概率论与数理统计第7章复习.doc

第七章 参数估计
一、 点估计
1. 定义
设为取自总体X的样本，若将样本的某个函数作为总体分布中未知参数的估计，则称为的点估计。
2. 估计量与估计值
设为取自总体X的样本，是X中的未知参数，为相应的一组样本观察值，用统计量作为的估计时，称为的估计量，而称为的估计值。
3. 矩法估计
（1） 定义
用样本的矩（原点矩或中心矩）代替相应的总体的矩，样本的矩（原点矩或中心矩）的函数代替相应的总体矩的同一函数而求得未知参数的一种估计方法。
（2） 求总体X的分布中包含k个未知参数的矩估计步骤为：
1） 求出总体的矩，， ；或。
2） 列矩估计方程，， ；或，。
3） 解上述方程（或方程组）得， ；
则矩估计量为：， 。
4） 如果有样本观察值，则的矩法估计值为：， ，
4. 最大似然估计
（1） 定义
设总体X的分布律或密度函数为，为未知参数，则取自X的样本的联合分布律或联合密度函数

称为似然函数。
若有，使得
，
则称为的最大似然估计值，称为的最大似然估计量。
（2） 最大似然估计的求解步骤：
1） 写出似然函数：。
2） 取对数得对数似然函数。
3） 分别对求偏导数得似然方程：
4） 求解上述似然方程得驻点。若驻点存在且唯一（一般统计问题，驻点是唯一的，且为极大值点），则一般为最大似然估计；若驻点不存在，则最值点一般在边界点上达到，此时可直接由定义求得。

二、 估计量的评选标准
1. 无偏性
设为的估计量，若，则称为的无偏估计。
2. 有效性
设，均为的无偏估计，如果，则称比有效。若的无偏估计的方差达到最小，则称为的最小方差无偏估计。
3. 一致性（相合性）
设为的估计量，若对，有，则称为的一致（相合）估计。

三、 区间估计
1. 定义
设为总体X的分布中的未知参数，是来自总体X的样本，对给定的，若果两个统计量，满足
，
则称随机区间为的置信水平为的置信区间。和分别称为置信水平为的双侧置信区间的置信下限和置信上限。
2. 正态总体未知参数的置信水平的双侧置信区间表

总体
待估参数
其他参数情况
估计函数及其分布
置信区间
单个正态总体

已知

未知

已知

未知

两个正态总体

已知

未知

已知

未知

其中：。

习题
1. 设总体X在区间[0,]上服从均匀分布，则未知参数的矩法估计量为_______.
2. 设总体X～N（μ，），X,X,…,X是来自总体X的样本，当用2- X，及作为μ的估计时，最有效的是_______.
3. 设X,X,…,X和Y,Y,…,Y是分别来自总体X～N（μ，1）和Y～N（μ，4）的两个样本，μ的一个无偏估计有形式T=a+b。则a和b应满足条件_______.当a=_______，b=_______.时，T最有效。
4. 设由来自正态总体X～N（μ，）容量为9的简单随机样本，得样本均值=5，则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是_______.
5. 设总体X的方差为1，根据来自X的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5，则X的数学期望的置信度近似等于0.95的置信区间为_______.
6. 设总体X的分布律为P{X=x}=（1-P）p,x=1,2,…. X,X,…,X是来自总体X的样本，试求（1）p的矩估计量。（2）p的最大似然估计量。
7. 设总体X以等概率取值1，2，…，，求未知参数的矩估计量。
8. 设某种电子原件的寿命T服从参数的指数分布，今测得10个元件的失效时间为1050，1100，1080，1200，1300，1250，1340，1060，1150，1150.
（1） 试作出关于失效时间的箱线图。
（2） 并求出的最大似然估计值。
9. 设总体X的期望E(X)，方差D(X)都存在，X,X,…,X是来自总体X的一组样本，试证明下列统计量都是总体X期望的无偏估计量，并证明哪个是最有效的估计量。
（1） ( X,X,X)= ,
（2） ( X,X,X)= ,
（3） ( X,X,X)= .
10. 随机地从一批钉子中抽取16枚，测得其长度（以厘米计）为：
2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12
2.13 2.14 2.10 2.15 2.12 2.14
2.10 2.13 2.11 2.11
设钉长服从正态分布。
（1）试作出关于钉长的箱线图。
（2）分别求出总体均值μ在下列两种情况下的90%的置信区间。
a. 若已知=0.01（厘米）。 b. 若未知。
11. 冷抽铜丝的折断力服从正态分布。从一批铜丝中任取10根，测试折断力，得数据为：
578 572 570 568 572
570 570 596 584 572
（1）试作出关于折断力的箱线图
（2）求方差与标准差的置信区间（=0.05）。
12. 从甲、乙两个蓄电池厂生产的产品中，分别抽取10个产品，测得它们的电容量（单位：安培小时）为：
甲厂：146 141 138 142 140 143 138 137 142 137
乙厂：141 143 139 139 140 141 138 140 142 136
若蓄电池的电容量服从正态分布，
（1）试分别作出它们关于电容量的箱线图。
（2）求两个工厂生产的蓄电池的电容量的方差之比对应于置信概率0.95的置信区间。
13. 为了比较甲、乙两类试验田的收获量，随机抽取甲类试验田8块，乙类试验田10块，测得收获量如下（单位：kg）：
甲类：12.6 10.2 11.7 12.3 11.1 10.5 10.6 12.2
乙类：8.6 7.9 9.3 10.7 11.2 11.4 9.8 9.5
10.1 8.5
假定这两类试验田的收获量都服从正态分布且方差相同，
（1） 试分别作出它们关于收获量的箱线图。
（2） 求均值之差的置信度为0.95的置信区间。

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