历届高二“希望杯”全国数学邀请赛第二试试题2.doc

第一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试
1990年4月15日 上午8：30—10：30
一、选择题
1、直线A x + B y + C = 0（A，B不全为零）的倾斜角是（ ）
（A）B = 0时，倾斜角是，B ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –)
（B）A = 0时，倾斜角是，A ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –)
（C）A = 0时，倾斜角是0，A ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –)
（D）B = 0时，倾斜角是0，B ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –)
2、数列{ a n }：a 1 = p，a n + 1 = q a n + r（p，q，r是常数），则r = 0是数列{ a n }成等比数列的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）不充分也不必要条件
3、f 是R ® R上的一一映射，函数y = f ( x )严格递增，方程x = f ( x )的解集为P，方程x = f [ f ( x )]的解集为Q，则（ ）
（A）P Ì Q （B）P = Q （C）P É Q （D）以上都不对
4、点( x，y )的坐标x，y都是有理数时，该点称为有理点，在半径为r，圆心为( a，b )的圆中，若a∈Q，b∈，则这个圆上的有理点的数目（ ）
（A）最多有一个 （B）最多有两个 （C）最多有三个 （D）可以有无穷多个
5、以某些整数为元素的集合P具有以下性质：（1）P中元素有正数也有负数；（2）P中元素有奇数也有偶数；（3）– 1Ï P；（4）若x，y∈P，则x + y∈P。对于集合P，可以断定（ ）
（A）0∈P，2 Ï P （B）0 Ï P，2∈P （C）0∈P，2∈P （D）0 Ï P，2 Ï P
二、填空题
6、方程arcsin ( sin x ) =×的实根个数是 。
7、使不等式| ( x – 1 ) ( x + 1 ) | + | ( x – 2 ) ( x + 2 ) | + | ( x – 3 ) ( x + 3 ) | < ( t – x ) ( t + x )的解集为空集的实数t形成一个集合，把这个集合用区间形式写出来，就是 。
8、椭圆的两个焦点是F1 ( 3 , – 6 )，F2 ( 6 , 3 )，一条切线为4 x = 3 y，这个椭圆的离心率是 。
9、设[ x ]表示不超过x的最大整数，则[] + [] + [] + … + [] +[ –] + [ –] + [ –] + … + [ –]的值是 。
答案：一、 A、B、A、B、A；二、6、1；7、[ – 2，2]；8、；9、– 1989 2。
简解：5、若x，y∈P，则x + y∈P Û 若x + y Ï P，则x Ï P或y Ï P。显然1 Ï P，若2 ∈P，则4，6，8，…，2 n ∈P，且– 1，– 3，– 5，…，– 2 m + 1 Ï P，则存在– 2 n ∈P，且2 m + 1 ∈P，则– 2 ∈P，2 m – 1 = 2 m + 1 – 2∈P，…，1 ∈P，矛盾，故2 Ï P。
7、若x ≤ – 3或x ≥ 3，则4 x 2 < t 2 + 14，即x 2 <，又x 2 ≥ 9，只需≤ 9，t 2 ≤ 22即可；若– 3 < x ≤ – 2或2 ≤ x < 3，则2 x 2 < t 2 – 4，即x 2 <，又4 ≤ x 2 < 9，只需≤ 4，t 2 ≤ 12即可；若– 2 < x ≤ – 1或1 ≤ x < 2，则t 2 > 12，只需t 2 ≤ 12即可；若– 1 < x < 1，则2 x 2 > 14 – t 2，即x 2 > 7 –，又x 2 < 1，只需7 –≥ 1，t 2 ≤ 12即可；∴ – 2≤ t ≤ 2。
8、进行坐标变换：，，tan θ = 3，则F1 ( 3 , – 6 ) ®( –，0 )，F2 ( 6 , 3 ) ®(，0 )，4 x = 3 y ®p – 3 q –= 0，c =| F1 F2 | =，a =。
三、解答题
10、数列{ arccot 2 n 2 }的前n项的和为S n，证明，对一切n∈N，都有S n <。
解：∵ arccot 2 n 2 = arccot ( 2 n – 1 ) – arccot ( 2 n + 1 )
∴ S n = arccot 2 + arccot 8 + … + arccot 2 n 2 = ( arccot 1 – arccot 3 ) + ( arccot 3 – arccot 5 ) +
… + [ arccot ( 2 n – 1 ) – arccot ( 2 n + 1 ) ] = arccot 1 – arccot ( 2 n + 1 ) < arccot 1 =。
11、用4块腰长为a，上、下底边长是a，2 a的等腰梯形硬纸片和两块平面多边形硬纸片可以围成一个六面体，求六面体的体积。
解：如图，围成的六面体为正四棱台，上、下底面积分别为S 1 = a 2，S 2 = 4 a 2，高EF = CG =a，体积V =h ( S 1 + S 2 +) =×a × ( a 2 + 4 a 2 + 2 a 2 ) =a 3。
12、正方形PQRS的顶点Q，R，S分别在边长为2的正△ABC的边AB，BC，CA上滑动，求P点的轨迹方程。

