第6章 总体率的区间估计和假设检验.doc

第6章 总体率的区间估计和假设检验
w 掌握率的抽样误差的概念和意义
w 掌握总体率区间估计的概念意义和计算方法
w 掌握率的U检验的概念和条件，计算方法
w 第一节 率的抽样误差与总体率的区间估计
一、率的抽样误差：在同一总体中按一定的样本含量n抽样,样本率和总体率或样本率之间也存在着差异，这种差异称为率的抽样误差。
率的抽样误差的大小是用率的标准误来表示的。

例6.1 检查居民800人粪便中蛔虫阳性200人，阳性率为25%，试求阳性率的标准误。
本例：n=800，p=0.25，1-p=0.75，

二、总体率的区间估计
㈠正态分布法
样本含量n足够大，np与n(1-p)均≥5时 ,

例6.2 求例6.1当地居民粪便蛔虫阳性率的95%可信区间和99%的可信区间。
95%的可信区间为：25%±1.96×1.53% 即（22.00%，28.00%）
99%的可信区间为：25%±2.58×1.53% 即（21.05%，28.95%）
㈡ 查表法
当样本含量较小（如n≤50），np或n(1－p)<5时，样本率的分布呈二项分布，总体率的可信区间可据二项分布的理论求得。
第二节 率的u检验
应用条件：样本含量n足够大， np与n(1－p)均≥5 。
此时，样本率p也是以总体率为中心呈正态分布或近似正态分布的 。
一、样本率与总体率比较的u检验
w u值的计算公式为 ：

例6.5 根据以往经验，一般胃溃疡病患者有20%(总体率)发生胃出血症状。现某医生观察65岁以上胃溃疡病人152例，其中48例发生胃出血，占31.6%（样本率）。问老年胃溃疡病患者是否较一般胃溃疡病患者易发生胃出血。
计算结果及判断
判断：u=3.58 > u0.05=1. 64（单侧）, P<0.05。
在α=0.05水准上，拒绝H0，接受H1，差异有统计学意义。

二、两样本率比较的u检验
适用条件为两样本的np和n(1-p)均大于5。
计算公式为

例6.6 某中药研究所试用某种草药预防流感，观察用药组和对照组（未用药组）的流感发病率，其结果见表6-1。问两组流感发病率有无差别？

表6-1 用药组和对照组流感发病率比较
组 别
观察人数
发病人数
发病率（%）
用药组
100
14
14
对照组
120
30
25
合 计
220
44
20

第七章 二项分布与Poisson分布
第一节 二项分布及其应用
一、二项分布的概念及应用条件
二项分布（binominal distribution） 是一种重要的离散型分布，在医学上常遇到属于两分类的资料，每一观察单位只具有相互独立的一种结果，如检查结果的阳性或阴性，动物试验的生存或死亡，对病人治疗的有效或无效等。
二项分布 也称为贝努里分布（Bernoulli distribution）或贝努里模型，是由法国数学家J.Bernoulli于1713年首先阐述的概率分布。
如果已知发生某一结果（如阳性）的概率为π，其对立结果（阴性）的概率为（1-π），且各观察单位的观察结果相互独立，互不影响，则从该总体中随机抽取n例，其中出现阳性数为X (X=0,1,2,3,…，n)的概率服从二项分布。
贝努里模型应具备下列三个基本条件
试验结果只出现对立事件A或，两者只能出现其中之一。这种事件也称为互斥事件。
试验结果是相互独立，互不影响的。例如，一个妇女生育男孩或女孩，并不影响另一个妇女生育男孩或女孩等。
每次试验中，出现事件A的概率为π ，而出现对立事件的概率为１- π 。则有总概率 π +（1- π ）=1。
二、 二项分布的概率函数
根据贝努里模型进行试验的三个基本条件，可以求出在n 次独立试验下，事件A出现的次数X的概率分布。X为离散型随机变量，其可以取值为0,1,2,…,n。
则X的概率函数为： X=0,1,2,3…..,n
式中：0<π<1， 为组合数，上述公式称随机变量X服从参数为n，π的二项分布，则记为X～B(n,π)。
三、 二项分布的性质
1. 二项分布的每种组合的概率符合二项展开式，其总概率等于1

