卡尔曼分解、互质分解下讨论最小实现以及零极点相消.docx

目录

一． 卡尔曼分解下讨论零极点相消与最小实现 1
1.1 卡尔曼分解概述 1
1.2 卡尔曼分解的原理 2
1.3 卡尔曼分解与最小实现以及互质分解 3
二． 零极点相消与最小实现的关系 4
2.1 概述 4
2.2 单变量系统的能控性、能观性与传递函数零极点相消之间的关系。 4
2.3 最小实现的判据 6
三． 利用互质分解 8
3.1 互质分解与卡尔曼分解 8
3.2 matlab上的验证 10
3.3 最小实现与互质分解以及卡尔曼分解之间的关系 11

摘要：
本文主要在卡尔曼分解以及互质分解下讨论了最小实现以及零极点相消的问题。讨论了非互质的传递函数会使系统实现时出现不能控或者不能观的部分，从而引出了卡尔曼分解，卡尔曼分解后的能控能观部分的实现为最小实现，系统维数降低，说明出现了零极点相消的情况。系统的维数等于互质分解后传递函数的维数的实现时最小实现，此时的实现也是能控能观的实现。但如果传递函数中消掉的是不稳定的零极点，则不稳定的极点会导致不稳定的状态，出入输出稳定与系统渐进稳定之间是有很大差别的。

一． 卡尔曼分解下讨论零极点相消与最小实现
1.1 卡尔曼分解概述

卡尔曼分解，即能控能观性分解，在已知系统状态方程不能控或者不能观的情况下，对其做矩阵等价变换，使其状态变量划分为能控能观、能控不能观、不能控能观、不能控不能观四个部分。
状态方程能够分解为不能控或者不能观部分说明了两个问题：1. 对一个实际系统，并不是所有的状态都能控，也不是说所有的初始状态都能够通过系统输出反映出来，表征输入输出关系的传递函数也仅反映能控能观部分的关系，从而区分输入输出稳定以及系统渐进稳定；2. 卡尔曼分解说明了系统实现时的维数是大于最小实现时的维数的（参见第二章最小实现的内容），因此在表示系统传递函数时必然存在零极点相消的现象，或者说零极点相消的现象使得系统实现时存在不能控或者不能观的部分。
卡尔曼分解也提醒我们在系统实现时要注意不稳定零极点相消的问题，因为相消的极点如果为不稳定极点，则说明存在不能控或不能观的状态，而且这个状态是处于发散状态的。

1.2 卡尔曼分解的原理

能控性分解跟能观性分解是具有对偶性的，因此这里先讲能控性的分解，要说明能控性分解的原理，这里先证明一个小结论。

结论1：对于能控性矩阵

如果把矩阵展开，即，那么矩阵可以表示为：

那么结论是：如果与前面（左边）的向量线性相关，则同样与前面的向量线性相关。
要证明这个结论非常简单，因为表示以矩阵每一列作为一个向量然后进行线性叠加，而，同样是矩阵每一列的线性叠加，因此如果与一组向量线性相关，则必然与同样一组向量线性相关。

能控性分解：
如果能控性矩阵不满足行满秩，设的秩为，则可以构造等价变换矩阵

其中取自矩阵的任意个线性独立列，其余的任意取，只要保证矩阵非奇异就可以。则通过等价变换，状态方程可以转化为：

（式子1-1）
利用上面的结论1，可以简单证明上面的式子。
因为，也就是说第i列是在基下面的表示，又因为是与线性相关的，因此前列为，又因为对于基是线性独立的，因此的列为的形式。而，显然，因为B与线性相关，因此的形式为的形式，至此原式得证。

能观性分解以及能控能观分解：
由于能控性跟能观性的对偶性质，能观性也可以参照能控的做法进行分解，也可以得到相对应的分解形式：

（式子1-2）

如果对状态变量先进性能控性分解，再进行能观性分解，也就可以得到下面的状态方程：

（式子1-3）

1.3 卡尔曼分解与最小实现以及互质分解

再对状态方程进行能控分解时，我们还可以得到另外一个结论：原来状态方程的传递函数与能控性分解后的能控性部分得到的传递函数相等。即：

的传递函数与原状态方程相同。最直接的证明是直接对式子1-1求传递函数，然后分块计算每一部分的值以及最后得到的传递函数，由于式子1-1为上三角分块矩阵，因此可以利用上三角矩阵的求逆公式来求，在此不再展开。
卡尔曼分解后得到能控能观部分的最小实现的结果说明了一个问题，原来的系统如果按照最小实现来构建的话，则系统的维数必然会降低，而系统的维数降低又说明了原来的传递函数中存在零极点相消的现象。反之亦然，按照第三章传递函数互质与卡尔曼分解的讨论中可以看出，传递函数如果存在公共因子，那么在传递函数实现的时候，必然会存在不能控或者不能观的部分，因此可以按照上面的思路，构建非奇异变换矩阵来实现卡尔曼分解。因此卡尔曼分解、传递函数的互质性以及最小实现之前是互相联系，可以互相推导的。

