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《计算方法》习题答案
第一章 数值计算中的误差
1．什么是计算方法？（狭义解释）
答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。

2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？
答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤：
实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果

4．利用秦九韶算法计算多项式在处的值，并编程获得解。
解：，从而

1
0
-1
0
1
-4
-3

-3
9
-24
72
-219

1
-3
8
-24
73
-223
所以，多项式在处的值。
5．叙述误差的种类及来源。
答：误差的种类及来源有如下四个方面：
（1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。
（2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。
（3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。
（4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。这样引起的误差称为舍入误差。

6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。
答：设是某个量的精确值，是其近似值，则称差为近似值的绝对误差（简称误差）。若存在一个正数使，称这个数为近似值的绝对误差限（简称误差限或精度）。
把绝对误差与精确值之比称为近似值的相对误差，称为近似值的相对误差限，由于真值是未知的，所以常常用来表示相对误差，于是相对误差可以从绝对误差求出。

7．近似值的规格化表示形式如何？
答：一般地，对于一个精确值，其近似值的规格化形式为，其中，为正整数，为整数。

8．有效数字的概念是什么？掌握有效数字与误差的关系。
答：若近似值的（绝对）误差限是它的某一位的半个单位，也就是说该近似值准确到这一位，且从该位起直到前面第一个非零数字为止的所有数字都称为有效数字。
若近似值的（绝对）误差限为，则称为具有位有效数字的有效数，或称它精确到位，其中的每一位数字都是的有效数字。
设精确值的近似值的规格化形式为，若具有位有效数字，则其相对误差限为；反之，若的相对误差限为，则至少有位有效数字。

9．下列各数都是对真值进行四舍五入后获得的近似值，试分别写出它们的绝对误差限，相对误差限和有效数字的位数。
（1） （2） （3） （4） （5）；
解：（1）；；有三位有效数字。
（2）；；有四位有效数字。
（3）；；有四位有效数字。
（4）；；有五位有效数字。
（5）；；有六位有效数字。
10．为了使的相对误差0.1%，问至少应取几位有效数字？
解：由的首位数是4.设近似数有位有效数字，由定理4.1可知，相对误差，解得，即取4位有效数字，近似数的相对误差不超过0.1%。

11．已知，计算及，并求和的相对误差。
解：

12．写出误差估计的一般公式（以二元函数为例）。
解：二元函数的绝对误差：

二元函数的相对误差：

13．用电表测得一个电阻两端的电压和流过的电流范围分别为，，求这个电阻的阻值，并估算其绝对误差和相对误差。
解：，，又。所以：

。
14．若，计算的近似值，并估计及其上界。
解：

15．已测得某场地长为，宽的值为，已知，，试求面积的绝对误差限和相对误差限。
解：由,，，。可得：
。

16．掌握二元函数的加、减、乘、除和开方运算的绝对误差和相对误差估计公式。
解：（1）加、减运算：
由于，所以
（2）乘法运算：
由于所以，从而
（3）除法运算：
由于，所以，
（4）乘方及开方运算：
由于，所以
17．求方程的两个根，使它至少具有4位有效数字（）。
解：

