北京市2010年高三数学理高考样题及解析.doc

北京市2010年高考理科数学参考样题
样题选自高考数学北京卷和“北京市新课程高考形式与内容改革试题”

一、选择题：在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
【试题1】设集合，，则等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【说明】本题主要考查集合、交集的概念，一元二次不等式的解法，对数函数的性质.
本题难度为0.98
【试题2】(2006年理工类第1题)在复平面内，复数对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】D
【说明】本题考查复数的概念及复数的几何意义.
本题难度为0.80
【试题3】(2006年理工类第3题)在1、2、3、4、5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有
A.个 B.个 C.个 D.个
【答案】B
【说明】本题考查排列、组合的基础知识，考查推理能力.经分析可知要从1，2，3，4，5中取三个数，使其和为奇数，只有取一个奇数两个偶数或本个奇数才符合要求.于是可得满足条件的三位数的个数共有.
本题难度为0.75
【试题4】(2004年理工类第3题)设、是两条不同的直线，、、是三个不同平面.给出下列命题：
①若，，则；
②若，，，则；
③若，，则；
④若，，则.
其中正确命题的序号是
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
【答案】A
【说明】本题主要考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系，并考查把符合语言、文字语言、图形语言进行转换的能力，以及空间想象能力.
本题难度0.90
【试题5】(20035年理工类第3题)若，，，且，则向量与的夹角为
A. B. C. D.
【答案】C
【说明】本题考查向量、向量的模及向量的夹角等概念，考查向量的运算以及向量垂直的条件.
由两向量的夹角公式和已知条件知，这里只需求得的值即可.
由，得，再由已知求得，，得.
本题难度为0.70
【试题6】(2005年理工类第2题) “”是“直线与直线相互垂直”的
A．充分必要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【说明】本题考查充分必要条件的概念以及两直线垂直的条件.
当时，两直线方程为，，由于它们相互垂直，所以是两直线垂直的充分条件.
当时，两直线方程为，，由于它们相互垂直，所以不是两直线垂直的必要条件.
本题难度为0.63

【试题7】(2008年测试一第7题)甲、乙两名射击运动员在某次测试中各射击20次，两人的测试成绩如下表：

、分别表示甲、乙两名运动员这次测试成绩的标准差，、分别表示甲、乙两名运动员这次测试成绩的平均数，则有
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【说明】本题主要考查平均数、标准差的概念.由甲、乙成绩分布的对称性可得，再根据标准差是刻画成绩的分散与集中程度的量得到.
本题难度为0.78

【试题8】(由2008年测试题改编)当如图所示的程序框图输出的结果为6时，处理框中①处的数应该是
A. B. C. D.

【答案】C
【说明】本题考查算法的基本逻辑结构中的顺序结构、条件结构、循环结构.
由，得.

【试题9】(由2009年测试题改编)一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是
A. B. C. D.
【答案】D
【说明】本题主要考查简单组合体的三视图及其体积.由几何体的三视图可知该组合体是由一个正方体和一个四棱锥组合而成，于是该几何体的体积为.
【试题10】(2006年理工类第5题)已知是上的减函数，那么的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【说明】本题以分段函数为载体，考查函数的单调性的概念以及一次函数和对数函数的性质.
函数在内为减函数的条件是.函数在内为减函数的条件是.要使是上的减函数，还应有.由上解得.
本题难度为0.49

【试题11】(由2008年理工类第7题改编)过直线上的一点作圆的两条切线、，当直线、关于对称时，它们之所成的锐角的大小为

A. B. C. D.
【答案】C
【说明】本题主要考查直线和圆的方程等基础知识，考查空间想象能力和分析问题、解决问题的能力.设、交点为，圆心为，切点分别为、，则直线，其中：，如图所示.点到的距离，半径，在中，故，.

【试题12】(2006年理工类第8题)图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口、、的机动车辆数如图所示，图中、、分别表示该时段单位时间通过路段、、的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则
A. B.
C. D.
【答案】C
【说明】本题是一道以环岛交通流量为背景的应用题，主要考查方程的思想和不等式的性质，对阅读理解能力以及在新颖的情境中选择和建立适当的数学模型的能力等都有一定要求.
依题意，可有，于是可得.
本题难度为0.67