第二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试
1991年4月14日 上午8：30—10：30
一、选择题
1、映射f ：（a，b，c，d）®（1，2，3），如果10 < f ( a ) f ( b ) f ( c ) f ( d ) < 20，这样的映射共有（ ）
（A）23个 （B）24个 （C）25个 （D）26个
2、曲线–= 1与曲线9 x 2 + 25 y 2 = 225的焦距相等的充要条件是（ ）
（A）k < 16且k ≠ 0 （B）k > 0且k ≠ 16 （C）0 < k < 16 （D）k < 0或k > 16
3、定义在全体实数上的函数f ( x )，满足：（1）f ( x 3 ) = f 3 ( x )；（2）对任意x 1 ≠ x 2，都有f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 )。则f ( – 1 ) + f ( 0 ) + f ( 1 )的值是（ ）
（A）0 （B）1 （C）– 1 （D）不能确定
4、正方体表面正方形的对角线所在直线中有两条直线的距离是1，则此正方体的体积是（ ）
（A）1 （B）3 （C）1或3 （D）3或3
5、M = { ( x，y ) | x 3 + 8 y 3 + 6 x y ≥ 1，x，y∈R }，P = { ( x，y ) | x 2 + y 2 ≤ t 2，t∈R，t ≠ 0 }，若P∩M =，则有（ ）
（A）– 1 < t < 1 （B）–< t < （C）–< t < （D）–< t <
6、函数f ( x ) = arcsin ( cos x ) + arccos ( sin x )的值域是（ ）
（A）[ –，] （B）[ 0，] （C）[ –，π ] （D）[ 0，π ]
7、把函数y = f – 1 ( x )的图象在坐标轴内以原点为旋转中心按逆时针方向旋转90°，得到（ ）
（A）y = – f ( x ) （B）y = f ( – x ) （C）y = – f – 1 ( x ) （D）y = – f ( – x )
8、过A ( p，0 )作抛物线y 2 + p 2 = 2 p x ( p > 0 )的与对称轴垂直的弦P1P2，O为原点，则∠P1OP2是（ ）
（A）直角 （B）钝角 （C）锐角 （D）不确定
9、设f ( x ) = arccos x + 2 arcsin x，则f – 1 ( x )是（ ）
（A）sin x，x∈[ –，] （B）– sin x，x∈[ –，]
（C）cos x，x∈[ 0，π ] （D）– cos x，x∈[ 0，π ]
10、设x，y∈R，| x | < 1，| y | < 1，x y ≠ 0，记[ x ]表示不超过实数x的最大整数，
则不等式[ x + y ] ≤ [ x ] + [ y ]的解集区域图是（ ）