19．求方程的较小正根，要求有3位有效数字。
解：

所以较小正根为。
20．设。
（1）证明：；
（2）给出一个数值稳定的算法，并证明算法的稳定性。
（1）证明：
（2）
设，则

当无限大时，越小，所以该算法稳定。
21．用递推算法计算积分，并验证算法的数值稳定性。
解：
设，则

所以该算法是稳定的。
22．设计一个计算的最小计算量的算法。
解：
23．什么是数值稳定的算法？数值计算应遵循的六条规则是什么？
答：一个算法如果原始数据有误差（扰动），而计算过程中舍入误差不增长或增长可以控制，则称此算法是数值稳定的。否则，称此算法是数值不稳定的。
数值计算应遵循的六条规则是：
（1） 选用数值稳定的算法（计算公式）；
（2） 尽量避免两个相近数相减；
（3） 尽量避免用绝对值很大的数作乘数；
（4） 尽量避免用绝对值很小的数作除数；
（5） 防止大数“吃掉”（或“淹没”）小数（即合理安排运算顺序）；
（6） 简化计算步骤，减少运算次数。
第二章 非线性方程的数值解法
1．叙述零点定理的内容。
答：设函数在闭区间上连续且，则存在使，即在区间内存在实的零点，称区间为方程的有根区间。
2．方程求根的两个步骤是什么？确定方程有根区间的方法有哪些？
答：第一步 确定方程的有根区间。
第二步 近似根的精确化。
确定方程有根区间的方法有两种：作图法和逐步搜索法。
3．利用作图法确定方程的有根区间。
解：
由于于是，在区间内至少有一个根，取步长向右进行根的搜索，即计算的值得到，从而，原方程的有根区间缩小为
4．利用逐步搜索法确定方程的有根区间。
解：由于于是，方程在内至少有一个实根，所以，从，取步长向右进行根的搜索，即计算得到，从而，原方程的有根区间缩小为。
5．确定方程的有根区间。
解：由于函数的定义域为，用逐步搜索法：由于，于是，方程在内至少有一个实根，所以，从,取步长向右进行根的搜索，即计算的值得到，从而原方程的有根区间缩小为
6．二分发的基本思想是什么？
解：二分发的基本思想是将方程的有根区间逐步分半，通过判别在端点的符号以及零点定理来缩小有根区间，使在足够小的区间内使方程有且仅有一个根，并满足给定的精度要求为止。
7．以方程的有根区间为为例，简述二分法的具体作法。
解：第一步：将有根区间分半，用区间的中点将分为两个相等区间，计算中点的函数值。若，则就是方程的根；否则，若，由于在左半区间内不变号，所以方程的有根区间变为。同理，若，则方程的有根区间变为，从而将新的有根区间记为，且区间的长度仅为区间的一半，即。
第二步：对压缩了的有根区间又可施行同样的方法，即用中点将区间再分为两半，然后通过根的搜索判定所求的根位于哪半个区间，从而又确定一个新的有根区间，该区间的长度是区间的一半。
如此反复可得出一系列有根区间且具有关系，其中后一个区间长是前一个区间长的一半，因此区间的长度，当时，区间的长度必趋于零，即这些区间最终收缩于一点，显然就是方程的根。
8．以方程的有根区间为，精度要求为，试写出利用二分法求该方程的近似根所需二分次数的计算公式。
解：若事先给定的精度要求为，则只需，即，此时就是满足给定精度要求的近似值，为二分法的次数。
9．用二分法求下列方程在给定的有限区间及精度要求下的近似值及二分次数（编程）
（1）
解：
（2）
解：
（3）
解：
（4）
解：
10．若应用二分法求方程在区间上误差不超过的近似值，应二分多少次？
解：其近似根为，应分次。

11．迭代法的基本思想是什么？
解：迭代法是一种逐次逼近法，首先给定方程的一个粗糙的初始近似根，然后用一个固定公式反复校正这个根的近似值使之逐步精确化，直到满足预先给定的精度要求为止。
12．迭代法的具体做法如何？
解：(1)将方程改写成等价形式,在根的附近任取一个初始近似根。
(2)构造近似根序列：将代入计算得到，一般，再把作为新的近似根代入得到，重复上述步骤即可。
13.迭代法的几何意义是什么？
答：方程的求根问题在几何上就是确定曲线与直线交点的横坐标。设迭代初值为，曲线上以为横坐标的点为，为点的纵坐标，过点引平行于轴的直线，并与直线相交于，其横坐标为，然后过点引平行线于轴的直线，并与曲线的交点记作，重复上述过程可得点列他们横坐标依次由迭代公式，所确定。如果点列逐步逼近，则迭代过程收敛，否则迭代过程发散。

