广义积分的收敛性.doc

§2 广义积分的收敛性
主要知识点：广义积分及其敛散性概念；
非负函数广义积分收敛性的比较判别法、柯西判别法；
一般函数广义积分收敛性的Abel 、Dilichlet判别法；
广义积分与级数的关系。
1、 讨论积分 的敛散性。
解： 。
2、 证明积分 收敛 。
，
。

3、 证明积分 收敛 。
解：注意到 ，由于

4、 讨论积分的敛散性 。
解：⑴ －1< k <1时f(x)只可能以为瑕点，且当时分别与同阶，故当时积分收敛。
⑵ k = ±1时，f(x)的可能瑕点仍是 。
k = 1时，将在点处展成Taylor公式，可知与同阶。于是仅当时收敛，仅当时收敛，从而原积分不收敛。
k = －1 时，将在点0处展成Taylor公式，可知1－与同阶。于是仅当时收敛，仅当时收敛，故原积分不收敛。
⑶ 。f(x)的可能瑕点为， 。 。在点处将展开成Taylor公式：，于是
与 同阶。因此，当且仅当时收敛；又仅当时，收敛，所以当且仅当时原积分收敛。

5、 设同敛散。
证：⑴ 设，由Dilichlet 判别法知右边第二个积分收敛，因此同敛散。
⑵、，当时。 取
，由Cauchy准则，也发散。
6、 设的敛散性。
解：当时，由比较判别法即知积分收敛。
当时， 发散，由上题知发散，再由比较法知原积分发散。
7、 讨论的敛散性。
解：利用Taylor公式 ： ,

= ，故当时
，因此原积分收敛。
8、 讨论积分的敛散性。
解：记 。
。
考察：注意到
①  绝对收敛 。
② 由Dilichlet 判别法知 收敛，并且是条件收敛。
③ ，可知 发散。
综上得到：原积分当条件收敛；时发散。
9、 研究
解：只须证明上述积分在上内闭一致收敛。
，
，由此即知积分在上内闭一致收敛，从而
10、 设：
。
证明：因
。对任意，以为步长等分得
= =
。令 ，于是有

+
即 ，因此命题成立。