高观点下——几何学 复习题.doc

《高观点下的几何学》练习题一
一、填空题
1．设共线三点，则
2．如果两个向量线性相关，则它们的位置关系是（ ），夹角为（ ）。
3．空间中三个向量线性相关当且仅当它们（ ），空间中的四个向量一定（ ）
4．设与是两个非零向量，若与线性相关，则。
5．已知向量，则与之间的内积。
二、选择题
1．下列性质或量中哪些是仿射的( )
（1）线段的中点； （2）角的平分线；
（3）交比； （4）点偶的调和共轭性
（5）角度 （6）三角形的面积
（7）两相交线段的比 （8）两平行线段的比
（9）对称轴 （10）对称中心
2．设与是两个非零向量，若，则（ ）。
与平行 与垂直 与线性相关 与的夹角为
3．设与是两个非零向量，则下列结论正确的是（ ）。

4．下列说法错误的是（ ）
A．平面上两个向量线性无关当且仅当它们不共线；
B．平面上两个向量线性无关当且仅当它们垂直
C．平面上两个向量线性无关当且仅当它们平行
D．平面上的三个向量一定线性相关
5．设与是两个非零向量，若，则（ ）
与平行 与交角为锐角 与线性相关 与的夹角为
三、计算与证明题
1．设平面上的点变换和分别由和表示，
求 ；；； 。
2．求线坐标所表示的直线方程。
3．求线坐标所表示的直线方程。
4．求线坐标所表示的直线方程。
5．求线坐标所表示的直线方程。
6．试用向量法证明：等腰三角形的中线垂直于底边。
7．证明：使向量内积不变的仿射变换是正交变换。
8．试用向量法证明：半圆的圆周角是直角。
9．若存在，求下列各点的非齐次坐标
。
10．若存在，求下列各点的非齐次坐标
， 。
11．若存在，求下列各点的非齐次坐标
，。
12．将二次曲线化简成标准型。
《高观点下的几何学》练习题二

一、填空题
1．公理法的三个基本问题是（ ）、（ ）和（ ）。
2．公理法的结构是（ ）、（ ）、（ ）和（ ）。
3．仿射变换把矩形变成 。
4．仿射变换把平行线变成 。
5．仿射变换把正三角形变成 。
二、简答题
1．试给一个罗氏几何的数学模型。
2．试给一个黎曼几何的数学模型
3．简述公理法的基本思想。
4．简述公理系统的独立性
5．试着陈述非欧几何是怎样产生的？
6．简述公理系统的完备性。
7．简述公理系统的相容性。
三、选择题
1．三角形内角和等于180度与（ ）
欧氏平行公理等价 罗氏平行公理等价
椭圆几何平行公设等价 不可判定
2．欧氏几何与非欧几何的本质区别为（ ）
平行公设不同 结合公理相同 绝对公设不同 结合公理不同
3．设点共线，且在仿射变换下分别变成，则三点（ ）
A．共线 B．三角形顶点 C．可能不共线 D．可能重合
4．正方形在仿射变换下变成（ ）
A．正方形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形
5．正方形的下列性质中哪些是仿射的( )
（1）对边平行； （2）四角相等；
（3）四边相等； （4）对角线互相平分；
（5）对角线互相垂直； （6）角被对角线平分；
（7）对角线相等； （8）面积
6．在仿射对应下，哪些量不变？（ ）
A．长度 B．角度 C．单比 D．交比