14．叙述迭代过程收敛定理的内容。
解：假设迭代函数满足下列两个条件
（1）对任意的有；
（2）存在正数，使对任意有。
则（1）对任意初值迭代过程均收敛于方程的根，即。
(2)误差事后估计公式为。

15．试构造收敛的迭代公式求解下列方程：
（1）； （2）。
解：（1）将方程改写为，从而得到迭代公式。
（2）将方程改写为，从而得到迭代公式。

16．判断迭代法解方程在内的根时所用的迭代过程的收敛性。
解：将方程改写为，从而得到迭代公式。则为迭代函数。由，由定理3.2可得该迭代法是收敛的。
17．用迭代法计算的近似值。

19．牛顿法的基本思想是什么？具体做法如何？
解：基本思想：牛顿迭代法实质上是一种线性化的方法，其基本思想是将非线性方程逐步归结为某种线性方程来求解的方法。
具体做法：设已知方程有近似根，将在作一阶泰勒展开，于是方程可近似地表示为是一个线性方程，设，则,于是就有牛顿迭代公式。
20．牛顿法的几何意义是什么？
解：牛顿迭代法实质上是用过点的切线与轴交点的横坐标来逐步逼近曲线与轴交点的横坐标,所以牛顿法又叫切线法。

22．试证：用牛顿法求方程在内的根是线性收敛的。
证明：由牛顿迭代公式，可得，，显然，，所以该迭代过程是线性收敛的。
23．用牛顿法求方程，导出求立方根的迭代公式，并讨论其收敛性。
解：设，得牛顿迭代公式为，牛顿迭代函数，，，所以该迭代公式收敛。

26．正割迭代法的基本思想是什么？具体做法如何？几何意义是什么？
解：基本思想：用过两点，的直线的斜率这个差商来代替牛堆迭代公式中的倒数。
具体做法：对方程经过次迭代后得到近似根，，从而取，于是牛顿迭代公式变为 ，此公式为正割法迭代公式。
几何意义：正割迭代法是用过两点，的直线与轴交点的横坐标来逐步逼近曲线与轴交点的横坐标，因此正割迭代法又叫割线法。

27．简述正割迭代法与牛顿迭代法的区别。
解：牛顿迭代法在计算时只需要一个初值，在计算只用到前一步的值Xk，但要计算；而正割法在计算时需要两个初值，，在计算时要用到前两次的迭代值，，但不用计算导数。

30．使迭代法加速的方法有哪些？并分别写出它们的迭代公式。
答：使迭代法加速的方法有艾特肯加速公式和斯蒂芬森方法：
艾特肯加速公式：
校正：
再校正：
改进：

斯蒂芬森方法：
迭代：
加速：

第三章 线性方程组的数值解法
1．线性方程组的数值解法有哪两大类？并简述他们的概念。
答：线性方程组的数值解法有两大类：
（1）直接法 ：直接法就是在没有舍入误差的情况下，经过有限步算术运算可求得方程组精确解的算法。
（2）迭代法：迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，即先给定一个初始解向量，然后按新的迭代公式逐步求出解的更准确值的方法。

2．高斯消去法的基本思想是什么？
答：高斯消去法的基本思想是用逐次消去未知量的方法把原来方程组化为与其同解的三角形方程组，而求解三角形方程组就容易了。

3．高斯主元素消去法是在何种情况下提出来的？
答：用高斯消去法解线性方程组的消元过程中，可能会出现以下两种情况：第一是主元素全是0的情形，致使消元过程无法进行下去；第二即使主元素不为0，但其绝对值很小时作除数可能会导致其他元素数量级的严重增长和舍入误差的传播，使计算结果不可靠。所以对于一般矩阵来说，最好每一步选取系数矩阵中绝对值大的元素作为主元素。

4．用高斯顺序消去法，完全主元素消去法和列主元素消去法解下列方程组，并写出高斯顺序消去法的程序。
（1） ； （2）。
解：（1）将方程组的增广矩阵进行初等变化，并利用高斯顺序消去法得：
；
利用完全主元素消去法得：

