温度变化对悬索模态耦合共振特性影响.pdf

第 卷 第 期 年 月应用力学学报 .收稿日期:修回日期:基金项目:国家自然科学基金资助项目(.)福建省自然科学基金资助项目(.)福厦泉国家自主创新示范区协同创新平台资助项目(.)通信作者:赵珧冰:.引用格式:林恒辉赵珧冰郑攀攀等.温度变化对悬索模态耦合共振特性影响.应用力学学报():.():.文章编号:()温度变化对悬索模态耦合共振特性影响林恒辉赵珧冰郑攀攀吴先强张昕涛(华侨大学土木工程学院 厦门)摘 要:悬索是一种典型的大跨度低阻尼柔性系统其包含平方和立方非线性特征从而呈现出各种非线性动力学行为尤其是在不同模态之间发生的耦合共振响应 此外实际工程中悬索受气温、太阳辐射、风等因素影响周围温度场变化明显而悬索线性和非线性振动特性对于温度变化较为敏感 本研究以悬索同时发生主共振和 内共振为例将之前忽略模态耦合的单自由度模型扩展到两自由度模型并利用多尺度法求得系统直角坐标下的平均方程 基于所绘制的系统各类响应曲线对温度变化下悬索模态耦合振动特性开展详细论述 数值算例结果表明:温度下降(上升)时 参数更大(更小)的悬索容易发生 内共振在内共振的区间低阶模态响应幅值受温度变化的影响大于高阶模态的响应幅值霍普夫分岔对于温度变化的敏感程度要高于鞍结点分岔在耦合共振区间系统周期运动对温度变化较为敏感温度变化有可能导致系统的周期运动变为非周期关键词:悬索温度变化内共振立方非线性分岔与混沌中图分类号:文献标志码:./.():.应用 力 学 学 报第 卷投稿网站:/.微信公众号:应用力学学报 .:()().:对于多自由度系统或者连续系统而言频率之间的公倍关系可能引发内共振导致模态之间发生能量传递和相互作用 内共振在结构振动中普遍存在从板、梁、壳、索和管道等基本构件到大跨度索结构等复杂系统 在不同模态之间能量有可能发生传递引发系统产生大幅振动索是一类典型的大跨度低阻尼结构由于初始张拉力和垂度导致该系统同时具有立方和平方非线性其模态之间存在着丰富的内共振现象 目前关于索的内共振响应已经有了丰富的研究成果研究人员通过建立悬索的非线性动力学模型并采用摄动分析和各种数值计算方法深入研究了模态间的 、和 等各类内共振响应 从中发现了多解、跳跃、饱和、分岔和混沌等丰富的非线性动力学现象也进一步说明了索模态间耦合振动的复杂性以及实际工程中无法忽略索内共振带来的影响此外索结构在太阳辐射、风、雨等因素影响下在工程实践中常处于复杂且时变的温度场中已有研究主要针对索本身固有的线性和非线性振动特性倘若进一步考虑外界环境影响索结构模态间耦合振动特性又将发生怎样改变现有研究并未给出 已有研究基于单模态离散模型系统分析了悬索受单频、多频和参数激励下局部与全局非线性振动特性受温度变化的影响温度变化会引起系统参数发生改变可能导致系统共振特性出现定性和定量变化由于悬索模态耦合振动的复杂性上述研究忽略了模态间的内共振无法探究温度变化对模态间耦合振动的影响 本研究旨在将悬索单自由度模型推广到多模态系统通过研究系统多模态间的耦合振动特性利用多尺度法结合各类数值计算方法深入探究考虑温度效应影响下的悬索模态耦合非线性振动特性 数学模型图 中水平悬索左右两端分别悬挂于 和 两点其跨度为 假设 点为原点建立坐标系 温度变化会导致悬索形成新的热应力平衡构形悬索在初始和热应力状态下的悬索的垂度分别用 和表示 假设外部激励是均布简谐荷载()和()则分别代表在外部激励下系统的轴向以及竖向位移 当温度变化范围为 时假设温度变化对结构弹性模量、阻尼系数以及横截面面积影响小可以忽略不计图 悬索构形示意图.利用哈密顿变分原理推导得到悬索面内运动方程为 ()()()()其中:和 分别为悬索单位长度质量和阻尼系数 为弹性模量 为水平初张力 为横截面面积为静态构形采用抛物线表示且()()/和 为外激励幅值和频率 是由温度变化产生的张力改变系数其等于温度变化后的张力与初张力之比即 /第 期林恒辉 等:温度变化对悬索模态耦合共振特性影响 投稿网站:/.