圆的一般方程教案 河南省高二数学优质课大赛获奖课件及教案11 圆的一般方程 河南省高二数学优质课大赛获奖课件及教案11 圆的一般方程.doc

圆的一般方程
三门峡市一高 胡海珍
一．教学目标
1.使学生掌握圆的一般方程和圆的一般方程的特点
2.能熟练掌握圆的一般方程与圆的标准方程的互化
3.灵活应用待定系数法求圆的方程
二．教学重点
1.圆的一般方程的特征及其应用
2.由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；
3.能用待定系数法，由已知条件求出圆的方程．
三.教学难点
圆的一般方程的特征及应用
四.教学过程
1、新课引入：
上一节学习了圆的标准方程:
(x－a)2＋(y－b)2=r2，
圆心(a，b)，半径r．
提问：已知圆心为(1,-2)、半径为2的圆的方程是什么？
（生答）(x－1)2＋(y+2)2=4
将它展开得，这是一个二元二次方程。
任何圆的方程都是这样的二元二次方程吗？
把圆的标准方程展开，并整理：
x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0．
可见任何一个圆的方程都可以写成下面的形式
①
这说明圆的方程就是一个二元二次方程。
反过来，形如 的方程一定表示圆吗？
这就是今天所要探讨的内容:圆的一般方程.(书写课题)
2、讲授新课：
我们先来判断两个具体的方程是否表示圆？（师生互动）

结论：不一定表示圆（通过此例分析引导学生使用配方法）
追问: 满足什么条件时表示圆?
（让学生相互讨论后,由学生总结）
将 配方得

(1)当时，此方程表示以（-，-）为圆 心,为半径的圆；
（2）当时，此方程只有实数解，，即只表示一个点（-，-）;
（3）当时，此方程没有实数解，因而它不表示任何图形
综上所述，方程表示的曲线不一定是圆,只有当时，它表示的曲线才是圆，
我们把方程 ()称为圆的一般方程
与一般的二元二次方程比较
我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)
①x2和y2的系数相同，不等于0．（举例：）
②没有xy这样的二次项
请学生思考并回答:
二元二次方程表示圆的充要条件是
问题:圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点?

圆的标准方程
圆的一般方程
方程

圆心

半径
r

优点
几何特征明显
突出方程形式上的特点
3、例题讲练
例1：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。
分析:已知曲线类型,应采用待定系数法
使用待定系数法的圆的方程的一般步骤：
1.根据题意，选择标准方程或一般方程；
2．根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；
3．解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程。
(解题过程由学生完成)
想一想:可否先求圆心和半径,再得出圆的方程?
（提示学生结合图形，圆的弦的中垂线的交点为圆心 ，圆心到圆上一点的距离为半径）
例2、已知一曲线是与两个定点O(0,0),A(3,0)距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线。
分析：按照求曲线的方程的步骤来求解，求出方程，通过方程可判断为圆的一般方程，利用配方法将圆的一般方程化为标准方程，从而求出圆心和半径，以便画图；然后指出配方法的重要性，要求学生熟练掌握。
５、 巩固练习
1.判断下列方程是否表示圆? 如果是 ,请求出圆的圆心及半径.

2.求圆心在直线上,并且经过原点和点(3,-1)的圆的方程
６、课堂小结
(1)任何一个圆的方程都可以写成的形式，但是方程的曲线不一定是圆；当时，方程称为圆的一般方程。
（2）圆的一般方程与圆的标准方程可以互相转化;熟练应用配方法求出圆心坐标和半径.
(3)用待定系数法求圆的方程时需要灵活选用方程形式.
7、布置作业
习题7.6 第5、6、8题
附: 板书设计

展开

圆的一般方程
配方

圆心为
半径为