高中数学三角形形状的判定.doc

(微 lily2064)
高中数学
三角形形状的判定
判断三角形的形状的特征，必须深入地研究边、角间的关系，解决这类问题：
1、 基本知识点：（1）等腰三角形a=b或A=B
（2）直角三角形或A=
（3）钝角三角形或A
（4）锐角三角形若a为最大边且或A为最大角且A
2、基本思想方法：从条件出发，利用正弦定理（或余弦定理）进行代换、转化。逐步化为纯粹的边与边或角与角的关系，即通过考虑如下两条途径：
（1） 统一成角进行判断，常用正弦定理及三角恒等变换；
（2） 统一成边进行判断，常用余弦定理、面积公式等；
常见的题型有：
一、 利用三角形三边的代数关系直接判断
1、 在三角形ABC中，三边a、b、c满足，试判断三角形的形状。
解析： 则c边最大，且，，
，则最大角C为锐角，所以三角形为锐角三角形。
二、运用三角函数的关系直接判断
2、（05北京）在中已知那么一定是（ ）
A、直角三角形 B、等腰三角形
C、等腰直角三角形三角形 D、正三角形
解析：
3、在△ABC中，已知＝cos2，试判断此三角形的类型.
解析： ∵＝cos2 ∴＝
∴2＝1＋
将代入上式得 
∴cos（B－C）＝1
又0＜B，C＜π，∴－π＜B－C＜π∴B－C＝0 ∴B＝C
故此三角形是等腰三角形.
评述： (1)此题在证明过程中，要用到余弦二倍角公式cosA＝2cos2－1的逆用.
(2)由于已知条件就是三角函数关系式，故无需向边的关系转化，而是进行三角函数式的恒等变形
三、运用向量进行判断
4、(06陕西卷) 已知非零向量与满足(+)·=0且·= , 则△ABC为( )
A、三边均不相等的三角形 B、直角三角形
C、等腰非等边三角形 D、等边三角形
解析：非零向量与满足()·=0，即角A的平分线垂直于BC，∴ AB=AC，又= ，∠A=，所以△ABC为等边三角形，选D．

5、在中，设若判断的形状。
解析：，，
同理，两式相减，得，
，=，，同理，，故是等边三角形。
四、运用正（余）弦定理判断
6、在△ABC中，试判断三角形的形状
分析：三角形形状的判断，可以根据角的关系，也可根据边的关系，所以在已知条件的运用上，可以考虑两种途径：将边转化为角，将角转化为边，下面，我们从这两个角度进行分析.
解法一：利用余弦定理将角化为边.
∵ ∴b·
∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2 ∴a2＝b2
∴a＝b
故此三角形是等腰三角形.
解法二：利用正弦定理将边转化为角.
∵ 又
∴
∴
∴sin（A－B）＝0
∵0＜A，B＜π，∴－π＜A－B＜π
∴A－B＝0 即A＝B
故此三角形是等腰三角形.
评述： (1)在判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理.要求学生要注重边角转化的桥梁——正、余弦定理；
(2)解法二中用到了三角函数中两角差的正弦公式，但应注意在根据三角函数值求角时，一定要先确定角的范围.另外，也可运用同角三角函数的商数关系，在等式端同除以得，再由0＜A，B＜π，而得A＝B.
7、在中，如果=，且角为锐角，判断此三角形的形状。
解析：由=，得，，又是锐角，，又，
即
由正弦定理，得：，，，，
故此三角形是等腰直角三角形。
巩固练习：在中，若试判断的形状。
解一：由已知条件及正弦定理可得，为三角形的内角，
，或，或
，所以为等腰三角形或直角三角形。
解二：由已知条件及正弦定理可得，即，由正弦定理和余弦定理可得=，整理，得，即
，，
为等腰三角形或直角三角形。
小结：已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两条思路：其一化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式；其二化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式。两种转化主要应用正弦定理和余弦定理。
本题的两种解法，就是通过两种不同的转化来实现的。
求解有关三角形的形状问题时，除了要掌握正、余弦定理并能熟练运用它们外，还应掌握：
（1） 三角形的内角和定理A+B+C=，大边对大角；
（2） 等；
（3） 三角形面积公式。
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