二． 零极点相消与最小实现的关系
2.1 概述

每个线性时不变系统都可以用输入-输出函数：ys=Gsu(s)来描述，且这系统是集中的，用状态方程描述为：
xt=Axt+But （2-1）
yt=Cxt+Dut
如果状态方程是已知的，那么传递函数阵可以求出：Gs=C(sI-A)-1B+D。这计算出来的传递函数阵是唯一的。相反，通过一个给定的传递函数阵求其相对应的状态空间方程的问题，称为实现问题。
如果存在有限维状态方程(2-1)或者说｛A，B，C，D｝使的Gs=C(sI-A)-1B+D,则称传递函数阵G(s)是可实现的。并且｛A，B，C，D｝称为G(s)的一个实现。发散的线性时不变系统可以用传递函数阵描述，但是不能用有限维状态方程描述，所以不是所有的G(s)都是可以实现的，如果G(s)是可以实现的，那么它有无线多种实现的方法，不一定要有相同的维数，所以实现问题相当复杂，其中我们称最小维的实现为最小实现。

2.2 单变量系统的能控性、能观性与传递函数零极点相消之间的关系。
（2-1）对应的传递函数为：gs=c(sI-A)-1b=c.adj(sI-A)bdet⁡(sI-A)=N(s)D(s) (2-2)
其中，Ns=c.adjsI-Ab,Ds=detsI-A
定理：动态方程2-1能控能观的充分必要条件是gs无零极点对消，即D(s)和N(s)无非常数的公因子。
证明：首先用反证法证明条件的必要性。若有s=s0既使N(s0)=0,又使D(s0)=0:
Ds0=detsI-A=0,
Ns0=c.adjsI-Ab=0
利用恒等式
sI-AsI-A-1=sI-AadjsI-AdetsI-A=I
故DsI=sI-Aadj(sI-A)
将s=s0代入，可得
Aadjs0I-A=s0adj(s0I-A) (1)
将上式前乘c、后乘b后即有
c.AadjsI-Ab=s0c.adj(s0I-A)b=s0Ns0=0 (2)
式(1)前乘cA、后乘b，并考虑到(2)的结果后即有
cA2adjs0I-Ab=s0c.Aadjs0I-Ab=s02Ns0=0
……,以此类推可得
N(s)=c.adjs0I-Ab=0
c.A adjs0I-Ab=0
c.A2 adjs0I-Ab=0
⋮
c.An-1 adjs0I-Ab=0
这组式子又可写成ccA⋮cAn-1 adjs0I-Ab=0
因为假设动态方程能观的。上式中前面的能观矩阵是可逆矩阵，故
adjs0I-Ab=0
所以我们有adjs0I-Ab=k=0n-1pk(s0)Akb
bAb⋯An-1bp0(s0)p1(s0)⋮pn-1(s0)=0
但因pn-1(s)≡1故detbAb⋯An-1b=0,这与系统可控的假设相矛盾。
矛盾表明N(s)和D(s)无相同因子，即g(s)不会出现零、极点相消的现象。
再证充分性：即若N(s)和D(s)无相同的因子，要证明（2-1）是能控能观的。用反证法。设该系统不是既能控又能观的。不妨设系统是不能控的，这是可按能控性分解，并且可知这时传递函数
gs=c(sI-A)-1b=c.adj(sI-A)bdet⁡(sI-A)=N(s)D(s)
=c1(sI-A1)-1b1=c1.adj(sI-A1)b1det⁡(sI-A1)=N1(s)D1(s)
在上面的式子中,D(s)是n次多项式，而D1(s)是n1次多项式，由于系统不可控，所以n1<n,而N(s)和D(s)无相同因子可消去，显然
N(s)D(s)≠N1(s)D1(s)
这和两者应相等矛盾。同样可以证明状态方程也是不能观的。