二项展开式有以下特点：
（1）展开式的项数为n+1。
（2）展开式每项π和（1- π ）指数之和为n。
（3）展开式每项π的指数从0到n；（1- π ）的指数从n到0。
2. 二项分布的累积概率 设m1≤X≤m2 （m1＜m2）, 则X在m1至m2区间的累积概率有：
至多有x例阳性的概率为： X=0,1,2，…，x (7.4)
至少有x例阳性的概率为： X=x，x+1，…，n
分别为下侧累计概率，和上侧累计概率。
3.二项分布的概率分布图形
以X为横坐标，P（X）为纵坐标，在坐标纸上可绘出二项分布的图形, 由于X为离散型随机变量，二项分布图形由横坐标上孤立点的垂直线条组成。
二项分布的图形取决于与n的大小。当n充分大时，二项分布趋向对称，可以证明其趋向正态分布。
一般地，如果nπ之积大于5时，分布接近正态分布；当nπ<5时，图形呈偏态分布。当π =0.5时，图形分布对称，近似正态。如果π≠0.5或距0.5较远时，分布呈偏态。
4.二项分布的数字特征
(这里的数字特征主要指总体均数、方差、标准差等参数）
（1）随机变量X的数学期望E（X）＝μ，即指总体均数： μ ＝nπ
（2）随机变量X的方差D（X）＝σ 2 为：
（3）随机变量X的标准差为:

四、二项分布展开式各项的系数
二项分布展开式的各项之前均有一个系数，用组合公式来表示。计算公式为：
该系数也可用杨辉三角来表示，国外参考书习惯称之为巴斯噶三角。 当试验次数n较小时，可直接利用杨辉三角将二项分布展开式各项的系数写出来，应用十分方便。
杨辉三角的意义：
①杨辉三角中每行有几个数字，表示展开式有几项。当试验次数为n 时，有n+1项。
②杨辉三角中每行中的数字表示展开式中每项的系数大小。
③杨辉三角中的各数字项及其数字的排列很有规律。可依照规律继续写下去。第一行的第一、第二项均为数字１，以后每下一行的首项及末项均为１，中间各项为上一行相邻两项数字之和。
五、二项分布的应用
二项分布在医学领域中，主要应用在下列几个方面：
①总体率的可信区间估计，
②率的u检验，
③样本率与总体率比较的直接计算概率法。
（一）应用二项分布计算概率
例 如出生男孩的概率π=0.5，出生女孩的概率为（1-π）=0.5。在一个妇产医院里有3名产妇分娩3名新生儿，其中男孩为X=0,1,2,3的概率按公式计算的结果列于表7-1的第（3）栏中。
分析：根据题意，已知生育男孩为事件A，其概率P(A)=0.5（即π=0.5）；生育女孩为事件A -，其概率为P(A-)=1-P(A)=1-0.5＝0.5（即1-π =0.5）。

三个妇女生育均为女孩（即无男孩）的概率为：

三个妇女生育一个男孩，两个女孩的概率为：

(二)样本率与总体率的比较的直接概率法
此法适用nπ和n(1-π)均小于5的情形。
应注意：
①当样本率大于总体率时，应计算大于等于阳性人数的累积概率。
②当样本率小于总体率时，应计算小于等于阳性人数的累积概率。
例 A药治疗某病的有效率为80％。对A药进行改进后，用改进型A药继续治疗病人，观察疗效。
①如果用改进型A药治疗20例病人，19例有效。
②如果用改进型A药治疗30例病人，29例有效。
试分析上述二种情形下，改进型A药是否疗效更好。
分析: A药有效率为80％，可以作为总体率，即π0＝0.8 。治疗20例病人的样本有效率为（19／20）×100％＝95％；治疗30例病人的样本有效率为（29／30）×100％＝96.67％。两个样本率均大于总体率80％，故应计算大于等于有效例数的单侧累积概率。
情形一：治疗20例病人的疗效分析
（1）建立检验假设
H0：改进型A药的疗效与原A药相同，π＝π0＝0.80
H1: 改进型A药的疗效高于原A药，π ＞ π0 ＝0.80
单侧α ＝0.05
（2）计算概率值 根据二项分布有：
= 0.0548+0.0115=0.0663
（3）推断结论 本例P＝0.0663＞0.05,在0.05检验水准上,不拒绝H0。尚不能认为改进型A药的疗效优于原A药。
情形二：治疗30例病人的疗效分析
（1）检验假设同情形一。
（2）计算单侧累积概率有：
=0.008975+0.001238=0.0102
（3）推断结论 本例P＝0.0102,在＝0.05水准上,拒绝H0,接受H1。可以认为改进型A药的疗效优于原A药。
注意：治疗20例病人的有效率为95％，治疗30例病人的有效率为96.67％，两个样本有效率很接近。但最终得出的结论却不相同。一般地，临床上观察疗效，样本含量不能太小。随着观察例数的增加，疗效的稳定性及可靠性也相应增加，受到偶然因素影响的机会也变得较小。
例 一般人群对B药的副作用反应率为1％。调查使用B药者300人，其中只有1人出现副作用。问该调查人群对B药的副作用反应率是否低于一般人群。
分析:本例总体率＝1％。调查人群样本反应率为（1／300）×100％＝0.33％。由于样本率小于总体率，故应计算小于等于阳性人数的累积概率。
（1）建立检验假设
H0：调查人群反应率与一般人群相同， π＝π0＝0.01
H1: 调查人群反应率低于一般人群， π<π0 ＝0.01
单侧α ＝0.05
（2）计算单侧累积概率 :

