高中数学解三角形最值.doc

三角形中的最值（或范围）问题 解三角形问题，可以较好地考察三角函数的诱导公式，恒等变换，边角转化，正弦余弦定理等知识点，是三角，函数，解析几何和不等式的知识的交汇点，在高考中容易出综合题，其中，三角形中的最值问题又是一个重点。其实，这一部分的最值问题解决的方法一般有两种：一是建立目标函数后，利用三角函数的有界性来解决，二是也可以利用重要不等式来解决。类型一：建立目标函数后，利用三角函数有界性来解决例1在ABC中， 分别是内角的对边，且2asinA =（2b+c）sinB+（2c+b）sinC.(1) 求角A的大小；（2）求的最大值.变式1：已知向量，且，其中是ABC的内角，分别是角的对边.(1) 求角的大小；（2）求的最大值.解：由，得a+bc=ab=2abcosC所以cosC=，从而C=60故=sin(60+A)所以当A=30时，的最大值是变式2已知半径为R的圆O的内接ABC中，若有2R（sinAsinC）=（ab）sinB成立，试求ABC的面积S的最大值。解：根据题意得： 2R()=(ab)*化简可得 c=a+bab, 由余弦定理可得：C=45, A+B=135 S=absinC=2RsinA*2RsinB*sinC=sinAsin(135A)=(sin(2A+45)+10A135 452A+45315 当2A+4590即A=15时，S取得最大值。类型二：利用重要不等式来解决例2（13年重庆中学）在中，角A,B,C的对边分别为且.（1）若，且，求的值（2）求的面积的最大值。解（1）由余弦定理， ，又，解方程组得或 (舍) （2）由余弦定理， ，又即时三角形最大面积为变式3在ABC中，角A,B,C的对边是a,b,c, ABC的外接圆半径R=,且（1）求B和b的值； （2）求ABC面积的最大值解：由已知，整理可得：sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB即sin(B+C)= 2sinAcosBA+B+C= sinA =2sinAcosBsinA0 cosB= B=60R=, b=2RsinB=2sin60=3,故角B=60,边b=3由余弦定理得b=a+c-2accosB即9a+c-2accos 609ac= a+c2ac(当且仅当a=b时取等号)即ac=9(当且仅当a=b=3时取等号)三角形得面积s=acsinB*9*sin60=三角形得面积的最大值是变式4：ABC中，若AB=1,BC=2,则角C的取值范围是 答案：解法1.由a=2,c=1, a=2c2sinA=4sinC sinC = sinA0CA 0C30解法2.cosC=(b+),故0b，b1，b1.12.（2013四川）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cos Bsin(AB)sin Bcos(AC). (1)求cos A的值； (2)若a4，b5，求向量在方向上的投影【简解】(1)由2cos2cos Bsin(AB)sin Bcos(AC)，得cos(AB)1cos Bsin(AB)sin Bcos B，即cos(AB)cos Bsin(AB)sin B.则cos(ABB)，即cos A.(2)由cos A，0Ab，则AB，故B，根据余弦定理，有(4)252c225c，解得c1或c7(舍去)故向量在方向上的投影为|cos B13.(2013新标2) ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知abcos Ccsin B.(1)求B； (2)若b2，求ABC面积的最大值【简解】(1) sin Asin Bcos Csin Csin Bsin(BC)sin Bcos Ccos Bsin Csin Bcos B.又B(0，)，所以B.(2)ABC的面积Sacsin Bac.由已知及余弦定理得4a2c22accos .又a2c22ac，故ac，当且仅当ac时，等号成立因此ABC面积的最大值为1.14、（2015年新课标2文）ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC.（I）求 ； （II）若,求.1、已知中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若的面积为S,且等于（）ABCD 【答案】C 由得,即,所以,又,所以,即,所以,即,选C 2、若三角形的内角满足，则的最小值是 【解析】3、在中，为边上一点， （1）求的大小； （2）当时，求的值解：（1） 由已知， 。（2）（1）（2）4、已知函数的最大值为2.(1)求函数在上的单调递减区间; （2)ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且C=60,c=3,求ABC的面积.5、在中,内角、的对边分别是、,且.()求; ()设,为的面积,求的最大值,并指出此时的值.答案：（1） （2），最大值3