2.3 最小实现的判据
（A，B，C）为严格真传递函数矩阵G(s)的一个n维实现，则其为最小实现的充分必要条件是(A,B)能控且(A,C)能观测。
证明：先证必要性，即已知(A,B,C)为最小实现，欲证(A,B)能控和(A,C)能观测。采用反证法，反设(A,B,C)不能控或不能观测，则可以通过结构分解找到能控且能观测的(A1,B1,C1)，使C1(sI-A1)-1B1=G(s),且有
dimA1<dimA (3)
表明(A,B,C)不是G(s)的最小实现，从而与已知条件矛盾，故反设不成立，(A,B,C)必为能控且能观测的。必要性得证。
再证充分性，即已知(A,B,C)能控且能观，欲证(A,B,C)为最小实现。也采用反证法，反设（A，B，C）能控且能观测，但不是最小实现，这时必存在另一个最小实现(A',B',C') 使
dim⁡A‘<dimA (4)
且对任意相同的输入u,必有相同的输出y,即
0tCeAt-t0But0dt0=0tC’eA't-t0B’u(t0)dt0 (5)
考虑u和t的任意性，进一步有
CeAt-t0But0dt0=C’eA't-t0B’ut0 ， 对于任意t,t0 (6)
若令t0=0，且记
Gt=CeAtB,G‘t=C'eA'tB',t≥0
则 G(t)= G‘t
式中G(t)、G‘t分别为(A,B,C)、（A‘，B’，C'）的单位脉冲响应矩阵。对G(t)求各阶导数并利用A和eAt的可交换属性，得到
G(1)t=CAeAtB=CeAtAB
G2t=CA2eAtB=CeAtA2B
…
Gn-1t=CAn-1eAtB=CeAtAn-1B
…
G2n-1t=CAn-1eAtAn-1B
于是，可构造下列L(t)矩阵
L(t)=G(t)G1(t)…Gn-1(t)G1(t)G2(t)…G(n)(t)⋮⋮⋮G(n-1)(t)G(n)(t)…G2(n-1)(t)=CeAtBCeAtAB…CeAtAn-1BCAeAtBCAeAtAB…CAeAtAn-1B⋮⋮⋮CAn-1eAtBCAn-1eAtAB…CAn-1eAtAn-1B=CCA⋮CAn-1eAtBAB⋯An-1B=
V0eAtUc，t≥0

式中，V0、Uc分别是(A,B,C)的能观和能控性的判别矩阵。当t=0时，有
L0=V0Uc
同理，可导出
L‘t=Vo'eA'tUc' ,L'0=Vo'Uc'
在上式中，Vo'、Uc'分别为(A',B',C')的能观测性和能控性的判别矩阵。由G(t)=G’(t)又有L(t)=L'(t) ,L0=L'(0),故
V0Uc=Vo'Uc'
由已知(A,B,C)能控且能观，则
rankVo=n,rankUc=n
表示 H=V0Uc
有
rankH≤minrankVo,rankUc=n (7)
又因为 VoTH=VoTV0Uc
从而有 Uc=(V0TV0)-1VoTH
故有 n=rankUc≤minrankVoTV0,rankV0,rankH=rankH (8)
由于式（7）和式（8）同时成立，所以必有
rankH=rankV0Uc=n
于是，利用式
V0Uc=Vo'Uc'
和乘积阵秩的关系式，得到
n=rankV0Uc=rankVo'Uc'≤min⁡{rankVo',rankUc'}
即 rankVo'≥n ,rankUc'≥n
这表示dimA'>dimA,与反设相矛盾，故反设不成立，即不存在比(A,B,C)维数更小的实现。充分性得证.
所以传递函数阵无零极点相消，则实现是完全能控的且完全能观的，而这样的系统被称为是最小实现。
例如，Gs=s2-14(s3-1)。它的分子分母有一个公因子s-1,故其存在零极点相消，
它的能控性实现为
x=Ax+bu=00-1100010x+100u
y=cx=140-14x
Ab=00-1100010100=010,A2b=A*Ab=00-1100010010=001
所以，rank(b,Ab, A2b)=3,满秩。该实现为完全能控的。
cA=140-1400-1100010=0-14-14,
cA2=cA*A=0-14-1400-1100010=-14-140
rankccAcA2=2<3,所以该实现为不能观的，综上所述系统不是最小实现。
而对于系统G1s=(s+1)4(s2+s+1),它的能控性实现为：
x=Ax+bu=1110x+10u
y=cx=1414
Ab=111010=11,cA=14141110=1214
rank(b,Ab)=2,满秩，该实现为完全能控的，rankccA=2,满秩，该实现也是完全能观 的。故该实现为最小实现。
三． 利用互质分解
3.1 互质分解与卡尔曼分解

先用一例子来说明，互质分式传递函数与卡尔曼分解之间的关系
设一系统I的传递函数为：
式A-1

有Y(s)=G(s)*U(s)
其中Y(s)为系统输出信号的拉氏变换，U(s)为系统输入信号的拉氏变换
令D(s)V(s)=U(s)（式A-2）定义变量v(t)为V(s)的反拉氏变换，有
Y(s)=N(s)V(s) 式A-3
设状态变量为：
式A-4
将式A-4代入A-2得

sX1(s)=-α1X1(s)-α2X2(s)-α3X3(s)-α4X4(s)+U(s)
对其进行拉式反变换有
x1’(t)=[-α1-α2-α3-α4]x(t)+u(t)
同理，将式A-4代入A-3得
y(t)=[β4 β3 β2 β1]x(t)
综合上述各式可得
式A-5