（3）推断结论 本例 P＝0.1976,在α＝0.05水准上,不拒绝H0。尚不能认为调查人群的B药副作用反应率低于一般人群。
第二节 Poisson分布及其应用
一、Poisson分布的概念及应用条件
(一)Poisson分布的概念
Poisson分布由法国数学家S.D.Poisson在1837年提出。该分布也称为稀有事件模型，或空间散布点子模型。在生物学及医学领域中，某些现象或事件出现的机会或概率很小，这种事件称为稀有事件或罕见事件。稀有事件出现的概率分布服从Poisson分布。
Poisson分布的直观描述：如果稀有事件A在每个单元（设想为n次试验）内平均出现λ次，那么在一个单元（n次）的试验中，稀有事件A出现次数X的概率分布服从Poisson分布。
Poisson分布属于离散型分布。在Poisson分布中，一个单元可以定义为是单位时间，单位面积，单位体积或单位容积等。如每天8小时的工作时间，一个足球场的面积，一个立方米的空气体积，1升或1毫升的液体体积,培养细菌的一个平皿，一瓶矿泉水等都可以认为是一个单元。一个单元的大小往往是根据实际情况或经验而确定的。若干个小单元亦可以合并为一个大单元。
二)常见Poisson分布的资料
在实际工作及科研中，判定一个变量是否服从Poisson分布仍然主要依靠经验以及以往累积的资料。以下是常见的Poisson分布的资料：
1.产品抽样中极坏品出现的次数；2.枪打飞机击中的次数；
3.患病率较低的非传染性疾病在人群中的分布；4.奶中或饮料中的病菌个数；
5.自来水中的细菌个数；6.空气中的细菌个数及真菌饱子数；
7.自然环境下放射的粒子个数；8.布朗颗粒数；9.三胞胎出生次数；
10.正式印刷品中错误符号的个数；11.通讯中错误符号的个数；
12.人的自然死亡数；13.环境污染中畸形生物的出现情况；
14.连体婴儿的出现次数；15.野外单位面积某些昆虫的随机分布；
16.单位容积内细胞的个数；17.单位空气中的灰尘个数；18.平皿中培养的细菌菌落数等。二、Poison分布的概率函数及性质
如果稀有事件A在每个单元（设想为n次试验）内平均出现λ次，那么在一个单元（n次）的试验中，稀有事件A出现次数X的概率分布服从Poisson分布。

（X=0,1,2,…）

其中λ＞0，则称X服从参数λ为的Poisson分布。
记为X～P(λ)。式中：λ为总体均数，λ＝nπ或λ=np；X为稀有事件发生次数；e为自然底数，即e =2.71828
v P（0）= e－λ
(二) 性质
1. 所有概率函数值（无穷多个）之和等于1，即

2.分布函数
v （X=0,1,2,…x）

3.累积概率
v （0≤x1＜x2）

4.其它性质
总体均数: μ ＝λ＝nπ (或np)
方差：σ 2＝λ
标准差：

（三）Poisson分布的图形
一般地，Poisson分布的图形取决于λ值的大小。λ值愈小，分布愈偏；λ值愈大，分布愈趋于对称。当λ＝20时，分布接近正态分布。此时可按正态分布处理资料。当λ＝50时，分布呈正态分布。。这里通过计算一个具体实例来观察Poisson分布的概率分布趋势。
例 计算Poisson分布X~P(3.5)的概率。

（四）Poisson分布的可加性
从同一个服从Poisson分布的总体中抽取若干个样本或观察单元，分别取得样本计数值X1，X2，X3，…，Xn，则∑Xi 仍然服从Poisson分布。根据此性质，若抽样时的样本计数X值较小时，可以多抽取几个观察单元，取得计数Xi,将其合并以增大X计数值。
三、Poisson分布与二项分布的比较
Poisson分布也是以贝努里模型为基础的。实际上，Poisson分布是二项分布的一种特殊情形，即稀有事例A出现的概率很小，而试验次数n很大，也可将试验次数n看作是一个单元。此时， n或np =λ为一个常数，二项分布就非常近似Poisson分布。p愈小，n愈大，近似程度愈好。
设λ＝1。当n=100, =0.01时，及n=1000, =0.001时，按照二项分布及Poisson分布计算概率P（X）。
.按二项分布计算
已知： n=100, π =0.01, 1－π =0.99 ，代入公式有：

