第19届希望杯全国数学邀请赛_高一试题.doc

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第十九届“希望杯”全国数学邀请赛
高一 第一试 （第二类）

一、选择题（每小题4分， 共40分）以下每题的四个选项中， 仅有一个是正确的，请将你认为正确答案的英文字母写在下面的表格中。
1．设全集， 集合， 则等于 （ ）
A． B． C． D．
2．函数的定义域为 （ ）
A． B． C． D．
x
1
2
3
5
f（x）
-1
1
2
3
3．已知定义在上的函数的图像是连续的，
且其中的四组对应值如右表， 那么在下列区
间中， 函数存在零点的是 （ ）
A． B． C． D．
4．函数与函数的图像 （ ）
A．有且只有1个公共点， 且在直线上。
B．有且只有1个公共点， 且不在直线上。
C．有且只有3个公共点， 且有1个在直线上。
D．没有公共点.
5．的五次方根是 （ ）
A． B． C． D．

6．Let be the binary operator on positive intergers defined by . Consider the following identities: （ ）
① ②
③ ④
A． ① and ② are true B．③and ④ are true
C．② is true D． None is true
7．若三棱锥的三个侧面的斜高相等， 棱锥的顶点在底面所在的平面内的射影在底面三角形的内部， 则该射影是底面三角形的 （ ）
A．外心 B．内心 C． 垂心 D． 旁心
8．实验室里有一架不等臂天平： 同学甲说： 分别把所称物体放在左右两个盘中各称一次， 则两次称得的质量的平均数就等于被称物体的真实质量； 同学乙说： 将一个物体放到左盘称得的质量是1千克， 将另一个物体放到右盘中， 称得的质量也是1千克， 则这两个物体的质量之和的真实值是2千克。 甲， 乙的判断中 （ ）
A． 甲对， 乙不对 B． 乙对， 甲不对
C．甲、乙都对。 D．甲、 乙都不对
9．一个三棱锥的四个面所在的平面把空间分成的部分数为 （ ）
A． 9 B． 11 C．13 D．15
10．在第一象限内， 由过点的直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值是 （ ）
A． 4 B． 6 C． D． 8
二、 A组填空题（每小题4分， 共40分）
11．若奇函数在上是增函数， 且， 则能使的取值范围是_____________
12．函数的值域为______________
13．的值为___________________
14．设全集为全体质数的集合， 且中有两个元素， 则=___________

20
50
90
24
Time(s)
Speed(m/s)
v
15．In the figure, shows the speed-time graph of a body over a period of 90 seconds. Given that the distance moved is km. The value of is _____________m/s.
16．某小学生练习将顺序相加， 从1到, 但是
少加了一个数， 所得的和是2008， 则少加的那个数
是__________
17．过四面体一个顶点的三条棱的中点可以确定一个平面，
这样的平面有4个， 用这样的四个平面截去4个小棱
锥后， 剩下的几何体的表面积与原四面体的表面积之
比是________.
18．设方程与的根分别是， 则=___________
19．已知函数， 若， 则的取值范围是__________
20．已知集合，，
只有一个元素， 则实数的取值范围是____________
三、B组填空题（每小题8分， 共40分， 每小题两个空， 每空4分）
2．如果二次函数的图像的对称轴是， 并且图象通过点， 则__________, ___________.
22．若直线与曲线有且只有1个公共点， 则的取值范围是____________， 若直线与曲线有2个公共点，则的取值范围是____________。
23．已知函数的图像与函数的图像重合， 那么__________, ___________.
24．函数（）的最小值为，则=______, =________.

25．已知长方体的棱长. 点在棱长上，。 现已为球心，为半径作一球面， 则与长方体的6个面都有公共点的球面所对应的半径的取值范围为_______________; 若， 则该球面与长方体的6个面中的____________个面有公共点。
第十九届“希望杯”全国数学邀请赛答案
一、 选择题（每小题4分， 共40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
共得分
答案
A
D
B
A
C
D
B
D
D
B

二、 A组填空题（每小题4分， 共40分）
（11） （12） （13） 0 （14） 6
（15） 40 （16） 8 （17） （18） -1 （19）
（20）
三、B组填空题（每小题8分， 共40分， 每小题两个空， 每空4分）
（21） 2， -4 （22）， （23） 0，2
（24）-4 （25）， 3
19.届高一希望杯9题:一个三棱锥的四个面所在平面把空间分成的部分为 （ ）
A. 9 B. 11 C. 13 D. 15
推广:空间个平面最多把空间分成部分,求证:
证明:设平面内条直线把平面分成最多块, 空间个平面把空间最多分成个部分
则, ;
而

故

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