四、计算与证明题
1．求出将点变成点的绕原点的旋转变换，再将所得的变换用于抛物线上。
2． 试确定仿射变换，使轴、轴的象分别为直线和，且点 的象为原点。
3．求出将点变成点的平移变换，在这个平移变换下，抛物线变成什么曲线？
4．求仿射变换的二重直线。
5．证明，直线将两点与的连线段分成的比是。
6．求证：相交于影消线的二直线必射影成两平行线。
《高观点下的几何学》练习题（一） 参考答案
一、填空题。
1．公理法的三个基本问题是（ 相容性问题 ）、（ 独立性问题 ）和（ 完备性问题 ）。
2．公理法的结构是（原始概念的列举）、（定义的叙述 ）、（公理的叙述）和（定理的叙述和证明）。
3．仿射变换把矩形变成 平行四边形
4．仿射变换把平行线变成 平行线
5．仿射变换把正三角形变成 三角形
二、简答题。
1．试给一个罗氏几何的数学模型。
答：罗氏几何的（Cayley-F.kLein）模型
在欧氏平面上任取一个圆，把圆内部的点所构成的集合看成是罗氏“平面”。
罗氏平面几何的原始概念解释成：
罗氏点：圆内的点；
罗氏直线：圆内的开弦（两个端点除外，它们可称为无穷远点）。
结合关系：圆内原来的点和线的结合关系；
介于关系：圆内弦上三点的介于关系；
运动关系：欧氏平面上，将圆K变成自身的射影变换。
罗氏平行公理（在罗氏平面上） 通过直线外一点至少存在两直线与已知直线不相交。

2．试给一个黎曼几何的数学模型
答：黎曼几何的（F.KLein）模型
黎曼几何的原始概念解释成：
黎氏点：欧氏球面上的点，但把每对对径点看成一点；
黎氏直线：球面上的大圆；
黎氏平面：改造后的球面。
黎氏点与黎氏直线的基本关系：
(1)通过任意两个黎氏点存在一条黎氏直线；
(2)通过任意两个黎氏点至多存在一条黎氏直线；
(3)每条黎氏直线上至少有两个黎氏点；至少存在三个黎氏点不在同一条黎氏直线上。
黎曼几何平行公理：黎氏平面上任意两条直线相交。

3．简述公理法的基本思想。
答：若干个原始概念（包括元素和关系）、定义和公理一起叫做一个公理体系，构成了一种几何的基础。全部元素的集合构成了这种几何的空间。在这个公理体系的基础上，每个概念都必须给出定义，每个命题都必须给出证明，原始概念、定义、公理和定理按照逻辑关系有次序地排列而构成命题系统——逻辑结构，这就是公理法思想。

4．简述公理系统的独立性
答：如果一个公理系统中的某条公理不能由其余公理证明，即不时其余公理的推论，则称这跳公理在公理系统中是独立的。如果一个公理系统中的没一条工理都是独立的，则称这个公理系统是独立的。
5．试着陈述非欧几何是怎样产生的？
答：众所周知，欧几里得《几何原本》是演绎体系的里程碑，虽然它不尽完善，但它确实是建立科学演绎体系的最早的代表作，它一经问世，就引起了学术界的广泛关注，欧几里得之后的数学家们在对《几何原本》的研究过程发现，它的第五公设的内容不象前四条公设叙述的那么简单，同时它又是在第二十九条命题之后才出现的，于是这些数学家很自然提出这样一个问题：是否底五公设它不是一条公理，而是一条命题呢？与是他们试图去论证第五公设的独立性，在这种论证过程中，罗巴切夫斯基与黎曼分别建立了新的无矛盾的科学演绎体系，即罗氏及何与黎曼几何，这两种几何与欧氏几何有共同的绝对几何公理体系，只是平行公理不同。

6．简述公理系统的完备性。
答：如果公理系统的所有模型都是同构的，则称这个公理系统是完备的，或称其具有完备性。

7．简述公理系统的相容性。
答：公理系公理系统的相容性是指这个系统的所有构成要素是无矛盾的。
任何一个公理系统都要满足无矛盾性。
证明公理系统的相容性常用的方法是模型法。