；
利用列主元素消去法得：
（2）将方程组的增广矩阵进行初等变化，并利用高斯顺序消去法得：
；
利用完全主元素消去法得：

；
利用列主元素消去法得：
。

5．用矩阵的三角分解法解下列方程组，并掌握三角分解法的编程思路。
（1）； （2）。
解：（1）对系数矩阵作如下的三角分解：
。
根据矩阵的乘法可得：
，，；
，，
；，
， 。
于是有，则原方程组可表示为
。解方程组，即，得。解方程组，即，得。
（2）对系数矩阵作如下的三角分解：
。
根据矩阵的乘法可得：
，，；
，，
；，
， 。
于是有，则原方程组可表示为
。解方程组，即，得。解方程组，即，得。

6．用追赶法解下列方程组。
（1）； （2） 。
解：（1）由得：
。
于是有

。
从而为 ，解得。为
，解得。

（2）由得：
。
于是有

。
从而为 ，解得。为
，解得。

7．设，掌握常用向量范数的定义式。
解：；
；（又叫最大范数）
；
。
8．已知，计算。
解：；
；
；
。
9．设，掌握常用矩阵范数的定义式。
解：；
；
；
。
10．已知，计算。
解：；
；
；
。
12．解线性方程组的迭代法有哪三种方法？
答：（1）雅可比迭代法（Jacobi）
（2）高斯--赛德尔迭代法（G--S）
（3）超松弛迭代法（SOR）

13．设有方程组
（1）写出用Jacobi迭代法解此方程组迭代公式的分量形式和矩阵形式。
（2）Jacobi迭代法是否收敛？为什么？
解：该方程组可化为：，从而得到Jacobi迭代法的公式：
，其矩阵形式为：，其中：，，，
（2）用Jacobi迭代法解此方程组是收敛的。因为系数矩阵是严格对角占优阵，所以Jacobi迭代法收敛。

14．设有方程组
（1）写出用G-S迭代法解此方程组迭代公式的分量形式。
（2）G-S迭代法是否收敛？为什么？
解：该方程组可化为：，从而得到G-S迭代法的公式：
，
（2）用G-S迭代法解此方程组是收敛的。因为系数矩阵是严格对角占优阵，所以G-S迭代法收敛。

15．设有方程组
怎样改变方程的顺序使Jacobi迭代法和G-S迭代法均收敛。
解：将方程组变化成，此时系数矩阵为严格对角占优矩阵，所以Jacobi迭代法和G-S迭代法均收敛。

16．设方程组，迭代公式为
。求证：由上述迭代公式产生的向量序列收敛的充要条件是。
证明：由题设知：，所以：
迭代矩阵，，所以由迭代法收敛的充要条件，可得，上述迭代公式产生的向量序列收敛的充要条件是。

18．简述迭代法的基本定理的内容。
答：设有方程组，对于任意初始解向量及任意，迭代公式收敛的充要条件是。

19．设为非奇异矩阵，则的条件数的计算公式如何？掌握常用条件数的计算公式。
解：

20．已知，求，和的值 。
解：；
由。所以；
。
因为：，所以。
。
21．设（为正整数），计算，，。
解：，，。
22．分析方程组的性态，并求其精确解；当右端项扰动为时，求其精确解，并计算解的相对误差。
解：由，所以该方程组为病态方程组。其精确解为；
当右端项扰动为时，其精确解为，解的相对误差为。

第四章 插值法
1．简述插值法方法的概念。
答：设函数在区间上有定义，且已知在点上的函数值，如存在一个简单函数使成立，则称为的插值函数，点称为插值节点，区间称为插值区间，满足的条件称为插值条件，求插值函数的方法称为插值方法。（简称插值法）。
2．求一个次数不高于3的多项式使之满足插值条件：