二、填空题
11、集合M = { ( x，y ) | | x – 6 | + | y + 12 | = | x – 12 | + 2 | y + 3 | = 15，x，y∈R }中的元素的个数是 。
12、已知台体上、下底的面积分别为S1，S2，若与底面平行的平面把台体截成体积相等的两部分，则截面面积为 。
13、方程x 3 –x 2 + 3 = 0的全部负根之和是 。
14、以实数x，y为自变量的函数u ( x，y ) = x 2 +– 2 x y +的最小值是 。
15、过圆x 2 + y 2 + 2 x – 6 y + 1 = 0与圆x 2 + y 2 – 6 x – 6 y + 17 = 0的交点的直线方程可表示为 。
16、{ x }表示不小于实数x的最小整数，则{ log 2 1 } + { log 2 2 }+ … + { log 2 1991 } = 。
17、函数y =的值域是 。
18、f ( x )对任意x 1，x 2∈R都有f ( x 1 – x 2 ) = f ( x 1 ) + f ( x 2 )，则它的奇偶性是 。
19、定义在正整数上且函数值总是自然数的严格增函数f ( n )，对任意m，n∈N*，当m，n的最大公约数是1时，f ( m n ) = f ( m ) × f ( n )。若f ( 180 ) = 180，则f ( 1991 ) = 。
20、正十二面体有20个顶点，30条棱，每一个顶点是3条棱的交点，这三条棱的另一个端点是正十二面体的另外3个顶点，我们称这3个顶点与前一个顶点是相邻的。在每个顶点处放上一个实数，要求每个顶点所放的实数恰是该顶点相邻的3个顶点处所放实数的算术平均值。设M，m分别是这20个实数中最大的和最小的，则M – m的取值范围是 。

答案：一、C、A、A、C、 、D、B、A、D、C；
二、11、4；12、；13、–；14、6；15、a ( x – 2 ) + b ( y – 3 ) = 0，（a，b∈R）；16、9954；17、[ –，+ ∞ ])；18、偶；19、1991；20、 。
简解：1、（2，2，2，2）1个，（1，2，2，3）12个，（1，2，3，3）12个；6、f ( x ) =
，；
7、y = f – 1 ( x ) y = f ( x ) y = f ( – x )；
9、arccos x + arcsin x =，f ( x ) = π – arccos x，x = – cos y；
10、x + y < – 1，，x + y < 0，或，x + y < 1，；
11、（– 1，– 4），（3，0），（7，2），（17，– 8）；
12、V台体 =h ( S ++ S 1 )，
==，
–=–；
14、u ( x，y ) + 2 = ( x – y ) 2 + (+) 2，可以看作是平面上点A( x，)、B( y，)间距离的平方，即如图两曲线y =、x 2 + y 2 = 2间的最短距离，易知当x = 3，y = 1时，AB最短，故u ( x，y ) ≥ 8 – 2 = 6；
16、0 + 1 + 2 × 2 + 3 × 2 2 + 4 × 2 3 +… + 10 × 2 9 + 11 × 67；
17、x∈[ – 1，1 ])，arcsin x单调递增，arccos x单调递减；
三、解答题：
21、直角△ABC中AB = AC。用C点为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB边上，且椭圆过A，B点。求这个椭圆的离心率。
解：设AC = x，则2 a = AD + AC = BD + BC = 1 +x，AD =x，2 c = CD =x，e ===–。
22、已知正四面体ABCD，考察下列集合。X：与四面体四个顶点的距离都相等的平面；Y：X中任意两平面的交线；Z：Y中任意两直线的交点；求：Z中包含的元素数目，并指出Z中各元素在空间的位置（也可画出Z中各元素的空间位置并加以说明）。
解：X：图中四个三角形所在的四个平面；
Y：A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，A1C1，B1D1；Z中含有四个元素：A1、B1、C1、D1。

