数列中的推理与证明.doc

课 题 数列中的推理与证明
——对数学必修课程与选修课程整合的尝试
设计( 实施 ） 杨仁宽 时间：2008，4，22 地点：从化中学高三（1）班
课 型 复习课（探究式）
教学方式 “启发·助探式” （ 渗透数学思想方法 ）
教案形式 （知识与思维）“双向式目标教学”教案
教材版本 人教A版必修5，人教A版选修2—2，人教A选修4—5．
教材分析 推理与证明是获得数学结论的基本手段，是数学中最基本、最重要的思维方法，它贯穿整个数学的学习．由于合情推理具有猜测与发现新结论、探索并提供解决问题的思路和方向的作用，而演绎推理则具有证明结论，整理和构建知识体系的作用，使推理与证明成为培养学生数学素养的重要载体，运用于数列题型之中而成为高考重点考查的知识点，这类不断创新的试题也成为高考题中的亮点！
学生分析 通过高一至高三的学习，同学们了解了推理与证明等基础知识，并初步掌握了数列、函数、不等式、算法等有关内容．物理班同学的数学基础与学习习惯相对较好，为本节课内容的实施奠定了基础．
学习目标
1、知识与技能：（1）使学生在对问题的抽象与概括中，进一步了解推理与证明；
（2）通过探究，进一步掌握用推理与证明求解数列问题的方法、步骤．
（3）在对必修与选修内容的探究中，既实现（知识与思维）“双向式学习目标”的达成，又渗透“等价转价”、“分类讨论”等数学思想方法．
2、过程与方法：（1）通过观察、探索、概括等经历，发现并证明某些结果．
（2）使学生在对数列问题的合情推理（归纳与推广）中，培养学生思维的深度和广度；通过求解或证明，培养学生思维的严密与严谨．
3、情感、态度与价值观：（1）进一步感受推理与证明在生活实际中的应用；
（2）激发探索的兴趣，领悟推理与证明在数列问题中的重要作用，在复习过程中注重挖掘例题的功能，以获得独立思考与解决问题的能力．
教学重点 用推理与证明的方法求解数列问题．
教学难点 用推理与证明的方法求解数列综合问题（如，数列与函数、不等式、算法等的综合及证明不等式时放大或缩小的度的把握等）．
教学过程 结合课堂教学，落实学校教学理念：依本、质疑、合作、共进．
一 从实际中抽象，用数学来求解．
思考 (1)古希腊数学家毕达哥拉斯，
曾经研究过“三角数”的问题：

……

改编课本题，
注重基础性．
从左至右，可以算出各图中点的个数依次是
=____，=____，=____，你能归纳出=______ ？

……

适当的变式，
增强趣味性．

等价转化，
分类讨论．

注重开放性，
动态生成性．

整合各章节，
模块整体性．

（2）在广州体育馆举行第49届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样大小的乒乓球堆成若干个“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按如图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆的第n层就放一个球．以表示第n堆的乒乓球总数，则= ；= ；= （用n表示）．
参考公式 ，．
二 典型问题探究，合情推理证明．
题1 若、、、成等差数列，、、、成等比数列．则的取值范围是 ．
题2 对于函数．(1) 求的值．
(2) 你能由此提出什么样的推理？你的推理正确吗？

题3 对于右图所给的算法流程图．
(1) 当时，运算的结果是多少？
(2) 当时，运算的
结果恰好是数列的前项
之和，求数列的通项公式；
(3) 设，并且
．是否存在最大
的整数，使得，都有
恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请你说明理由．

个性化发展，关注差异性．
合作中共进，领悟中构建．

完善知识结构

改编课本题，
能与时俱进，
增强责任感、要有使命感．

分类又讨论，
明智作决策．

既与时俱进，
又学有所用．

题4 设满设足不等式≥的正自然数的个数是，，()．
你能比较与的大小吗？

三 师生归纳小结，完善知识结构．（此处略）
四 课后自主探究，巩固形成能力．
练习1 2008年春节前夕，我国部分地区遭受严重的冰雪灾害，“京珠高速公路”韶关路段就是其中之一（数千辆车辆无法通行，数千名乘客滞留冰雪途中）．某一天，抗灾指挥部接到预报：24小时后又有一场大雪到来！为了确保人民生命与财产的安全，指挥部决定：在大雪到来之前，紧急铲除A段路面上的积雪，疏散车辆和乘客．
经计算，除现有的部队指战员和当地干群连续奋战外，还需要调用20辆同型号的铲雪车，平均每辆铲雪车工作24小时．但目前只有一辆铲雪车能够投放施工，其余的，需要从京珠高速公路沿线抽调，每隔20分钟能有一辆铲雪车到达，指挥部最多可调集25辆铲雪车使用．那么在24小时内能否铲除A段路面上的积雪？

练习2　某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学．该商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付38元；第二种，第一天付4元，第二天付8元，第三天付12元，依此类推；第三种，第一天支付0．4元，以后每天比前一翻一番（即增加1倍）．你会选择哪一种方式领取报酬呢？为什么？

练习３ 右图是一个计算装置示
意图，、是数据入口，C是计算
结果的出口，计算过程是由、分
别输入正自然数和，经过计算后
得正自然数R（由C输出）．若此计算
装置完成的计算满足下列三个性质：
(1) 若、分别输入1，则输出结果为1；
(2) 若输入任何固定的正自然数不变，而输入的自然数增大1，则输出结果比原来增大2；
(3) 若输入1，输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍．
请问：① 若输入1，输入自然数，则输出结果是什么？
② 若输入1，输入自然数，则输出结果是什么？
③ 若输入自然数，输入自然数，则输出结果是 什么？
注：由于课堂教学的开放性，上述设计的内容可能有所增减，所设计的顺序可能有所调整．
谢谢光临，敬请指导！
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