稀疏低秩核非负张量分解高光谱图像解混.pdf

第 卷 第 期 年 月南昌工程学院学报 收稿日期：基金项目：江西省教育厅科学技术研究项目（）；国家自然科学基金项目（）作者简介：张志鹏（），男，硕士，通信作者：谭文群（），女，硕士，教授，文章编号：（）稀疏低秩核非负张量分解高光谱图像解混张志鹏，谭文群，彭天亮，刘雪松，（南昌工程学院 信息工程学院；江西省水信息协同感知与智能处理重点实验室，江西 南昌 ）摘要：为了解决传统非负张量分解过程中出现大维度矩阵导致计算速度变慢的问题，本文提出了一种基于稀疏低秩约束的核非负张量分解算法。该算法将张量数据映射到核空间内，添加稀疏约束结构，通过交替方向乘子法进行模型求解，并且考虑张量数据的非零元素及其位置，降低了算法计算的复杂度。在模拟和真实数据集上的实验验证了该算法的稳定性和有效性。关键词：稀疏；低秩；核函数；非负张量分解；高光谱图像中图分类号：文献标志码：，（；，）：，：；与多光谱遥感技术相比，高光谱遥感技术分辨率更高，不仅能够收集到更加精确的地物信息，还能获得丰富的光谱信息，但由于地物中的材料分布不均匀，使高光谱图像中存在大量混合像元。因此正确地分离混合像元中各种单一物质的光谱信息（端元）及其对应的丰度是高光谱图像解混的主要任务。近年来，高光谱图像解混算法层出不穷，目前的算法大多建立在混合像元是由端元按其丰度线性组合的线性光谱混合模型的基础上。比较著名的有 等提出的快速纯像元指数法（）；提出的内部最大体积法（）；等提出的顶点成分分析法（）；这些算法假设高光谱图像的所有像元都位于一个单形体中，通过寻找单形体的顶点来求解端元。但此类方法都要求纯像元存在等先验知识，不能很好地解决盲源分离（）问题，且只能分离端元，丰度的提取需要使用另外的算法，有较大的局限性。为了解决上述问题，等提出了非负矩阵分解（），这种方法可以直接将混合像元分解为端元和丰度，不需要大量的先验知识。自 问世以来，许多基于 的算法被发明出来，例如，等将 范数引入 实现了稀疏约束（）；基于此进行改进，提出了基于 范数约束的非负矩阵分解（）；等又将核函数引入 得到了核非负矩阵分解（）等 。本课题组也基于稀疏和非线性正则化 解混理论提出了相关优化算法 。随着光谱仪技术的发展，高光谱图像中所含的信息也越来越复杂，传统的高光谱图像解混技术不能很好地解释完整的高光谱图像结构，因此将二维的矩阵分解推广至三维的张量分解是一个可行的方法。相较于矩阵，用三维张量来解释三维的高光谱图像更为合理。针对张量多维特性，等提出了矩阵向量非负张量分解（）；在此基础上 提出了稀疏低秩联合约束的非负张量分解（）。另外有 等针对光谱变异性提出了 算法；刘雪松 等提出了低秩约束核非负张量分解（），但其忽略了丰度的稀疏结构，使张量分解计算量过大，因此本文添加了稀疏约束来降低其运算量，提出了一种稀疏低秩约束的核非负张量分解算法（）。针对不同的应用情景，本文引入了多项式核以及线性核（、）进行分析比较，与当前流行的算法相比，本算法在解混的精度上有很大提升。相关工作 基于 范数约束的非负矩阵分解高光谱图像解混的目的是将一个高维矩阵分解为两个低维矩阵的过程，这与非负矩阵分解的目的是相同的，则有：，（）式中 瓗 为需要分解的高光谱图像，瓗 为端元矩阵，瓗 为丰度矩阵，为矩阵的秩，应满足 （，）即 与 矩阵的秩远小于矩阵 的秩，从而达到降维的目的。由式（）可以看出矩阵分解问题是一个优化问题，应用欧氏距离作为代价函数，则有：，（，），（）其中 为 范数，由于目标矩阵 ，的秩较低，因此常常使用 等提出的 算法，此算法比 范数易于求解，同时比 范数具有更好的稀疏性和稳定性。其目标函数为 ，（，），（）核非负矩阵分解最近，等针对光谱分离的特点，提出了基于核的非负矩阵分解算法；核 理论的主要思想是将矩阵 和矩阵 通过一个非线性函数（）映射到特征空间，即：（）式 中 （）（）（）（）（）（），对其加上非负约束有 ，（，），则有如下模型：（）（），（）式中（）表示一个非线性函数，表示矩阵 和 的列向量 和被映射到空间 中，为其相关范数，且在该特征空间中向量的内积形式为（），（），在运算过程中使用内核函数（，）进行表达。