微信公众号:应用力学学报引入以下无量纲参数()()()忽略上标星号可得无量纲化的运动方程即 ()()()()采用 截断仅考虑发生内共振的两个模态即 和 阶模态将空间 和时间 分离即()()()()()()其中:()表示模态函数()表示广义坐标这里 其中模态函数()根据线性分析可得正对称模态()()反对称模态()()()将式()代入式()中可得两自由度方程即 ()()()()其中非线性项系数如附录 所示 摄动分析采用多尺度法位移对应的广义坐标为()()其中:()故/将其代入式()和式()中根据 阶数得到各阶微分方程组一阶方程的解可以假设为()将该解代入到二阶方程中得其近似解考虑 内共振时外激励频率 与 和 阶模态频率(和)的差值采用调谐参数 来表示 和 的差值则用调谐参数 来描述三者的关系式分别为:和 其中 将二阶方程的近似解代入到三阶方程可得()()()()其中非线性相互作用系数 及 见附录 将表 示 成 直 角 标 形 式()()()代入可得 ()()()()()()()()()()()()()()()()其中:当激励直接作用在低阶模态时()当激励直接作用在高阶模态时()()/此外系统的响应振幅:数值算例与分析选取 悬 索 结 构 参 数 为 应用 力 学 学 报第 卷投稿网站:/.微信公众号:应用力学学报././假设阻尼系数分别为(高阶模态)和.(低阶模态)为了综合反应悬索质量、跨度、抗拉刚度等性质此处引入参数其表达式为 (/)/如图 所示忽略阻尼项、激励项和非线性项对悬索进行特征值分析得到其在不同 参数 下的前十阶模态频率(不考虑温度变化影响下)在图 中的()()处两个模态频率之间会呈现出 倍关系 因为并不是频率之间存在公倍关系就一定会发生内共振因此计算可知图中()、()和()三处悬索两个正对称模态之间会发生内共振响应本研究聚焦于悬索一阶和三阶正对称模态之间发生的 内共振图 中()处 通过数值算例揭示温度变化对悬索动力学行为的影响 由于温度变化会导致悬索模态频率发生改变因此将()处放大考虑温度变化 时其模态频率的变化如图所示 图中的一阶(三阶)正对称模态频率对应于悬索第一阶(第五阶)频率 为描述频率间关系将第一阶频率放大 倍图中交点处有可能出现 内共振而频率间公倍关系会受温度变化影响会有改变导致交点发生偏移 随着温度的升高(降低)参数较小(较大)的悬索更容易发生耦合共振 悬索在各种温度变化情况下的参数大小及线性/非线性系数的值均发生变化(表)图 悬索模态频率图.表 温度变化下悬索系数表.图 不同温度变化条件下的幅频响应曲线(.和 ).首先假设外激励直接作用在高阶模态上()得到的幅频响应曲线如图 所示 此时系统存在明显的单模态解和两模态解(内共振)其中 为直接激励幅值为内共振响应幅值 和 分别表示霍普夫分岔和鞍结点分岔实线和虚线分别表示稳定和不稳定解 温度降低时系统的共振幅值和 均减小而振幅 对于温度的变化则更加敏感 而在内共振区域高阶模态可以将大量能量通过内共振传递给低阶模态从而引起低阶模态的大幅振动 此时随着 不断增加在内共振区域内和 均减小在霍普夫分岔 后由不稳定变为稳定并直到鞍结点分岔 此处系统将发生跳跃现象在此之后消失系统由两模态解变为单模态解 如图所示鞍结点分岔对温度的敏感程度不如霍普夫分岔 此外采用直接数值积分求解方程组()()结果表明数值积分解与多尺度法得到的摄动解吻合较好第 期林恒辉 等:温度变化对悬索模态耦合共振特性影响 投稿网站:/.微信公众号:应用力学学报假设外激励作用在低阶模态()在相应的调谐参数下(.和 )图 给出了悬索在第一阶正对称模态发生主共振情况下的激励响应幅值曲线 由于内共振的存在受外部直接激发模态的振幅 与通过内共振激发的模态的振幅 之间发生能量传递且存在相位差 图 可以观察到温度变化引起了系统共振产生明显的变化 尤其是对于大幅振动的区间随着外激励幅值 增加温度变化的影响变得更加明显图 不同温度变化条件下的幅频响应曲线(.和).在温度升高的条件下响应振幅 和 都增加 具体而言对于低阶模态振幅 当激励幅值 从 开始增大时出现了一个不断增大的非平凡解随着激励幅值 继续增大在第 个鞍结点分岔 处失去稳定性非平凡解出现明显的跳跃现象幅值迅速增加且 时的跳跃现象发生得更早与此同时内共振响应振幅 开始并没有被激发当增大到.附近才出现微小的振幅且随着 进一步增大同样在 发生跳跃 当 时出现在更大的激励幅值处 当激励幅值 等于.时悬索会出现明显的内共振且有两个稳定的振幅两个振幅的出现与系统的初始条件相关当 不断减小时可以看到两个霍普夫分岔 和以及鞍结点分岔 值得注意的是鞍结点分岔受温度变化的影响较小霍普夫分岔对于温度变化较为敏感 在升温环境中霍普夫分岔将发生在激励幅值更小的位置接下来假设外部激励幅值 为.