第三届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试
1992年4月12日 上午8：30—10：30
一、选择题
1、从动点P ( x，3 ) 向圆 ( x + 2 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 1引切线，则切线长度的最小值是（ ）
（A）4 （B）5 （C）2 （D）6
2、当x∈R时，函数y = x 6 – x+的值是（ ）
（A）正实数 （B）负实数 （C）正实数或零 （D）任意实数
3、已知n∈N，有以下四个式子：6 n + 3 n；n 3 + ( n + 1 ) 3 + ( n + 2 ) 3；11 n – 2 n；2 4 n + 2 +5 2 n + 1其中能被9整除的式子有（ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
4、设集合A = { x | ≥ x – 1 }，B = { x | arcsin+ 2 arccos< π }，那么（ ）
（A）A = B （B）A Ì B （C）B Ì A （D）A∩B =Φ
5、等比数列{ a n }的首项a 1 = log a x，公比q = arctan+ arctan，那么这个数列是（ ）
（A）递增数列 （B）递减数列 （C）递增数列或者递减数列 （D）以上都不对
6、A = { x | x =+++ … +，n∈N }，B = { x | 4 x 2 – 24 x + 35 < 0 }，则A∩B是（ ）
（A）( 2，3 )] （B）{ 2，3 } （C）{ 3 } （D）空集
7、方程2 cos= 10 x + 10 – x + 1的实根的个数是（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
8、椭圆曲线上两个点的连接线段称为椭圆的弦，经过椭圆+= 1内的点A（，0）有k条长度成等差数列的弦，公差d∈[，1 ]，则k值的集合是（ ）
（A）{ 3，4，5，6，7 } （B）{ 3，4，5，6 } （C）{ 4，5，6，7 } （D）{ 5，6，7 }
9、若x∈R，则数列{ cos [ x +( n – 1 ) π ] }的前7项和（ ）
（A）比1大 （B）比1小 （C）等于1 （D）是零
10、动圆M过定点A且和定圆O相切，那么动圆M的中心的轨迹是（ ）
（A）圆 （B）圆或椭圆 （C）圆或椭圆或双曲线 （D）圆或椭圆或双曲线或直线
二、填空题
11、长方体的棱长的和是l，则该长方体的体积的最大值是 。
12、椭圆+= 1和+= 1有相同的离心率，则m的值是 。
13、若a =，则不等式() log a | x – 1 | <的解是 。
14、从点A ( – 1，)向圆4 x 2 + 4 y 2 – 8 x + 4 y – 11 = 0作切线，则过切点的弦的方程是 。
15、方程3 x + 4 x + 5 x = 6 x的解是 。
16、数列{}的前n项的和是 。
17、函数y = cos x + sin x cos x的值域是 。
18、m是任意实数，θ是给定的实数，由关于x和y的方程组确定的动点( x，y )在平面直角坐标系内对应的图形是 。
19、[ x ]表示不超过实数x的最大整数，则方程[ 3 x – 4] – 2 x – 1 = 0的解是 。
20、平面上有A，B两个定点，在平面上随意放置k个点C i（i = 1，2，…，k），能从中找到两个点C k，C p，使不等式| sin∠ACkB – sin∠ACpB | ≤成立，那么k的最小值是 。
答案：一、C、A、D、B、C、C、A、C、D、D；
二、11、；12、4或1；13、– 1 < x < 3；14、4 x – 2 y + 3 = 0；15、x = 3；16、–；17、[ –，]；18、直线；19、x = 6或x =；20、 。

