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Picard存在和唯一性定理

本节利用逐次逼近法，来证明微分方程
　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　(2.1)
的初值问题
　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　(2.2)
的解的存在与唯一性定理.

定理2.2 (存在与唯一性定理)如果方程(2.1)的右端函数 在闭矩形域 　　　　　　　　　　
上满足如下条件：
　　(1) 在R上连续;
　　(2) 在R上关于变量y满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数N，使对于R上任何一对点 和 有不等式：

则初值问题(2.2)在区间 上存在唯一解

其中
　　在证明定理之前，我们先对定理的条件与结论作些说明:
　　1. 在实际应用时，李普希兹条件的检验是比较费事的.然而，我们能够用一个较强的，但却易于验证的条件来代替它.即如果函数 在闭矩形域R上关于y的偏导数 存在并有界， .则李普希兹条件成立，事实上，由拉格朗日中值定理有

其中 满足 ，从而 .如果 在R上连续，它在R上当然就满足李普希兹条件.（这也是当年Cauchy证明的结果）
2．可以证明，如果偏导数 在R上存在但是无界，则Lipschitz条件一定不满足，但是Lipschitz条件满足，偏导数不一定存在，如。

3.现对定理中的数h0做些解释.从几何直观上，初值问题(2.2)可能呈现如图2-5所示的情况. 这时，过点 的积

　　　　　　　　　　　　　　　　 图 2-5
分曲线 当 或 时，其中 ， ，到达R的上边界 或下边界 .于是，当 时，曲线 便可能没有定义.由此可见，初值问题(2.2)的解未必在整个区间 上存在. 由于定理假定 在R上连续,从而存在

　　 于是，如果从点 引两条斜率分别等于M和-M的直线，则积分曲线 (如果存在的话)必被限制在图2-6的带阴影的两个区域内，因此，只要我们取

则过点 的积分曲线 (如果存在的话)当x在区间上变化时，必位于R之中.

　　　　　　　　　　　　　　　图 2-6

存在性的证明
　　求解初值问题（2.2） 求解积分方程（2.3）.

　　因此，只要证明积分方程(2.3)的连续解在 上存在而且唯一就行了. 　　下面用毕卡(Picard)逐次逼近来证明积分方程(2.3)的连续解的存在性，可分三个步骤进行:
　　 1.构造逐次近似序列.

　　近似序列 或写成

的每一项都在 上有定义，这是因为 于是 ．这样，我们在区间 上，按逐次逼近手续得到了一个连续函数列(近似序列)

　　 2. 证明近似序列 在区间 上一致收敛.

“ 函数序列的一致收敛
　　1．设 （1）
是定义在I上的函数序列，若对 ，数列

收敛，则称 为序列（1）的收敛点．收敛点的全体叫收敛域．
在收敛域上每一点，序列（1）都有极限，这极限形成收敛域上的
一个函数，称为极限函数．设此函数为 ，即
　　2．若对 ，总存在一个只与 有关的自然数N，使得对I上任何一点
，当 时，有 ，则称序列（1）在I上一致收敛．

证明分如下二步：
　　（1）序列 在 上一致收敛 级数（2.7）在 上一致收敛（级数）．因为级数
　　　　        （2.7）
的部分和

“ 函数项级数的一致收敛
　　1．设函数项级数                   
          （1）
在区间I上收敛于和函数 ，即对 ，
数项级数 收敛于 ，或级数（1）的部分和所组成的数列
=         
由数列极限定义，对 ， ，使得 时，有 

　　2．级数（1）在I上一致收敛 对 ， ，
使得对 ，当 时，有 ．      
　　3．若函数项级数（1）的每一项都在I上连续，并且在I上一致收敛，
　　则（1）的和函数 在I上连续．