2.按Poisson分布计算 代入公式有：

（四）Poisson分布的应用
Poisson分布有多种用途。主要包括总体均数可信区间的估计，样本均数与总体均数的比较，
两样本均数的比较等。 应用Poisson分布处理医学资料时，一定要注意所处理资料的特点和性质，资料是否服从Poisson分布。

（一）总体均数的估计

总体均数的估计包括点估计和区间估计。
点估计是指由样本获得的稀有事件A出现的次数X值，作为总体均数的估计值。该法的优点是计算简便，但缺点是无法得知样本代表总体均数的可信程度。
区间估计可以确切获知总体均数落入一个区域的可信度，一般可信度取95％或99％。
估计总体均数可信区间一般分为小样本法和大样本法。
1.小样本法 当样本均数或样本计数值X≤50时，可直接查 “Poisson分布的可信区间”表，得到可信区间（略）。
2.正态近似法 当样本均数或计数X＞50时，可按正态分布法处理。
总体均数λ95％的可信区间为
总体均数λ99％的可信区间为
例 某防疫站检测某天然水库中的细菌总数。平均每毫升288个细菌菌落。求该水体每毫升95％和99％的可信区间。
应用公式有： λ95％的可信区间 =（255.74，320.26）
λ99％的可信区间=（244.22，331.78）
例 调查1985年某市某区30万人，流行性出血热发病人数为204人。求该市发病人数及发病率（1／10万）95％的可信区间。
分析：已知样本均数X为204人，观察单元n＝30万人。先计算出发病人数的可信区间，再按照发病率的要求以10万人作为观察单元，计算发病率可信区间的上下限值。
(1) 发病人数的95％可信区间为：=（176，232）
(2) 发病率的95％可信区间为： 上限值：
下限值：
（二）样本均数与总体均数的比较
常用的方法有两种。
①直接计算概率法：与二项分布的计算思路基本相同。即当λ＜20时，按Poisson分布直接计算概率值。
②正态近似法：当λ≥20时，Poisson分布接近正态分布。按正态分布使用u检验处理资料。
1.直接计算概率法
例 某地区以往胃癌发病率为1／万。现在调查10万人，发现3例胃癌病人。试分析该地区现在的胃癌发病率是否低于以往的发病率。
H0: 现在胃癌发病率与以往相同，π ＝π0 =0.0001
H1： 现在胃癌发病率低于以往， π < π0
单侧α ＝0.05
（2）计算概率值
已知：n=100000， π =0.0001，λ＝n π =100000×0.0001=10。
根据题意，应计算小于等于3人发病的概率P（X≤3），
即：P（X≤3）＝P(0)＋P(1)+P(2)+P(3)

（3）推断结论 本例P＝0.0103，小于P＝0.05。在α＝0.05水准上拒绝H0，接受H1。可以认为现在该地区胃癌发病率低于以往发病率。
2．正态近似法 当λ≥20时，用u检验法
例 根据医院消毒卫生标准，细菌总数按每立方米菌落形成单位（CFU／m3）表示。无菌间的卫生标准为细菌菌落数应不大于200（CFU／m3）。某医院引进三氧消毒机，每天自动对无菌间进行2小时消毒。对无菌间抽样调查显示，细菌总数为121CFU／m3。试问该医院无菌间的细菌总数是否低于国家卫生标准。
q (1) 建立检验假设
H0: 无菌间的细菌总数符合国家卫生标准，λ=λ0=200
H1: 无菌间的细菌总数低于国家卫生标准，λ<λ0
单侧α＝0.05
q （2）计算u值：
q 已知：λ0＝200 CFU／m3, X＝121 CFU／m3，代入公式有：
(3)确定P值 查u界值表,单侧u0. 05=1.64,现u>u0. 05, 故P<0.05。
⑷推断结论 因P<0.05，拒绝H0, 接受H1, 差异有统计学意义。
可以认为该医院无菌间的细菌总数低于国家卫生标准。
例 某地区以往恶性肿瘤发病率为126.98／10万人。今调查发现，该地区恶性肿瘤发病率上升为148.62/10万人。试分析现在的发病率是否高于以往的发病率。
（1）建立检验假设
H0: 现在的发病率与以往的发病率相同，λ＝λ0＝126.98
H1: 现在的发病率高于以往的发病率，λ＞λ0
单侧＝0.05
（2）计算u值：
（3）确定P值 本例u=1.92，大于单侧u0.05=1.64,则P＜0.05。
（4）推断结论 在＝0.05水准上拒绝H0，接受H1，差异有统计学意义。可以认为该地区恶性肿瘤发病率高于以往的发病率。
（三）两样本均数的比较
应用条件要求资料服从Poisson分布，两个样本均数X1及X2均大于20。
1． 两样本观察单元相同 观察单元可以指单位面积、容积、体积、时间等。
注意：Poisson分布中的观察单元具有可加性，如∑X1和∑X2。检验公式为：