非负张量分解阶张量 瓗 可以被看作一个 阶数组，称为张量的“模”，高光谱数据由二维的平面像素坐标和一维的波长信息构成，可以被看作一个三维的数据立方体，因此可以用一个三阶张量来表示。对于张量分解的模型选择，本文参考了文献 中的方法，其代价函数为（，），（）式中 瓗 为三维高光谱数据张量，有 个像素点，和，分别表示了像素级的端元矩阵和丰度向量，是端元数目，为全 矩阵或向量。稀疏低秩核非负张量分解 稀疏低秩分解问题为了充分挖掘高光谱数据中的低秩结构和丰度张量中的稀疏区域，本文提出了稀疏低秩核非负张量分解算法，结合文献 向式（）中添加正则项并引入核函数，由于篇幅所限本文使用 代替张量，：，代替张量，此规则同样适用于张量 、，则新的代价函数如下所示：（，）（，：）（）（）（），()，（）式中 瓗，瓗，为低秩张量，有 （），（）。与 为控制低秩约束权重的参数，为控制稀疏约束权重的参数。由于求解 范数是 问题，因此本文使用 范数来进行稀疏约束。优化问题变为（?，?，?，?），（，），（）为了求解上述优化问题，需要将每个变量迭代以此求得全局最小值点，由此产生的算法被称作稀疏低秩约束的核非负张量分解（）。端元 及丰度 求解问题将式（）展开可以得到：南昌工程学院学报 年 ，（，）（，：）()（槡），（）式 中 （，）（，()），（()），这里使用梯度下降法来解决优化问题，具体可以表示为?（，）?（，），（）上式中?（，），?（，）很容易求得，分别表示对式（）求 、的梯度：?（，）（，）槡?（?（，）?（，：）?），（）上式 中 的?（?（，）?（，）。为保证迭代过程的非负性，步长选择借鉴经典 中的乘法迭代方式：（，）槡，（）代入得（，：）（，），槡，（）上述的推导方法被称为分裂梯度法，使用类似的方法可以估计，：，的迭代公式；选用线性核（，），其梯度为?（，），将其代入式（）中就得到了稀疏低秩约束的线性核非负张量分解（）：，：（槡），（），：（），（）同样的，选用多项式核 （，）（）代入原式，这里 是一个非负常数，平衡了内核中高阶项对低阶项的影响，选用二次多项式核。多项式核的梯度是?（，）（），稀疏低秩约束的多项式核非负张量分解（）的乘法迭代公式为（，：）（）槡），（）（，：），：（）（）（）（）算法的流程如图 所示：图 稀疏低秩核非负张量分解流程图算法的终止条件可根据具体情况设定，本文选择迭代步长、运行时间和精度的三重约束作为停止条件，当算法迭代步长小于一定值或达到运行时间或满足精度要求时将退出循环。实验结果及分析为测试 、算法的性能，在一个模拟的高光谱数据集和两个真实的高光谱数据集进行了实验。将所得结果与 、和 算法作对比。其中 、和 是基于 提出的算法。、和 是基于 提出的算法，上述算法参数的设置均参照原文献，且所有的算法都使用 来确立初始端元和丰度。本文使用 种性能评价指标来验证实验结果，分别为光谱角距离（）、均方根误差（）和均方误差（）。在本文中，和 分别衡量端元和丰度的解混精度，来衡量重建信号的误差。和 值越小，端元和丰度的估计越精确；越大，信号和原始信号越第 期张志鹏，等：稀疏低秩核非负张量分解高光谱图像解混相似。三者具体公式如下：（槡）（）()（）（）（）（）式中，分别对应原始的端元、丰度和高光谱数据矩阵，为本文提出的 算法提取的端元和丰度以及重建后的高光谱数据矩阵，（）表示向量化，即 ，瓗 瓗 。模拟数据实验在模拟高光谱数据集上进行了仿真实验，以验证参数和噪声对实验的影响。为保证实验数据真实有效，从美国地质勘探局（，简称 ）随机选取 种端元作为模拟实验的数据集，分别为铁铝榴石（）、红帆石（）、基铁矾（）、斜绿泥石（）、片沸石（）以及紫苏辉石（）。每个端元包含 个波段，波长范围从 ，图 为 种端元对应的光谱数据图。