概率论与数理统计2013-2014秋季A卷试卷、答案.docx

中国农业大学
2013 ~2014 学年秋季学期
概率论与数理统计（C） 课程考试试题（A）
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
总分
得分

一、 填空题 （每空3分，满分21分）

1．设件产品中有件是不合格品，从这件产品中任取2件产品。则2件中有1件合格品、1件不合格品的概率为_______________。
2．设随机事件,互不相容，且，，则 。
3.某型号螺丝钉的重量是相互独立同分布的随机变量，其期望是0.1斤，标准差是0.01斤.则100个该型号螺丝钉重量不超过10.2斤的概率近似为___________（答案用标准正态分布函数表示）。
4．某车间生产的圆盘其直径在区间上服从均匀分布, 则圆盘面积的数学期望是_______________。
5. 设，，则= 。
6. 设是来自标准正态分布总体的简单样本, 又设 ，则当常数_________，时, 服从分布，自由度为_________。

二、选择题 （每题3分，满分15分）

1. 设有三个随机事件，事件“中恰好有两个发生”可以表示成（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）

2．设随机变量，，且与相互独立，则下面（ ）正确。
（A）; （B）;
（C）; （D）.

考生诚信承诺
1． 本人清楚学校关于考试管理、考场规则、考试作弊处理的规定，并严格遵照执行。
2． 本人承诺在考试过程中没有作弊行为，所做试卷的内容真实可信。

专业： 班级： 学号： 姓名：

3．设是来自总体的简单随机样本，则
，，，
中有（ ）个是的无偏估计量。
（A）4 （B） 2 （C）1 （D） 3

4．在假设检验中，表示原假设，表示备择假设，则称为犯第二类错误的是（ ）.
（A）不真，接受； （B）不真，接受；
（C）不真，接受； （D）为真，接受；
5．检验正态均值时，已知，显著水平为，检验H0：，则下列结论正确的是（ ）.
（A）拒绝域为 （B）拒绝域为
（C）拒绝域为 （D）拒绝域为

三．（10分）已知男人中有5%是色盲，女人中有0.25%是色盲. 今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，此人是色盲患者的概率是多少？若此人恰好是色盲患者，此人是男性的概率是多少？

四.（10分）设顾客在某银行窗口等待服务的时间（以分钟计）服从指数分布，其概率密度函数为

某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开. 他一个月到银行5次.以表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出的分布律，并求.

专业： 班级： 学号： 姓名：

五.（12分）设随机变量的密度函数为

且已知，，求：
（1） 常数的值；
（2） 求随机变量的期望。

六．（12分）设的联合概率密度为

（1）求的边缘密度函数；
（2）是否独立？是否不相关？
（3）求的密度函数。

七. （10分）设是来自泊松分布总体的简单随机样本，分布律为，
（1）试求参数的极大似然估计；
（2）验证（1）中所求得的估计是否无偏。

专业： 班级： 学号： 姓名：

八.（10分） 设某机器生产的零件长度（单位：cm），今抽取容量为16的样本，测得样本均值，样本方差.
（1）求的置信度为0.95的置信区间；
（2）检验假设（显著性水平为0.05）.

（附注）

中国农业大学
2013 ~2014 学年秋季学期
概率论与数理统计（C） 课程考试试题（A）
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
总分
得分

一、填空题 （每空3分，满分21分）
1．

2．4/7
3.
4．
5. -1
6. 1/2，2

二、选择题 （每题3分，满分15分）
1.（C）. 2.(B) 3．(D) 4．(B) 5．(B)

三、（10分）已知男人中有5%是色盲，女人中有0.25%是色盲. 今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，此人是色盲患者的概率是多少？若此人恰好是色盲患者，此人是男性的概率是多少？
解：记A：挑选出的人是男人；B：挑选出的人是色盲.
取为样本空间的划分.
由全概率公式：
——5分
由贝叶斯公式：
——8分
——10分

四. （10分）设顾客在某银行窗口等待服务的时间（以分计）服从指数分布，其概率密度函数为

某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开. 他一个月到银行5次.以表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出的分布律，并求.

解：某一次在窗口等待时间超过10分钟的概率记为，
——4分
注意到顾客每月到银行五次也就是进行了五重的贝努利试验，每次试验得不到服务的概率为. 所以，即
——4分
——10分

五.（12分）设随机变量的密度函数为

且已知，，求：
（3） 常数的值；
（4） 求随机变量的期望。
解：（1）由，可得
（1） ------2分
由，可得
（2） ------4分
由，得
（3） ------6分
联立（1）（2）（3）式，解得
------9分
（2） -----12分

六．（12分）设的联合概率密度为

（1）求的边缘密度函数；
（2）是否独立？是否不相关？
（3）求的密度函数。

解：（1）边缘密度为
——2分
同理可得
——4分
（2）显然 ，所以不独立. ——6分
由函数对称性，易得
；
；

故有，即不相关。 ——9分
（3）

故密度函数为
。 ——12分

七. （10分）设是来自泊松分布总体的简单随机样本，总体分布律为，
（1）试求参数的最大似然估计；
（2）验证（1）中所求得的估计是否无偏。
解：（1）似然函数
， ——3分
对数似然函数

令，解得，
验证可知确实为似然函数的最大值点，故的最大似然估计为。
——6分
（2）由于，故最大似然估计是无偏的。
——10分

八.（10分） 设某机器生产的零件长度（单位：cm），今抽取容量为16的样本，测得样本均值，样本方差. （1）求的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设（显著性水平为0.05）.
（附注）

解：（1）的置信度为下的置信区间为

所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132） ——5分
（2）的拒绝域为.
，
因为 ，所以接受. ——10分
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