例 空气中负离子状况可以反映空气的新鲜感及污染状况。现调查某风景名胜区不同地点的负离子状况。海拔较高的山上风景点负离子数为240个／cm3。该景区商业区的百货大楼内的负离子数为146个／cm3。试分析该风景区两个不同地点负离子状况有无差异。
(1) 建立检验假设
H0: 两地点负离子状况相同，λ1＝λ2
H1: 两地点负离子状况不同，λ1≠λ2
双侧0.001
（2）计算u值:
(3)确定P值 u0.001=3.2905，现u> u0.001, 故P<0.001。
⑷推断结论 因P<0.001，拒绝H0, 接受H1, 差异有统计学意义。
可以认为该风景区两个不同地点的空气负离子状况有差异。
例 调查某地区人群死亡状况。结果显示，男性及女性的意外死亡率分别为62人／10万人和72人／10万人。试分析男女意外死亡率有无差异。
分析：该资料服从Poisson分布，每10万人可以作为一个观察单元。
（1）建立检验假设
H0：男女意外死亡率相等，
H1：男女意外死亡率不相等，
α=0.05
（2）计算u值：
(3）确定P值，推断结论 本例u=0.86,小于u0.05=1.96,则P＞0.05。
在α ＝0.05水准上，不拒绝H0，无统计学意义。可以认为男女性意外死亡率无差异。
例 某医院使用一定方法对住院病房进行消毒，并检测某一病房消毒前后的细菌菌落数（CFU／m3）。消毒前后均检测9次。消毒前的菌落数为18,10,9,15,5,2,6,5,2。消毒后的菌落数为5，4，5，6，7，2，3，2，1。试分析该病房消毒前后的卫生状况有无差异。
分析：该资料服从Poisson分布。根据Poisson分布的可加性，将9次取样的菌落数相加为一个观察单元。消毒前为∑X1＝72；消毒后为∑X2＝35。
（1）建立检验假设
H0：消毒前后菌落数相等，λ1= λ2
H1：消毒前后菌落数不等，λ1≠ λ2
α =0.01
（2）计算u值：
(3)确定P值，推断结论 本例u=3.58，大于u0.01=2.58，则P＜0.01。在α＝0.01水准上拒绝H0，接受H1。
可以认为该病房消毒前后的卫生状况不同。
2．两样本观察单元不同 当两样本观察单元不同时，不可直接比较或直接相加后进行比较。 一般可计算两样本均数和，再按下式计算u值。

例 某防疫站检验某商场的两种品牌的矿泉水。检测每ml的细菌总数（CFU／ml）。品牌A抽查4瓶，结果为132，156，182，143；品牌B抽查6瓶，结果为313，298，356，384，348,306。试分析A、B两种品牌矿泉水的细菌总数有无差异。
分析：本例观察单元不相同，可以先求出均数。
品牌A的均数
品牌B的均数
（1）建立检验假设
H0：两种品牌矿泉水菌落数相等, λ1= λ2
H1：两种品牌矿泉水菌落数不等, λ1≠ λ2
α=0.05
（2）计算u值：
（3）确定P值，推断结论 本例u=18.66,大于u0.01=2.58，则P＜0.01。可以认为A、B两种品牌矿泉水受细菌污染程度不同。

（五）应用Poisson分布的注意事项
1.Poisson分布的观察单元具有可加性。当样本均数X或样本计数值＜20时，可通过增加或合并观察单元以增大样本均数或样本计数值。当X＞20时，Poisson分布近似正态分布，可按正态分布进行Poisson分布均数比较的u检验。
2. Poisson分布的观察单元可以由大缩小，而不可以由小扩大。例如，实际观察1个平皿中的细菌菌落数为34个，不能据此将其扩大而认为10个平皿的菌落数为340个。如果实际观察了10个平皿的菌落数为340个，可以将其缩小而认为2个平皿有68个菌落数。
3．判断一组数据或一个资料是否服从Poisson分布，主要是依靠以往积累的经验或专业知识。必要时也可进行拟合优度检验以确定资料分布类型。