现在开始讨论式A-1中N(s)与D(s)是否互质与A-5的能控能观性的关系

由式A-5可得该系统的能控矩阵为：

Det(C)=1，很明显系统I传递函数的该实现是一定能控的。如果A-1中N(s)与D(s)不互质的话，则必然存在一非零常数r使得
N(r)=β1r^3+β2r^2+β3r+β4=0 D(r)=r^4+α1r^3+α2r^2+α3r+α4=0 A-6
令为非零向量，由A-6可知N(r)=cz=0，另外

故有

其中O为能观矩阵，很明显O不满秩，因此当N(s)与D(s)不互质时A-5必然不能观。
假设N(s)与D(s)互质时，如果系统不能观则存在A的一特征值r和非零向量z使得

由此可得
N(r)=β1r^3+β2r^2+β3r+β4=0
应此可得r为N(s)=0的一个根，又因为r为A的特征根即为特征方程D(s)=0的一根，从而N(s)与D(s)有公因子s-r，故而N(s)与D(s)不互质。与假设矛盾。
综上所述，A-5当且仅当A-1互质的情况下才能控能观。
对A-1取转置有

此实现必定能观，由对偶律与上述描述可知，该实现当且仅当A-1为互质分式时才能控。

推广至一般情况可以得出结论：对于SISO系统而言，如果系统的状态空间表达式能控且能观，则必定互质，即对于卡尔曼分解得出来的能控能观状态空间表达式其传递函数必定互质。

3.2 matlab上的验证

下面通过对A-1与其能控能观设置不同参数用matlab来对上述讨论进行验证。
在matlab的command窗口中输入一下语句
syms s;
D=(s + 1)*(s + 3)*(s + 5)*(s + 6);
N=(s + 2)*(s + 5)*(s + 6);
expand(D)
expand(N)
可得
D=s^4 + 15*s^3 + 77*s^2 + 153*s + 90
N=s^3 + 13*s^2 + 52*s + 60
为一对有公因子的两多项式，利用上述参数设置能控型参数输入
A=[-15 -77 -153 -90;1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0];
c=[1 13 52 60];
O=obsv(A,c);
rank(O)
可知O的秩为2 系统不能观，可知传递函数不互质时，系统的能控标准实现不能观。
利用上述参数设置能观型参数，输入
A=[-15 1 0 0;-77 0 1 0;-153 0 0 1;-90 0 0 0];
b=[1;13;52;60];
C=Ctrb(A,b);
rank(C)
可知C的秩为2，系统不能控
再在maltab的command中输入
syms s;
D=(s + 1)*(s + 3)*(s + 7)*(s + 8);
N=(s + 2)*(s + 5)*(s + 6);
expand(D)
expand(N)
可得
D=s^4 + 19*s^3 + 119*s^2 + 269*s + 168
N=s^3 + 13*s^2 + 52*s + 60
为一对互质分式利用其系数设置能控标准型，输入
A=[-19 -119 -269 -168];
c=[1 13 52 60];
O=obsv(A,c);
rank(O)
得O满秩，系统能控且能观

3.3 最小实现与互质分解以及卡尔曼分解之间的关系

接下来讨论最小实现与互质分式和卡尔曼分解之间的关系
先列出几个定义：
（1）最小实现的定义：一个传递函数维数最小的状态空间表达式实现称为最小实现。
（2）有理函数次数（deg）：互质有理分式分母多项式的幂次即为有理函数的次数。

如果一个实现不是能控的或者不是能观的，那么状态方程必然能够利用卡尔曼分解降至更低的维数且具有同一传递函数的状态空间表达式，则必然不是维数最小的实现，所以最小实现必然是能控且能观的。
对于一个n维能控且能观状态空间表达式：

易得

很明显有

所以能控且能观状态表达式（A,b,c,d）必为最小实现。
另外，由于只有当传递函数的分式互质时才能够找到其能控且能观实现，所以只有当实现的维数为互质传递函数的阶次时，该实现才能为系统的最小实现。
结论：一个状态空间表达式（A, b, c, d）当且仅（A, b）能控且（A, c）能观时或当且仅当dimA=degG(s)时为一个严格的有理传递函数G(s)的最小实现。
也就是说一个最小实现必定为其他维数更高的实现卡尔曼分解之后能控能观子空间的状态空间表达式，而且其对于的传递函数必然是一个有限阶的互质分式。