导数在数列中的应用1.doc

导数引入中学数学教材，给传统的中学数学内容注入了新的生机与活力，怎样利用导数这一工具重新认识原中学数学课程中的有关问题并为其研究提供新的途径和方法，是当今中学数学教学中的新课题之一。纵观各类刊物，对导数的研究多都停留在函数，解析几何等内容上，而对其他方面关注甚少，本文从一个侧面，介绍导数在一类数列求和问题中的应用，以开阔视野。
例1 求下列数列之和：
（1）；
（2）；
（3）.
分析 （1）由，可设，则，而上式两端求导，并整理得①
（2）比较（1）（2）两式中的通项可发现，只需对两端同乘以，再对求导便可得到

（3）由可知只需对式两端继续求导便可得到

注 只要对上述三个求和式中的赋予具体值便可得到一系列数列求和公式。例如在（1）中令，可得到。而此前我们只能用“错位相减法”解决.
例2 求下列数列的和
(1) ；
(2) ；
(3) ．
分析（１）观察（１）式中各项的组合数排序类似于二项展开式中各项的组合数排序，故可设
两端对求导，得②
令，得
由例１中（２）的解法可想到，只需在②的两端同乘以，再求导便可得到

令，得．
（３）由例１中（３）的分析可想到只需在②的两端同乘以，再求导便可得到

令，得

例题３　求下列数列的和
（１）
（２）
分析　（１）由，可设则
而

即，
两端对求导并整理得

同理可得

利用导数求数列的和，关键在于抓住和式的结构特征，联想求导公式构造相关的函数式，通过对函数式的不同表达形式的求导，来达到问题的解决，体现出用导数法解决有关初等数学的优越性．
例4：数列中，，，
（1）求数列的通项公式；
（2）数列前的和记为，证明。
解：（1）由条件知，，，推测，
由数学归纳法可以证明（略）。
（2）构造函数
因为，
当时，，所以为单调递增函数，
所以，即有，

=。
即。
说明：由于数列可以看成是定义域为自然数的一类特殊的函数，所以数列问题同样可以转化为函数类型来处理，本题中第（2）小题解法中，先构造出函数，利用导数研究函数的单调性，得出，再将换成关于自然数的形式，从而得到问题的解决,这是这类问题的常规解法。
导数是新教材新增内容之一,它给高中数 学增添了新的活力,特别是导数在函数与不等 式方面的应用是高考的热点.数列作为实质意 义上的函数,利用导数研究数列的单调性及最 值问题比用传统方法更为简便. 例l数flJ,a。=(aZ‘l)(n3一2九;)(a笋士 1)是递增数列,求a的取值范围. 解3．【09广东·理】21．（本小题满分14分）
已知曲线．从点向曲线引斜率为
的切线，切点为．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：．
【解析】曲线是圆心为，半径为的圆，切线
（Ⅰ）依题意有，解得，又，

联立可解得，
（Ⅱ），
先证：，
证法一：利用数学归纳法
当时，，命题成立，
假设时，命题成立，即，
则当时，
∵，
故．
∴当时，命题成立
故成立．
证法二：，，

下证：．
不妨设，令，
则在上恒成立，
故在上单调递减，
从而，即．
综上，成立．
3、如图5，过曲线：上一点作曲线的切线交轴于点，又过作 轴的垂线交曲线于点，然后再过作曲线的切线交轴于点 ，又过作轴的垂线交曲线于点，，以此类推，过点的切线 ，与轴相交于点，再过点作轴的垂线交曲线于点（N）．
(1) 求、及数列的通项公式；
(2) 设曲线与切线及直线所围成的图形面积为，求的表达式；
(3) 在满足(2)的条件下, 若数列的前项和为，求证：N.
(本小题主要考查导数、数列、不等式、定积分等知识, 考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)
(1) 解: 由，设直线的斜率为，则.
∴直线的方程为.令，得， ……2分
∴， ∴.∴.
∴直线的方程为.令，得. ……4分
一般地，直线的方程为，
由于点在直线上，∴.
∴数列是首项为，公差为的等差数列.∴. ……6分
（2）解：
. ……8分
（3）证明：.
……10分
∴，.
要证明，只要证明，即只要证明.
……11分
证法1：（数学归纳法）
2 当时，显然成立；
3 假设时，成立，
则当时，，
而.
∴.∴.
这说明，时，不等式也成立.
由①②知不等式对一切N都成立. ……14分
证法2:
.
∴不等式对一切N都成立. ……14分
证法3:令,则,
当时, ,
∴函数在上单调递增.∴当时, .
∵N,∴, 即.
∴.∴不等式对一切N都成立.…