解：设，则根据条件得：
，解得：，
所以：
3．已知数据表

-1
1
2

-3
0
4
求的2次插值多项式。
解：设，则根据条件得：
，解得：，
所以：

4．已知数据表

0
2
3
5

1
-3
-4
2
（1） 写出的3次拉格朗日插值多项式；
（2） 写出的3次牛顿插值多项式。
解：（1），其中
；；
；。
所以：
（2）

5．已知数据表

0
1
2
3
4

1
5
11
25
53
（1） 列出差分表；
（2） 写出的牛顿向前插值多项式；
（3） 计算的值；
（4） 写出其余项。
解：（1）差分表为：

0
1

1
5
4

2
11
6
2

3
25
14
8
6

4
53
28
14
6
0
（2）的牛顿向前插值多项式
；
（3），，代入上式中得：；
（4）。

6．已知数据表

0
1
2
3
4

1
5
11
25
53
（1）列出差分表；
（2）写出的牛顿向后插值多项式；
（3）计算的值；
（4）写出其余项。
解：（1）差分表为：

4
53

3
25
28

2
11
14
14

1
5
6
8
6

0
1
4
2
6
0
（2）的牛顿向后插值多项式
；
（3），代入上式中得：；
（4）。
7．熟练掌握个节点的次拉格朗日插值多项式的表达形式（其中的基函数所具有的规律性）及其插值余项的形式。
解：设函数在个点处的函数值为。
作一个次数不超过的插值多项式使得在这些点处满足插值条件。
首先构造次插值基函数。次插值基函数
。
使之满足插值条件，称为次拉格朗日插值多项式。其余项为：。
8．熟练掌握差商的定义及其列出差商表的方法，掌握已知个节点的次牛顿插值多项式的表达形式及其插值余项的形式。
解：称为函数关于点的零阶差商；称为函数关于点的一阶差商。
为函数关于点的二阶差商。
用阶差商的差商来定义阶差商。

其中
就是用牛顿插值多项式近似代替所产生的截断误差，称为牛顿差值多项式的余项。

9．掌握差分的概念以及列出差分表的方法，掌握牛顿向前插值多项式和牛顿向后插值多项式的表达形式及相应插值余项的形式。
解：设已知函数y=f(x)在等距节点为步长的常数。
称函数f(x)在每一个小区间上的增量为函数在点的一阶差分，记为，即。
一阶差分的差分称为二阶差分，记为，即。
用阶差分的差分来定义阶差分
牛顿向前插值多项式：

余项：
牛顿向后插值多项式：

余项：

10．已知数据表

-1
0
1

-1
0
1

0
1
0
求满足条件的埃尔米特插值多项式。
解：当时，设，则，将条件代入得：
，解得：，所以；
同理，可得当时，；
所以， 。

11．设，试利用拉格朗日插值余项定理写出以为插值节点的三次插值多项式。
解：，其中
；；
； ；
。
则：，其余项为
。
12．已知是以为节点的三次样条函数，求和的值。
解：由三次样条函数的定义可得：。即：
，解得：。

第五章 曲线拟合的最小二乘法
1．简述曲线拟合的概念。
答：所谓的曲线拟合就是从给定的数据集中找出总体规律性，并构造一条能反映这种规律的曲线，这里不要求曲线点点通过给定的数据点，但希望曲线能尽量地靠近数据点，这就使误差按某种标准达到最小。

2．什么是最小二乘原则？什么是曲线拟合的最小二乘法？
答：通常采用既根据“是偏差的平方和最小”的原则(称为最小二乘原则)来选取拟合曲线,称根据最小二乘原则来选择拟合曲线的方法为曲线拟合的最小二乘法。

