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导数中有关单调区间问题
一、相关结论
1、 已知在D上单调递增（或递减）恒成立问题；
2、 求的单调增区间（或减区间）解不等式问题：；
3、 存在单调增区间（或减区间）有解；
4、 在D上不单调的图像在区间D内部穿过x轴的至少有一个非重根在区间内部。

二、经典范例
例1、（09浙江文科）已知函数f(x)=x+(1-a) x-a(a+2)x+b(a,bR).
（I）若函数f(x)的图像过原点，且在原点处的切线斜率是-3，求a，b的值；
（Ⅱ）若函数f(x)在区间（-1，1）上不单调，求a的取值范围。
解析：（Ⅰ）由题意得
又 ，解得，或
（Ⅱ）函数在区间不单调，等价于
导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数
即函数在上存在零点，有
。
练习1：（2009浙江理）已知函数，，
其中．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（I）设函数．若在区间上不单调，求的取值范围；
（II）设函数 是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数（），使得成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
解析：（I）因，
，
因在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根，
由得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
，
令有，记则在上单调递减，在上单调递增，
所以有，于是，得，
而当时有在上有两个相等的实根，故舍去，
所以；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（II）当时有；
当时有，
因为当时不合题意，因此，
下面讨论的情形，记A，B=
（ⅰ）当时，在上单调递增，所以要使成立，只能且，因此有，
（ⅱ）当时，在上单调递减，所以要使成立，只能且，因此，综合（ⅰ）（ⅱ）；
当时A=B，则，即使得成立，因为在上单调递增，所以的值是唯一的；
同理，，即存在唯一的非零实数，要使成立，所以满足题意．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
例2、（2009北京理）设函数
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.
【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．
（Ⅰ）, 曲线在点处的切线方程为.
（Ⅱ）由，得，
若，则当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
若，则当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若，则当且仅当，
即时，函数内单调递增，
若，则当且仅当，
即时，函数内单调递增，
综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是.
例3、（2009安徽卷文） 已知函数，a＞0，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设a=3，求在区间[1，]上值域。期中e=2.71828…是自然对数的底数。
【解析】(1)由于 令 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
①当,即时, 恒成立.
在(－∞,0)及(0,＋∞)上都是增函数.
②当,即时w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
由得或 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
或或
又由得
综上①当时, 在上都是增函数.
②当时, 在上是减函数, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
在上都是增函数.
(2)当时,由(1)知在上是减函数. 在上是增函数.
又 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
函数在上的值域为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
练习2、（2009安徽卷理）已知函数，讨论的单调性.
解：的定义域是(0,+), w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
设,二次方程的判别式.
① 当，即时，对一切都有,此时在上是增函数。
② 当,即时，仅对有,对其余的都有,此时在上也是增函数。
③ 当，即时，
方程有两个不同的实根,,.

+
0
_
0
+

单调递增
极大
单调递减
极小
单调递增
此时在上单调递增, 在是上单调递减, 在上单调递增.
例4、已知函数
（I）若时，求的极值；
（Ⅱ）若存在的单调递减区间，求的取值范围；
（Ⅲ）若图象与轴交于，的中点为，
求证：
解：（I）
当时，
由或。
x
(0,1)
1

+

—

单调递增
极大值
单调递减
时，，无极小值。
（Ⅱ）存在单调递减区间，
在内有解，即在内有解。
若，则，在单调递增，不存在单调递减区间；
若，则函数的图象是开口向上的抛物线，且恒过点（0，1），要
使在内有解，则应有
或，由于，；
若，则函数的图象是开口向下的抛物线，且恒过点（0，1），
在内一定有解。
综上，或。
（Ⅲ）依题意：，假设结论不成立，
则有
①—②，得

由③得，
即
设，则，
令
，在（0，1）上为增函数。
，即，与④式矛盾
假设不成立，
例5、设函数
（I）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；
（II）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．
解：（Ⅰ），依题意有，故．
从而．
的定义域为，当时，；
当时，；当时，．
从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少．
（Ⅱ）的定义域为，．
方程的判别式．
（ⅰ）若，即，在的定义域内，故的极值．
（ⅱ）若，则或．
若，，．
当时，，当时，，所以无极值．
若，，，也无极值．
（ⅲ）若，即或，则有两个不同的实根，．
当时，，从而有的定义域内没有零点，故无极值．
当时，，，在的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知在取得极值．
综上，存在极值时，的取值范围为．
的极值之和为．

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