图 模拟高光谱数据集为了验证算法的鲁棒性，向原始数据集中添加信噪比为 、和 的高斯噪声来判断算法的抗噪性能如何，测得对应的 和 如图 （）（）所示。从图 （）（）可以看出，大多数算法的 和 在信噪比大于 后趋于稳定，算法和 算法的抗噪性能较差，算法出现了一定的波动，本文所提的 在两项指标上均有良好的抗噪性能。另外为了选择合适的参数，还需要对参数进行搜索选择。参数 和 均已调优，对于参数 的选择，均匀选择 之间的 个点进行测试，其对应 如图（）。从图可知 在 等于 时出现了最高点，因此本文将参数 设置为 。图 噪声大小和参数 对算法性能的影响 真实数据实验第 个真实数据实验采用由机载可见红外成像光谱仪（）采集到的高光谱数据库 。图像有 个波段，其包含 个像素；含有 个主要端元，分别为 、和 ；考虑存在大气干扰和计算复杂等因素，本实验选择 个波段 个像素。设置噪声 为 ，稀疏约束参数 为 进行试验。图 显示了算法在 库重建的端元和丰度图，表 显示了具体的定量数据。南昌工程学院学报 年表 数据库真实数据算法 图 各算法对真实数据集 解混得到的端元光谱图结合表 和图 可以看出 算法在树光谱拟合表现出较大的失真，效果最差；算法在树和土壤的光谱拟合上表现较差；算法在路端元上有最好的表现；综合 种端元来看，本文所提 算法与 算法光谱拟合均有良好表现，其中 算法平均 最低。图 各算法对真实数据集 解混得到的丰度图第 期张志鹏，等：稀疏低秩核非负张量分解高光谱图像解混观察图 ，在路和土壤部分，除 算法外其余算法表现接近，都能较好地还原原始丰度图。算法以及 算法在水上存在边界模糊现象。算法在树丰度的反演上稍有不足，但综合 种丰度来看仍优于其他算法。第 个实验采用 高光谱数据库。此数据库含有 个波段，个像素以及 个波段，覆盖波长范围是 。由于原始图像太大，计算复杂，本实验使用了 像素的区域。这些数据不会被空白信道或高噪声信道所破坏。图像含有 个主要端元，分别为“”“”“”。图 分别显示了算法在 库下重建的端元和丰度图，表显示了具体的定量数据。表 数据库真实数据算法 图 各算法对真实数据集 解混得到的端元光谱图从图 可知，除 算法外，其余算法在土壤端元光谱曲线拟合上效果都较好，与真实光谱曲线比较接近。算法在树端元出现了很大的失真，算法和 算法也存在较多误差。在土壤和树端元上 算法及 算法效果最好，综合来看算法 是最有效的。图 各算法对真实数据集 解混得到的丰度图南昌工程学院学报 年由图 可知，算法 、及 在树和岩石中的成分更清晰。虽然 算法在水上存在过拟合现象，算法出现过平滑现象，但二者较别的算法效果更好，且在水丰度图效果最好的是 算法。因此，综合幅图考虑，算法的 最小。结论本文主要提出了一种基于稀疏低秩约束的核非负张量分解算法（），并使用了多项式核以及线性核（、）两种核进行试验。该算法限制了特征的数量，保证了张量的稀疏性，在模拟和真实数据集上的实验证明了其相较于其他流行算法有更高的解混精度。参考文献：，（）：，：，：，（）：，（）：，（），（）：，（）：，：，（）：，：姜伟，李宏，余震国，等 稀疏约束图正则非负矩阵分解 计算机科学，（）：高钛 基于近似稀疏约束非负矩阵分解的高光谱图像混合像元分解 南昌：江西科技师范大学，：潘磊 基于稀疏低秩表示的高光谱图像特征提取与分类 重庆：西南交通大学，：谭健 基于稀疏约束的高光谱解混技术研究 哈尔滨：哈尔滨工程大学，：，（），：刘雪松，谭文群，彭天亮 基于随机 理论的高光谱端元抽取 南昌工程学院学报，（）：刘雪松，谭文群，段卓镭 基于 稀疏约束的近似 高光谱解混 南昌工程学院学报，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：刘雪松，姚玲，彭天亮，等 低秩约束核非负张量分解在高光谱解混中的应用 铜陵学院学报，（）：第 期张志鹏，等：稀疏低秩核非负张量分解高光谱图像解混