）＝＋是减函数．
　　（3）因为直接求f（x）的反函数非常复杂且不易求出，于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解．
　　设函数f（x）的反函数f－1（x）与工轴的交点为（x0，0）．根据函数与反函数之间定义域与值域的关系可知，f（x）与y轴的交点是（0，x0），将（0，x0）代入f（x），解得x0＝．所以函数y＝f－1（x）的图象与x轴有交点，交点为（，0）。

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