3．已知数据表：

1
2
3
4

1.95
2.40
2.83
3.30
试求最小二乘一次拟合多项式。
解：根据给定的数据表，建立法方程组：

其中：；，，
，。
解得：，所以。

4．已知数据表：

0
1
2
3
4

1
5
11
25
53
试求次数不高于4的最小二乘拟合多项式。
解：根据给定的数据表，建立法方程组：

其中：；，，
，。
解得：，所以得到最小二乘一次拟合多项式。
同理可得二次拟合法方程组：
，其中：
；，，，
，，，。
解得：，所以得到最小二乘二次拟合多项式。

第六章 数值积分
1．理解数值积分的基本思想。
答：将用简单的函数近似代替是构造数值积分算法的基本思想。
2．掌握代数精度的概念，掌握证明某个求积公式具有次代数精度的方法。
答 ：若求积公式对能精确成立，但对不精确成立，则称该求积公式具有次代数精度。
3．试确定求积公式的代数精度。
解：将代入求积公式的两边得：左边=2=右边，所以成立。
同理，可将代入求积公式两边，公式成立。但将代入其公式不成立。所以，该求积公式具有3次代数精度。
4．证明求积公式具有2次代数精度。
证明：将代入公式两边得：左边==右边；
将代入公式两边得：左边==右边；
将代入公式两边得：左边==右边；
将代入公式两边得：左边=右边；
所以该公式具有2次代数精度。
5．确定一个具有3次代数精度的求积公式

解：由代数精度的定义，将分别代入公式得：
解得：，该求积公式为：
。
6．熟练掌握插值型求积公式中求积系数的求法。
解：

8．用辛普生公式计算积分，并估计截断误差。
解：设，；

由辛普生公式有：

其截断误差为：
。
9．用定义确定求积公式中的待定系数，并指出该公式的代数精度。
解：由插值型求积公式可知：

所以：；
；
。
将代入公式两边得：左边==右边；
将代入公式两边得：左边==右边；
将代入公式两边得：左边==右边；
将代入公式两边得：左边==右边；
将代入公式两边得：左边=右边。
所以该公式具有3次代数精度。

10．确定求积公式中的代数系数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度。
解：将分别代入公式得：
解得：，该求积公式为：

该公式对成立，但对不成立。所以该公式的代数精度为3次。
11．用柯特斯系数的定义式，计算四点求积公式中的柯特斯系数，并写出四点求积公式。
解：由可得：
；
；
；
。
12．熟练掌握用复合梯形公式，复合辛普生公式以及复合柯特斯公式求积分。

13．应用梯形公式和的复合梯形公式计算积分，并估计误差。
解：由梯形公式可得：
；
余项为：
由，可得：，由复合梯形公式，可得：；
余项为：。
14．在用复合梯形公式计算时，若要求误差不超过，至少去多大？
解：由复合梯形公式的余项公式得，用该公式计算的误差为：，所以当时，误差不超过。

15．用的复合辛普生公式计算，并作事后误差估计。
解：由可得，，所以各节点为：
，所以，其余项为。

16．熟悉用变步长梯形公式求积分以及龙贝格公式的计算过程。
解：变步长求积公式：，
龙贝格算法的计算过程为：
（1）计算，和；
（2）将区间分半，计算，和；
（3）分别将区间，分半，计算， ，， ，进而计算；
（4）又将区间，，，分半，计算，，，，
，
，，进而计算。
（5）继续将上述小区间分半，计算出分点处的函数值，并分别计算出
如此反复可得，直到前后两个的值之差满足给定的精度要求为止。
18．已知积分，为保证积分有5位有效数字，问：
（1）在使用复合梯形公式计算时，至少取多大？
（2）在使用辛普生公式计算时，至少去多大？
解：由，所以由积分有5位有效数字可得积分的相对误差限为。
（1）由复合梯形公式的余项可得，要达到误差要求即，解得至少取54。
（2）由复合辛普生公式的余项可得，要达到误差要求即，解得至少取2。

19．试构造两点高斯公式，并由此计算积分。
解：由2次勒让德多项式可得，，即为高斯点。再由得。所以两点高斯公式为：
。
令，当时，当时，，于是