图 给出了考虑温度效应时的幅频响应曲线()当温度从 下降到 时曲线向左偏转程度增加即非线性系统呈现出更强的软弹簧特性 当调谐参数 从.开始增大时在小振幅区间受直接激励模态的响应幅值 不断增大(此时 等于)直到出现第一个鞍结点分岔 系统发生跳跃现象 倘若 继续增大不动点在霍普夫分岔 处失去稳定在霍普夫分岔 处重新获得稳定此时响应幅值 随 的增大而减小 随着 增大升温条件下系统的霍普夫和鞍结点分岔 出现得早而 出现得较晚 与激励响应幅值曲线一致在升温条件下两个响应振幅 和 均显著增大图 不同温度变化条件下的幅频响应曲线(.和 ).同样假设外激励幅值 为.调谐参数 取为.调谐参数 与系统响应幅值曲线如图所示 直接激励模态的振幅 明显要大于通过内共振激发的幅值 虽然在升温环境中两个幅值均会增加但是前者受温度变化的影响明显要强于后者 系统出现了 个霍普夫分岔和 个鞍结点分岔系统在 获得稳定直到 点失去稳定性然后在 再次获得稳定性 当温度从 下降到 时前面两个霍普夫分岔点发生在调谐参数 更大的位置而第 个霍普夫分岔点则出现在调谐参数 偏小的位置 由此可以看出温度下降时内共振的区间会减小 应用 力 学 学 报第 卷投稿网站:/.微信公众号:应用力学学报图 考虑温度变化影响的幅频响应曲线(.和 .).由于霍普夫分岔对于温度变化非常敏感加上系统在这两个分岔点之间存在着更为复杂的动力学行为因此为了进一步揭示温度变化的影响本研究给出了升温和降温时系统的不同调谐参数下的相位图 如图 所示的 组对应参数的相位图此时 不断减小:.当 时无论调谐参数如何改变系统始终表现出周期 运动 然而对于相同的调谐参数 如果温度下降到 该非线性系统将通过倍周期分岔最终进入到混沌运动:周期 周期 周期周期 混沌 由此看出温度变化引起的微小变化对系统周期或非周期运动产生明显影响为了进一步描述系统在不同温度时的振动特性图 给出了.时系统的时程曲线、相位图、频率谱和庞加莱截面 通过庞加莱截面和频率谱也进一步证实当温度从 变为 时系统由周期运动变为混沌运动图 考虑温度变化影响的相平面图(.).(.)图 不同温度变化条件下的时程曲线、相位图、频谱以及庞加莱截面(.).(.)第 期林恒辉 等:温度变化对悬索模态耦合共振特性影响 投稿网站:/.微信公众号:应用力学学报 结 论本研究基于悬索两自由度模型针对系统同时发生主共振和 内共振的情况深入探讨不同温度变化对振动响应特性的影响 结果分析表明:当悬索周围环境温度发生改变时其固有频率间的公倍关系将被打破原本难以发生内共振的悬索在温度发生改变下而引发内共振 当温度上升(下降)时 参数更小(更大)的悬索可能发生 内共振当激励直接作用在低阶模态时仅有小部分能量传递给高阶模态反之当激励作用在高阶模态时会出现大量能量传递到低阶模态引发其大幅振动 在发生内共振的区间低阶模态响应幅值受温度变化的影响大于高阶模态的响应幅值 由于温度变化会导致分岔点偏移而且霍普夫分岔对于温度变化的敏感程度要高于鞍结点分岔 在耦合共振区间系统的周期运动对于温度变化较为敏感 对于相同激励幅值和调谐参数系统可能经历由周期运动向非周期运动转变参考文献:陈晓明冯志华张风君等.含集中质量矩形薄板的动力学建模与质量调幅分析.应用力学学报():.():().黄玲璐毛晓晔丁虎等.内共振作用下轴向运动黏弹性梁横向受迫振动.振动与冲击():.():().:.赵珧冰郑攀攀陈林聪等.受损悬索对称性破缺下非线性耦合振动研究.力学学报():.():().张凯凯谭霞丁虎等.超临界输流管道 内共振下参激振动响应.应用数学和力学():.():().():.():.:.:.康厚军郭铁丁赵跃宇.大跨度斜拉桥非线性振动模型与理论研究进展.力学学报():.():().刘小会闵光云孙测世等.直接法与间接法对拉索耦合内共振的影响研究.应用力学学报():.():().:.():.:/.():.:./:.():.黄超辉赵珧冰.多频激励下悬索非线性共振特性受温度影响分析.应用力学学报():.应用 力 学 学 报第 卷投稿网站:/.微信公众号:应用力学学报 .():().吴先强赵珧冰郭智锐等.温度变化对悬索全局动力学特性影响.动力学与控制学报():.():().():.:.附录 ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()附录 ()()()()()()(编辑 张璐)