简解：2、通过求导，当x =时，y取最小值– 3 × 4 –> 0；
4、A = { x | 1 ≤ x ≤ 2 }，B = { x | 0 < x ≤ 2 }；7、3 cos≤ 3，10 x + 10 – x + 1 ≥ 3；8、3 ≤ L ≤ 6；
9、S 7 = cos x + cos ( x +) + cos ( x +) + cos ( x +) + cos ( x +) + cos ( x +) + cos ( x +) = cos x + 2 cos ( x + π ) cos+ 2 cos ( x + π ) cos+ 2 cos ( x + π ) cos= cos x [ 1 – 2 ( cos+ cos+ cos) ] = cos x [ 1 – 2 ( 4 coscoscos+ 1 ) ] = cos x [ 1 – 2 ( 4+ 1 ) ] = cos x [ 1 – 2 ×] = 0；13、() log a | x – 1 | <Þ log a | x – 1 | > – 2 Þ | x – 1 | < 2；
17、设t = sin x，则y 2 = ( 1 – t 2 ) ( 1 + t ) 2 =( 3 – 3 t ) ( 1 + t ) 3 ≤[] 4 =；
18、2 tan θ x + y – 6 tan θ – 3 cos θ – 1 = 0或x = 3；
19、2 x + 1 ≤ 3 x – 4< 2 x + 2 Þ≤ 2 x (∈ Z ) <，2 x = 12或2 x = 13；
三、解答题
21、已知k∈R，关于x，y的方程y 4 + 4 y 3 + ( 2 x + 2 k x – k x 2 ) y 2 + 8 x y + ( 4 k x 2 – 2 k x 3 ) = 0表示一组曲线，其中有一条是固定的抛物线，试讨论k值与曲线形状的关系。
解：原方程可化为( y 2 + 2 x) ( – k x 2 + 2 k x + y 2 + 4 y ) = 0，则固定抛物线为y 2 = – 2 x，
由 – k x 2 + 2 k x + y 2 + 4 y = 0，得 – k ( x – 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 4 – k，
当k > 4时，方程可化为–= 1，为焦点在x轴上的双曲线；
当k = 4时，方程可化为4 x – y – 6 = 0或4 x + y – 2 = 0，为两条相交直线；
当0 < k < 4时，方程可化为–= 1，为焦点在y轴上的双曲线；
当k = 0时，方程可化为y = 0或y = – 4，为两条平行于y轴的直线；
当 – 1 < k < 0时，方程可化为+= 1，为焦点在x轴上的椭圆；
当k = – 1时，方程可化为 ( x – 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 5，为两条相交直线；
当k < – 1时，方程可化为+= 1，为焦点在y轴上的椭圆。
22、设0 < x <，求证：（1）sin x > x –；（2）sin x ≥ x –。
解：

第四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试
1993年4月18日 上午8：30—10：30
一、选择题
1、已知正方体、等边圆柱、球的表面积都是S，体积依次是V 1，V 2，V 3，则（ ）
（A）V 1 < V 2 < V 3 （B）V 3 < V 2 < V 1 （C）V 3 < V 1 < V 2 （D）V 2 < V 1 < V 3
2、设命题甲：“a 1 + a 2 + … + a n > A”，命题乙：“a 1，a 2，…，a n中至少有一个大于”，则命题甲是命题乙的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
3、函数y = 2的图象大致是（ ）

4、函数y = A sin ( ω x + φ ) ( A > 0，ω > 0，x∈R )为偶函数的充要条件是（ ）
（A）φ = 2 k π （B）φ = k π （C）φ = （D）φ = k π + （k∈Z）
5、设 a = tan ( arccot)，b = arcsin+ arcsin，c = arccos ( – cos)，则（ ）
（A）a < b < c （B）b < a < c （C）a < c < b （D）c < b < a
6、从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它的和大于100，则不同的取法有（ ）
（A）50种 （B）100种 （C）1275种 （D）2500种
7、过抛物线y 2 = x的焦点F的直线l的倾斜角θ ≥，l交抛物线于A，B两点，且A点在x轴上方，则 | FA | 的取值范围是（ ）
（A）(，1 +)] （B）(，1 )] （C）[，+ ∞ ) （D）[，+ ∞ )
8、已知△ABC中，cot A + cot B + cot C =，则△ABC是（ ）
（A）直角不等腰三角形 （B）等腰直角三角形 （C）等腰不等边三角形 （D）等边三角形
9、函数y = cos x – cos 3 x的最大值是（ ）
（A） （B）2 （C） （D）
10、和S = 1 +++ … +的整数部分是（ ）
（A）1997 （B）1998 （C）1999 （D）2000
二、填空题
11、已知α，β都是锐角，tan= –，cos α – cos β =，则sin α – sin β = 。
12、已知三棱锥P – ABC中，侧棱PA，PB，PC两两垂直，又知六条棱长的和为定值l，则此三棱锥的体积的最大值是 。
13、已知方程sin 4 x + cos 4 x – sin 2 x + k = 0有解，则k的取值范围是 。
14、在数集序列{ 1 }，{ 2，3 }，{ 4，5，6 }，{ 7，8，9，10 }，… 中第100个数集内所有数的和等于 。
15、F1，F2是双曲线x 2 – 3 y 2 = 3的左、右焦点，A，B两点在右支上，且与F2在同一直线上，则| F1A | + | F1B |的最小值是 。
16、在平面直角坐标系内，从点P ( 5，2 )发出的光线射向x轴，经x轴反射后射到直线y = x上，被反射后恰好经过点Q ( 10，9 )，光线由P到Q走过的路程的长等于 。
17、已知A ( 4，0 )，B ( 2，2 )是椭圆+= 1内的点，M是椭圆上的动点，则| MA | + | MB |的最小值是 ，最大值是 。
18、M = { ( x，y ) | x = sin θ – cos θ，y = sin θ cos θ，θ∈R }，N = { ( x，y ) | x + y = 0，x，y∈R }，则M∩N = 。
19、F1 ( – 1，1 )，F2 ( – 1，– 3 )是椭圆的两个焦点，直线x + y = 1与椭圆有且仅有一个交点，则椭圆的中心到准线的距离是 。
20、已知x ≥ 1，y ≥ 1，且logx + logy = log a ( a x 2 ) + log a ( a y 2 )（其中a > 0，a ≠ 1），
则log a ( x y )的取值范围是 。