【试题13】(2009年文史类第8题)设是正及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合，则集合表示的平面区域是
A．三角形区域 B．四边形区域
C．五边形区域 D．六边形区域
【答案】D
【说明】本题主要考查数形结合的思想方法，考查综合应用所学知识选择有效的方法和手段对新颖的信息、情境和设问进行独立的思考与探究，创造性地解决问题的能力.
如图，作线段的中垂线，则在直线的下方(包括线上)的点满足.同样，作、的中垂线，得到集合表示的平面区域是如图的六边形区域.
本题难度为0.32

二、填空题：把答案填在题中横线上.
【试题14】(2004年理工类第9题)函数的最小正周期是
【答案】
【说明】本题主要考查三角函数的和角公式、二倍角公式以及三角函数周期的概念.
由于，所以最小正周期是.
本题难度为0.94

【试题15】(2008年测试一第9题)在区间上随机取一实数，则该实数在区间上的概率为
【答案】
【说明】本题主要考查几何概型的概率计算.由于试验的全部结果构成的区域长度为9，构成该事件的区域长度为3，所以概率为.
本题难度为0.54

【试题16】(2004年理工类第14题)定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.
已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为 ，这个数列的前项和的计算公式为
【答案】3，
【说明】本题主要考查数列的基本概念，考查综合应用所学数学知识选择有效的方法和手段对新颖的信息、情境和设问进行独立的思考与探究，创造性地解决问题的能力.

只要能够理解“等和数列”的概念，即可依题意得出已知的等和数列为2，3，2，3，2，3，…，于是可得答案.
本题难度为0.72

【试题17】(2006年理工类第13题)已知点的坐标满足条件，点为坐标原点，那么的最小值等于 ,最大值等于
【答案】
【说明】本题主要考查线性规划等基础知识.依题意，作出满足约束条件的平面区域，为如图所示的及其内部，、、，分别求、、，并比较大小可得结论.
本题难度为0.78

【试题18】(2008年理工类第14题)某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，，当时，，表示非负实数的整数部分，例如，.按此方案，第6棵树种植点的坐标应为　　　；第2008棵树种植点的坐标应为　 　
【答案】，
【说明】本题命题意图是渗透新课标理念，主要考查试验观察、自主探究、实践应用和阅读自学能力，考查由特殊到一般，归纳，类比等逻辑思维方法.
由，且，得，，，，.
又因为，得，，，，.
因此第6棵树种植点的坐标为.
根据前6棵树种植点的坐标及递推关系，如图，可推测每行5个种植点，且第行的纵坐标都是.
由于，因此第2008棵树种植在第402行的第3个位置，所以第2008棵树种植点的坐标应为.

本题难度为0.41

【试题19】(由2009年测试题改编)如图，⊙两条弦、相交于圆内一点，若，，，，则该圆的半径长为
【答案】
【说明】本题主要考查圆的有关性质，考查分析问题和解决问题的能力.
由相交弦定理可知，因为，，，所以.
连结，因为，所以.
于是该圆的半径为.
【试题20】(由2009年测试题改编)圆的极坐标方程为化成直角坐标方程为 ，圆心的直角坐标为
【答案】，
【说明】本题主要考查极坐标中的圆的极坐标方程，考查极坐标与直角坐标的互化.
由，得，因为，，所以，圆心的直角坐标为.

