资源描述
充分条件和必要条件
【考点导读】
理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；会判断充分条件，必要条件和充要条件．
从集合的观点理解充要条件，有以下一些结论：
若集合，则是的充分条件；
若集合，则是的必要条件；
若集合，则是的充要条件．
3. 会证明简单的充要条件的命题，进一步增强逻辑思维能力．
【基础练习】
1.若，则是的充分条件．若，则是的必要条件．若，则是的充要条件．
2.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.
（1）已知，，那么是的_____充分不必要___条件．
（2）已知两直线平行，内错角相等，那么是的____充要_____条件．
（3）已知四边形的四条边相等，四边形是正方形，那么是的_____必要不充分___条件．
（4）已知，，那么是的____必要不充分___条件．
3.函数过原点的充要条件是．
4.对任意实数a，b，c，给出下列命题：
①“”是“”充要条件；②“是无理数”是“a是无理数”的充要条件；
③“a>b”是“a2>b2”的充分条件； ④“a<5”是“a<3”的必要条件.
其中真命题的序号是____②_④___．
5.若，则的一个必要不充分条件是．
【范例解析】
例1.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.
（1）是的___________________条件；
（2）是的___________________条件；
（3）是的___________________条件；
（4）是或的___________________条件.
分析：从集合观点“小范围大范围”进行理解判断，注意特殊值的使用.
解：（1）因为结合不等式性质易得，反之不成立，若，，有，但不成立，所以是的充分不必要条件.
（2）因为的解集为，的解集为，故是的必要不充分条件.
（3）当时，均不存在；当时，取，，但，所以是的既不充分也不必要条件.
（4）原问题等价其逆否形式，即判断“且是的____条件”，故是或的充分不必要条件.
点评：①判断p是q的什么条件，实际上是判断“若p则q”和它的逆命题“若q则p”的真假，若原命题为真，逆命题为假，则p为q的充分不必要条件；若原命题为假，逆命题为真，则p为q的必要不充分条件；若原命题为真，逆命题为真，则p为q的充要条件；若原命题，逆命题均为假，则p为q的既不充分也不必要条件.②在判断时注意反例法的应用.③在判断“若p则q”的真假困难时，则可以判断它的逆否命题“若q则p”的真假.
例2.已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，则p是s的_________条件.
分析：将各个命题间的关系用符号连接，易解答.
s
解：
故p是s的的充要条件.
点评：将语言符号化，可以起到简化推理过程的作用.
例3.已知，，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
分析：若是的必要不充分条件等价其逆否形式，即是的必要不充分条件.
解：由题知：，
是的必要不充分条件，是的必要不充分条件.
，即得.
故m的取值范围为.
点评：对于充分必要条件的判断，除了直接使用定义及其等价命题进行判断外，还可以根据集合的包含关系来判断条件与结论之间的逻辑关系：若集合，则是的充分条件；若集合，则是的必要条件；若集合，则是的充要条件．
例4.求证：关于x的方程有一个根为－1的充要条件是．
分析：充要条件的证明既要证充分性，也要证必要性．
证明：必要性：若是方程的根，求证：．
是方程的根，，即．
充分性：关于x的方程的系数满足，求证：方程有一根为－1．
，，代入方程得：，
得，是方程的一个根．
故原命题成立．
点评：在代数论证中，充要条件的证明要证两方面：充分性和必要性，缺一不可．
【反馈演练】
1．设集合，，则“”是“”的_必要不充分
充分不必要
条件．
2．已知p：1＜x＜2，q：x(x－3)＜0，则p是q的 条件．
3．设，是定义在R上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的______充分不必要______条件．
4．已知，，则是的_____必要不充分_______条件．
5．集合A＝{x|＜0}，B＝｛x || x －b|＜a，若“a＝1”是“A∩B≠”的充分条件，则b的取值范围是．
必要不充分
6．设集合，，则“”是“”的______________条件．
7．设全集，子集，，那么点的充要条件为．
8．已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件。现有下列命题：①是的充要条件；②是的充分条件而不是必要条件；③是的必要条件而不是充分条件； ④的必要条件而不是充分条件；⑤是的充分条件而不是必要条件，
其中正确命题序号是______①②④____．
9．有限集合中元素个数记作card，设、都为有限集合，给出下列命题：
①的充要条件是card= card+ card；
②的必要条件是cardcard；
③的充分条件是cardcard；
④的充要条件是cardcard.
其中真命题的序号是_①②__．
10．已知函数，求证：函数是偶函数的充要条件为．
证：充分性：定义域关于原点对称．
，，，
所以，所以为偶函数．
必要性：因为是偶函数，则对任意x有，
得，即，所以．
综上所述，原命题得证．
11．已知条件，条件．若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：，若是的充分不必要条件，则．
若，则，即；
若，则解得．
综上所述，．
12．已知关于x的方程，．
求：（1）方程有两个正根的充要条件；
（2）方程至少有一个正根的充要条件．
解：（1）方程有两个正根的充要条件
设此时方程的两实根为，，则
，的正数的充要条件是．
综上，方程有两个正根的充要条件为或．
（2）①方程有两个正根，由（1）知或．
②当时，方程化为，有一个正根．
③方程无零根，故方程有一正根，一负根的充要条件是即．
综上，方程至少有一正根的充要条件是或．
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