三、选择题。
1．三角形内角和等于180度与（ A ）
欧氏平行公理等价 罗氏平行公理等价
椭圆几何平行公设等价 不可判定
2．欧氏几何与非欧几何的本质区别为（ A ）
平行公设不同 结合公理相同
绝对公设不同 结合公理不同
3．设点共线，且在仿射变换下分别变成，则三点（ A ）
A．共线 B．三角形顶点 C．可能不共线 D．可能重合
4．正方形在仿射变换下变成（ B ）
A．正方形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形
5．正方形的下列性质中哪些是仿射的( 1，4 )
（1）对边平行； （2）四角相等；
（3）四边相等； （4）对角线互相平分；
（5）对角线互相垂直； （6）角被对角线平分；
（7）对角线相等； （8）面积
6．在仿射对应下，哪些量不变？（ C，D ）
A．长度 B．角度 C．单比 D．交比

四、计算与证明题。

1．求出将点变成点的绕原点的旋转变换，再将所得的变换用于抛物线上。
（解法同试题3）
2． 试确定仿射变换，使轴、轴的象分别为直线和，且点 的象为原点。
解：所求变换的公式为
其中
则变成直线
但由题设变成可知，与表示同一直线。
所以
因此
同理
此处是参数。
又因为点（1，1）的象为原点，于是，所以，所求变换的逆式为

由此得出所求的仿射变换为

3．求出将点变成点的平移变换，在这个平移变换下，抛物线变成什么曲线？
解：设所求的平移变换为

将已知对应点的坐标代入上式得

于是
所以所求的平移变换为
即
将此变换用于所给的抛物线上

即

略

《高观点下的几何学》练习题（二） 参考答案
一、填空题。
1．设共线三点，则 2
2．如果两个向量线性相关，则它们的位置关系是（ 共线或平行 ），夹角为（ 0或π ）。
3．空间中三个向量线性相关当且仅当它们（ 共面 ），空间中的四个向量一定（ 线性相关 ）
4．设与是两个非零向量，若与线性相关，则 。
5．已知向量，则与之间的内积。

二、选择题。
1．下列性质或量中哪些是仿射的( 1，3，4，8 )
（1）线段的中点； （2）角的平分线；
（3）交比； （4）点偶的调和共轭性
（5）角度 （6）三角形的面积
（7）两相交线段的比 （8）两平行线段的比
（9）对称轴 （10）对称中心
2．设与是两个非零向量，若，则（ B ）。
与平行 与垂直 与线性相关 与的夹角为
3．设与是两个非零向量，则下列结论正确的是（ A ）。

4．下列说法错误的是（ B，C ）
A．平面上两个向量线性无关当且仅当它们不共线
B．平面上两个向量线性无关当且仅当它们垂直
C．平面上两个向量线性无关当且仅当它们平行
D．平面上的三个向量一定线性相关
5．设与是两个非零向量，若，则（ A，C ）
与平行 与交角为锐角 与线性相关 与的夹角为

三、计算与证明题。
1．设平面上的点变换和分别由和表示，
求 ；；； 。
解：，即
若求，只需从中求出即可，所以
，即
2．求线坐标所表示的直线方程。
表示直线或
3．求线坐标所表示的直线方程。
表示直线或
4．求线坐标所表示的直线方程。
解： 表示直线或
5．求线坐标所表示的直线方程。
表示直线或
6．试用向量法证明：等腰三角形的中线垂直于底边。
证明：设△为等腰三角形，记，则，并设中线，见图：

上式两端同做内积，得
，
根据已知条件
，即，
所以 ，即⊥。

7．证明：使向量内积不变的仿射变换是正交变换。
证明：设在使二向量内积不变的仿射变换下，点变成点，点变成点，则

所以（表示两点间的距离）。由于这个变换保持两点间的距离不变，
因此它是正交变换

8．试用向量法证明：半圆的圆周角是直角。
证明：设为半圆的圆心，为直径，为半圆上任意一点，见图，

要证明∠，取，则，设，由于都是圆的半径，
所以，
由图有

所以 ⊥，即∠

9．若存在，求下列各点的非齐次坐标
。
解：存在，设，则这个点的非齐次坐标为。
不存在，因为无穷远点没有非齐次坐标。

略