三、解答题：解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
【试题21】(2006年理工类第15题)已知函数.
⑴求的定义域；
⑵设是第四象限的角，且，求的值.
【答案】(1)由得，故的定义域为.
(2)因为，且是第四象限的角，所以，，
故

.
【说明】本题主要考查三角函数的概念、同角三角函数间的关系、三角恒等变形.
本题难度为0.69

【试题22】(2009年测试二第8题)如图，在棱长为正方体中，、分别是、的中点.
⑴求二面角的余弦值是；
⑵在棱上能否找到一点，使平面？若能，试确定点的位置；若不能，请说明理由.
【答案】如图，建立空间直角坐标系.则，，，.
，.设平面的法向量，由，得，取.因为平面的法向量为，所以.
又因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
(2)在轴上取一点，则.由平面，知，于是，即，故存在，使平面，此时为的中点.
【说明】本题主要考查直线与平面、平面与平面垂直的位置关系，二面角及其相关概念，考查空间向量的应用及空间想象能力.
本题难度为0.26
【试题23】(2008年测试二第15题)某区高二年级的一次数学统考中，随机抽取名同学的成绩，数据如下：
分组
频数
频率

频率/组距

合计

⑴求出表中、、，、、的值；
⑵根据上表，请在下面给出的坐标系中画出频率分布直方图；
⑶若该区高二学生有5000人，试估计这次统考中该区高二学生分数在区间内的人数.

【答案】(1)因为，所以.从而，，，，.
(2)频率分布直方图如下：
(3)该区高二同学分数在区间内的人数约为
(人).
【说明】本题主要考查用样本估计总体，考查数据处理能力.
本题难度为0.70

【试题24】(2005年理工类第17题)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率.
⑴记甲击中目标的次数为，求的概率分布及数学期望；
⑵求乙至多击中目标2次的概率；
⑶求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．

【答案】（I）；；；.
的概率分布如下表：

0
1
2
3
P

(或).
（II）乙至多击中目标2次的概率为.
（III）设甲恰比乙多击中目标2次为事件A,甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次
为事件,甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件,则
为互斥事件.

所以,甲恰好比乙多击中目标2次的概率为.
【说明】本题主要考查随机变量的分布列、数学期望，以及互斥事件、相互独立事件的概率等，考查分析问题和解决问题的能力.
本题难度为0.73
【试题25】(2008年理工类第18题)已知函数,求导函数，并确定的单调区间.
【答案】．
令，得．
当，即时，的变化情况如下表：

0

当，即时，的变化情况如下表：

0

所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减．
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
当，即时，，所以函数在上单调递减，在上单调递减．
【说明】本题主要考查了求导法则及导数的运用.考查了运算能力及分类讨论的思想方法.
本题难度为0.47

【试题26】(2008年理工类第19题)已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1.

⑴当直线过点时，求直线的方程；
⑵当，求菱形面积的最大值.
【答案】（Ⅰ）由题意得直线的方程为．
因为四边形为菱形，所以．
于是可设直线的方程为．
由 得．
因为在椭圆上，
所以，解得．
设两点坐标分别为，
则，，，．
所以．
所以的中点坐标为．
由四边形为菱形可知，点在直线上，
所以，解得．
所以直线的方程为，即．
（Ⅱ）因为四边形为菱形，且，
所以．
所以菱形的面积．
由（Ⅰ）可得，
所以．
所以当时，菱形的面积取得最大值．

【说明】本题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算能力和分析问题、解析问题的能力.

本题难度为0.26

【试题27】(2009年理工类第20题)已知数集具有性质：对任意的，与两数中至少有一个属于.
⑴分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；
⑵证明：，且；
⑶证明：当时，成等比数列.
【答案】（Ⅰ）由于与均不属于数集，∴该数集不具有性质P.
由于都属于数集，
∴该数集具有性质P.
（Ⅱ）∵具有性质P，∴与中至少有一个属于A，
由于，∴，故.
从而，∴.
∵， ∴，故.
由A具有性质P可知.
又∵，
∴，
从而，
∴.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，有，即，
∵，∴，∴，
由A具有性质P可知.
由，得，且，∴，
∴，即是首项为1，公比为成等比数列.
【说明】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分
分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题

用心 爱心 专心