（2）级数（2.7）在 上一致收敛．
　　 用数学归纳法，易证级数（2.7）从第二项开始，每一项绝对值都小于正项级数 　　

的对应项，而上面这个正项级数显然是收敛的.所以，由优级数判别法，

　“ 函数项级数的一致收敛判别法
（魏尔斯特拉斯优级数判别法）
函数项级数                   
          （1）
若函数项级数（1）在区间I上满足                 
（ I ） ；                 
（ II ） 正项级数 收敛．             
则函数项级数（1）在区间I上一致收敛．      
数项级数收敛的判别法
（比值判别法，达朗贝尔（ ）判别法）
若正项级数 的后项与前项的比值的极限等于
：
则当 时级数收敛， 时（或 ）
时级数发散； 时级数可能收敛，也可能发散．
级数(2.7)在区间 上不仅收敛，而且一致收敛.设其和函数为 ，从而近似序列 在区间 上一致收敛于 .由于 在区间上 连续，因而 也是连续的.
　　 3.证明 是积分方程(2.3)的解，从而也是初值问题(2.2)的解. 在n次近似序列（2.6）两端取极限有

　　因为
所以要证明 是积分方程（2.3）的解，即

成立，只需证明

这是由函数的连续性及Picard序列的一致收敛性质保证的。
下面用“ε-N语言”证明上面的极限成立．
　　 我们先利用李普希兹条件，作下面的估计：
　　　　　　　　　　　　　　　由于序列 在区间 上一致收敛，因此，对任给ε>0,存在自然数,当时，对区间 上所有x恒有 从而

由此推得

　　换句话说，我们得到
　　现在对恒等式(2.6)两端取极限，

就得到
　　此即表明函数 是(2.3)的解.至此定理的存在性部分证毕.

2.2.3 唯一性的证明，区别于北大版课本的另一种证明方法：

　　下面来证明解的唯一性.为此我们先介绍一个在微分方程中很有用的不等式，即贝尔曼(Bellman)不等式.
　　贝尔曼引理  设y(x)为区间 上非负的连续函数， .若存在 使得y(x)满足不等式
　　　　 　　　　　 　 (2.9)
则有
　　证明 先证明 的情形.
　　令 ，于是从(2,9)式立即有

上式两端同乘以因子 ,则有

上式两端从x0到x积分，则有

　　即

　　由(2.9)知， ,从而由上式得到

　　 的情形类似可证，引理证毕.

　　积分方程(2.3)解的唯一性证明，采用反证法.
　　假设积分方程(2.3)除了解 之外，还另外有解 ，我们下面要证明：在 上，必有 .
　　 事实上，因为

　　及

将这两个恒等式作差，并利用李普希兹条件来估值，有

令 ,从而由贝尔曼引理可知，在 上有 ，即 .
　　至此，初值问题(2.2)解的存在性与唯一性全部证完.

由定理2.2知李普希兹条件是保证初值问题解唯一的充分条件，那么这个条件是否是必要的呢?下面的例子回答了这个问题.
例1 试证方程

经过xoy平面上任一点的解都是唯一的.
　　证明 右端函数除x轴外的上、下平面都满足定理2.2的条件，因此对于x轴外任何点 ，该方程满足 的解都存在且唯一. 于是，只有对于x轴上的点，还需要讨论其过这样点的解的唯一性.
　　我们注意到y = 0为方程的解. 当y ≠0时，因为

故可得通解为

为上半平面的通解, 为下半平面的通解.
这些解不可能y = 0相交. 因此，对于 轴上的点 ，只有y = 0通过，从而保证了初值解的唯一性.
　　 但是，

　　因为 故不可能存在 使得

从而方程右端函数在y = 0的任何邻域上并不满足李普希兹条件，这个例子说明李普希兹条件不是保证初值解唯一的必要条件.

　　 为了保证方程(2.1)的初值解的唯一性，有着比李普希兹条件更弱的条件（Osgood条件）.直到现在，唯一性问题仍是一个值得研究的课题.
　　 下面的例子表明：如果仅有方程(2.1)的右端函数f(x, y)在R上连续，不能保证任何初值问题(2.2)的解是唯一的. 但是由 Piano 存在定理知解是存在的。
例2 讨论方程

解的唯一性.
　　解 方程的右端函 数 ,在全平面连续，当 时，用分离变量法可求得通解
　　　　　　　　　　　　　　 ，C为任意常数.
　　 又y = 0也是方程的一个特解，积分曲线如图2-7.

　　　　　　　　　　　　　　　　图 2-7
　　从图上可以看出，上半平面和下半平面上的解都是唯一的，只有通过x轴上任一点 的积分曲线不是唯一的，记过该点的解为 ， 它可表为：对任意满足 的a和b.