高中数学解三角形最值.doc

三角形中的最值（或范围）问题
解三角形问题，可以较好地考察三角函数的诱导公式，恒等变换，边角转化，正弦余弦定理等知识点，是三角，函数，解析几何和不等式的知识的交汇点，在高考中容易出综合题，其中，三角形中的最值问题又是一个重点。其实，这一部分的最值问题解决的方法一般有两种：一是建立目标函数后，利用三角函数的有界性来解决，二是也可以利用重要不等式来解决。
类型一：建立目标函数后，利用三角函数有界性来解决
例1．在△ABC中， 分别是内角的对边，且2asinA =（2b+c）sinB+（2c+b）sinC.
(1) 求角A的大小；（2）求的最大值.

变式1：已知向量，，且，其中是△ABC的内角，分别是角的对边.
(1) 求角的大小；（2）求的最大值.
解：由，得a+b—c=ab=2abcosC
所以cosC=，从而C=60
故=sin(60+A)
所以当A=30时，的最大值是

变式2．已知半径为R的圆O的内接⊿ABC中，若有2R（sinA—sinC）=（a—b）sinB成立，试求⊿ABC的面积S的最大值。
解：根据题意得：
2R(—)=(a—b)*
化简可得 c=a+b—ab, 由余弦定理可得：
C=45, A+B=135
S=absinC=2RsinA*2RsinB*sinC
=sinAsin(135—A)
=(sin(2A+45)+1
∵0<A<135 ∴45<2A+45<315
∴ 当2A+45＝90即A=15时，S取得最大值。
类型二：利用重要不等式来解决
例2（13年重庆中学）在中，角A,B,C的对边分别为且.
（1）若，且<，求的值．（2）求的面积的最大值。
解　（1）由余弦定理，
∴
∴，
又∵<，
解方程组
得或 (舍)．
∴
（2）由余弦定理，
∴
∵
∴，又
∴
即时三角形最大面积为
变式3．在⊿ABC中，角A,B,C的对边是a,b,c, ⊿ABC的外接圆半径R=,且＝
（1）求B和b的值； （2）求⊿ABC面积的最大值
解：由已知＝，整理可得：sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB
即sin(B+C)= 2sinAcosB
∵A+B+C=π ∴sinA =2sinAcosB
∵sinA≠0 ∴cosB= ∴B=60
∵R=, ∴b=2RsinB=2sin60=3,
故角B=60,边b=3
由余弦定理得b=a+c-2accosB
即9＝a+c-2accos 60
∴9＋ac= a+c≥2ac(当且仅当a=b时取等号)
即ac=9(当且仅当a=b=3时取等号)
∴三角形得面积s=acsinB≤*9*sin60=
∴三角形得面积的最大值是

变式4：⊿ABC中，若AB=1,BC=2,则角C的取值范围是
答案：解法1.由a=2,c=1, ∴a=2c
∴2sinA=4sinC ∴sinC = sinA≤
∵0<C<A ∴0<C≤30
解法2.cosC===(b+)≥,故0<C≤30

练习：
1、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，＜C＜且＝。
（1）判断△ABC的性状； (2)若|＋|＝2，求·的取值范围．
解：(1)由＝及正弦定理得sinB＝sin2C，∴B＝2C，且B＋2C＝π，
若B＝2C，＜C＜，∴π＜B＜π，B＋C＞π(舍)；∴B＋2C＝π，则A＝C，∴△ABC为等腰三角形．
(2)∵|＋|＝2，∴a2＋c2＋2ac·cosB＝4，∴cosB＝(∵a＝c)，而cosB＝－cos2C，＜C＜，∴＜cosB＜1，∴1＜a2＜，又·＝accosB＝2－a2，∴·∈(，1)．
2、在△ABC中，cos2＝，(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为（ ）
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：∵cos2＝，∴＝，∴cosB＝，
∴＝， ∴a2＋c2－b2＝2a2，即a2＋b2＝c2， ∴△ABC为直角三角形． 答案：B
3、在ABC中，sin(C-A)=1, sinB=。
（I）求sinA的值； (II)设AC=，求ABC的面积。
解：（I）由知。
又所以即
故
(II)由（I）得：
又由正弦定理，得：

所以
4. 在中，角，，所对应的边分别为，，，且．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的最大值．
5. 在中，分别为内角的对边，且
（Ⅰ）求的大小；
.
（Ⅱ）若，试判断的形状. 等腰三角形
6．（2012陕西）在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为（ C ）
A. B. C. D.
7.(2014新标1) 已知分别为的三个内角的对边，=2，且，则面积的最大值为 .
【解析】由且 ，即，由及正弦定理得：∴，故，∴，∴
，∴，
8.（2012安徽文）设的内角所对的边为，且有
（Ⅰ）求角的大小；学（II） 若，，为的中点，求的长。
【答案】（Ⅰ）；（II）
9.(2014新标2文) 四边形的内角与互补，.
（1）求和； （2）求四边形的面积.
【答案】（I），。 （Ⅱ）
10.（2013湖北）在△中，角，，对应的边分别是，，. 已知.
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若△的面积，，求的值.
【简解】（Ⅰ）由，得，解得 或（舍去）.
因为，所以.
（Ⅱ）由得. 又，知.
由余弦定理得故.
又由正弦定理得.
11．(2013江西) 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0. (1)求角B的大小； (2)若a＋c＝1，求b的取值范围．
【简解】(1)由已知sin Asin B－sin Acos B＝0，sin B－cos B＝0，tan B＝， B＝.
(2) b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－3ac≥(a＋c)2－32＝(a＋c)2＝，等号可以成立
∴b≥. 又a＋c>b，∴b<1，∴≤b<1.
12.（2013四川）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－. (1)求cos A的值； (2)若a＝4，b＝5，求向量在方向上的投影．
【简解】(1)由2cos2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－，得
[cos(A－B)＋1]cos B－sin(A－B)sin B－cos B＝－，即cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－.
则cos(A－B＋B)＝－，即cos A＝－.
(2)由cos A＝－，0<A<π，得sin A＝，由正弦定理，有＝，所以，sin B＝＝.
由题知a>b，则A>B，故B＝，根据余弦定理，有(4)2＝52＋c2－2×5c×，
解得c＝1或c＝－7(舍去)．故向量在方向上的投影为||cos B＝
13.(2013新标2) △ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B.
(1)求B； (2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．
【简解】(1) sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．sin B＝cos B.
又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)△ABC的面积S＝acsin B＝ac.由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos .
又a2＋c2≥2ac，故ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为＋1.
14、（2015年新课标2文）△ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC.
（I）求 ； （II）若,求.

1、已知中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若的面积为S,且等于 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C 由得,即,所以,又,所以,即,所以,即,选C．
2、若三角形的内角满足，则的最小值是 ．
【解析】

3、在△中，为边上一点，，．
（1）求的大小； （2）当时，求的值．
解：（1） 由已知，，

∵∴。
（2）（1）（2）

4、已知函数的最大值为2.
(1)求函数在上的单调递减区间; （2)△ABC中,,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且C=60°,c=3,求△ABC的面积.

5、在△中,内角、、的对边分别是、、,且.
(Ⅰ)求; (Ⅱ)设,为△的面积,求的最大值,并指出此时的值.
答案：（1） （2），最大值3