【步步高】2014届高三数学一轮-1.2-命题及其关系、充分条件与必要条件课时检测-理-(含解析)北师大版.doc

1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件
1．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的(　　)
A．充分而不必要条件　　　 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：若a＝1，则有|a|＝1是真命题，即a＝1⇒|a|＝1，由|a|＝1可得a＝±1，所以若|a|＝1，则有a＝1是假命题，即|a|＝1⇒a＝1不成立，所以a＝1是|a|＝1的充分而不必要条件．
答案：A
2．已知命题p：∃n∈N,2n＞1 000，则綈p为(　　)．
A．∀n∈N,2n≤1 000 B．∀n∈N,2n＞1 000
C．∃n∈N,2n≤1 000 D．∃n∈N,2n＜1 000
解析　特称命题的否定是全称命题．即p：∃x∈M，p(x)，则綈p：∀x∈M，綈p(x)．故选A.
答案　A
3．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是(　　)
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
解析：原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数．
答案：B
4．已知α，β角的终边均在第一象限，则“α＞β”是“sin α＞sin β”的(　　)．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析　(特例法)当α＞β时，令α＝390°，β＝60°，则sin 390°＝sin 30°＝＜sin 60°＝，故sin α＞sin β不成立；当sin α＞sin β时，令α＝60°，β＝390°满足上式，此时α＜β，故“α＞β”是“sin α＞sin β”的既不充分也不必要条件．
答案　D
【点评】 本题采用了特例法，所谓特例法，就是用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断.特例法的理论依据是：命题的一般性结论为真的先决条件是它的特殊情况为真，即普通性寓于特殊性之中.常用的特例有取特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.这种方法实际是一种“小题小做”的解题策略，对解答某些选择题有时往往十分奏效.
5．与命题“若a∈M，则b∉M”等价的命题是(　　)
A．若a∉M，则b∉M　　 B．若b∉M，则a∈M
C．若a∉M，则b∈M D．若b∈M，则a∉M
解析：因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可．故选D.
答案：D
6 若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补．记φ(a，b)＝－a－b，那么φ(a，b)＝0是a与b互补的(　　)．
A．必要而不充分的条件 B．充分而不必要的条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件
解析　若φ(a，b)＝0，即＝a＋b，两边平方得ab＝0，故具备充分性．若a≥0，b≥0，ab＝0，则不妨设a＝0.φ(a，b)＝－a－b＝－b＝0.故具备必要性．故选C.
答案　C
7．已知集合A＝{x∈R|<2x<8}，B＝{x∈R|－1<x<m＋1}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是(　　)
A．m≥2 B．m≤2
C．m>2 D．－2<m<2
解析：A＝{x∈R|<2x<8}＝{x|－1<x<3}
∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A
∴AB
∴m＋1>3，即m>2.
答案：C
二、填空题
8．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的取值范围是________．
解析：x∉[2,5]且x∉{x|x<1或x>4}是真命题．
由得1≤x<2.
答案：[1,2)
9.已知p：“a＝”，q：“直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切”，则p是q的________条件．
解析：由直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切得，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离等于圆的半径，即有＝1，a＝±.因此，p是q的充分不必要条件．
答案：充分不必要
10．设p：|4x－3|≤1；q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
解析　p：|4x－3|≤1⇔≤x≤1，
q：(x－a)(x－a－1)≤0⇔a≤x≤a＋1
由pq，得
解得：0≤a≤.
答案　
11．已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题
p1：|a＋b|＞1⇔θ∈
p2：|a＋b|＞1⇔θ∈
p3：|a－b|＞1⇔θ∈
p4：|a－b|＞1⇔θ∈
其中真命题的个数是____________．
解析　由|a＋b|＞1可得a2＋2a·b＋b2＞1，因为|a|＝1，|b|＝1，所以a·b＞－，故θ∈.当θ∈时，a·b＞－，|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＞1，即|a＋b|＞1，故p1正确．由|a－b|＞1可得a2－2a·b＋b2＞1，因为|a|＝1，|b|＝1，所以a·b＜，故θ∈，反之也成立，p4正确．
答案　2
12．给出下列命题：
①原命题为真，它的否命题为假；
②原命题为真，它的逆命题不一定为真；
③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真；
④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真；
⑤“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集为R”的逆命题．
其中真命题是________．(把你认为正确命题的序号都填在横线上)
解析：原命题为真，而它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题同真同假，故①④错误，②③正确．又因为不等式mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集为R，
由⇒⇒m>1.
故⑤正确．
答案：②③⑤
三、解答题
13．写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
解析：(1)逆命题：已知a，b∈R，若a2≥4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，为真命题．
(2)否命题：已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2<4b，为真命题．
(3)逆否命题：已知a，b∈R，若a2<4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，为真命题．
14．求方程ax2＋2x＋1＝0的实数根中有且只有一个负实数根的充要条件．
解析：方程ax2＋2x＋1＝0有且仅有一负根．
当a＝0时，x＝－适合条件．
当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0有实根，
则Δ＝4－4a≥0，∴a≤1，
当a＝1时，方程有一负根x＝－1.
当a<1时，若方程有且仅有一负根，则x1x2＝<0，
∴a<0.
综上，方程ax2＋2x＋1＝0有且仅有一负实数根的充要条件为a≤0或a＝1.
15．已知命题p：命题q：1－m≤x≤1＋m，m>0，若¬p是¬q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解析：p：x∈[－2,10]，q：x∈[1－m,1＋m]，m>0，
∵¬p是¬q的必要不充分条件，∴p⇒q且qp.
∴[－2,10][1－m,1＋m]．
∴∴m≥9.
16．已知全集U＝R，非空集合A＝{x|<0}，B＝{x|<0}．
(1)当a＝时，求(∁UB)∩A；
(2)命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．
解析：(1)当a＝时，A＝{x|2<x<}，
B＝{x|<x<}，
∁UB＝{x|x≤或x≥}，
(∁UB)∩A＝{x|≤x<}．
(2)若q是p的必要条件，即p⇒q，可知A⊆B，
由a2＋2>a，得B＝{x|a<x<a2＋2}，
当3a＋1>2，即a>时，A＝{x|2<x<3a＋1}，
，解得<a≤；
当3a＋1＝2，即a＝时，A＝Ø，符合题意；
当3a＋1<2，即a<时，A＝{x|3a＋1<x<2}．
，解得－≤a<；
综上，a∈[－，]．

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