答案：一、A、B、C、D、C、C、A、D、D、B；
二、11、–；12、l 3；13、–≤ k ≤；14、500050；15、；16、4；17、10 – 2，10 + 2；18、{ ( 1 –， – 1 ) }；19、；20、[ 2 – 2，2 + 2]。

简解：1、V 1 =，V 2 =，V 3 =；
6、S = 1 + 2 + … + 50 = 1275；8、++≥；
9、y = cos x – cos 3 x = 4 cos x ( 1 – cos 2 x )，
y 2 = 16 cos 2 x ( 1 – cos 2 x ) 2 = 8 [ 2 cos 2 x ( 1 – cos 2 x ) ( 1 – cos 2 x ) ]
≤ 8 () 3 =，y ≤；
10、2 (–) << 2 (–)，
取n = 1000000，m = 1，得1998 < 2 (– 1 ) < S，
取n = 1000000，m = 2，得S < 1 + 2 ( 100 – 1 ) < 1999；
11、tan ( α – β ) = –，cos ( α – β ) =，x = cos α – cos β > 0，α < β，y = sin α – sin β < 0，
x 2 + y 2 = 2 – 2 cos ( α – β ) =，y 2 =，y = –；
12、x + y + z +++= l，V =x y z；14、( 4951 ~ 5050 )；
15、| F1A | = 2 a + | F2A |，| F1B | = 2 a + | F2B |，| F1A | + | F1B | = 4 a + | AB |；
17、10 – | BF | = 10 – ( | M1F | – | M1B | ) ≤ | MA | + | MB | ≤ 10 + ( | M2B | – | M2F | ) = 10 + | BF |；
20、( log a x – 1 ) 2 + ( log a y – 1 ) 2 = 4，log a x = 2 cos θ + 1，log a y = 2 sin θ + 1；
三、解答题
21、设f ( x ) = a sin x + b cos x + c的图像经过点A ( 0，5 )，B (，5 )，当0 ≤ x ≤时，| f ( x ) | ≤ 10，求c的取值范围。
解：由f ( 0 ) = f () = 5，得a = b = 5 – c，因而f ( x ) = a ( sin x + cos x ) + c，
又0 ≤ x ≤，∴ 1 ≤ sin x + cos x ≤，当a > 0时，5 ≤ f ( x ) ≤a + c；
当a = 0时，f ( x ) = c = 5；当a < 0时，a + c ≤ f ( x ) ≤ 5，又| f ( x ) | ≤ 10，
∴ |a + c | ≤ 10，∴ – 10 ≤ 5– (– 1 ) c ≤ 10，∴ – 5≤ c ≤ 15+ 20。
22、用数学归纳法证明：对任意的n∈N，n ≥ 2，都存在n个互不相等的自然数组成的集合M，使得对任意的a∈M和b∈M，| a – b | 都可以整除a + b。

第五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试
1994年4月20日 上午8：30—10：30
一、选择题
1、一个直角三角形的三条边的长度都是整数，且组成一个等差数列，则其中的一条边的长度可能是（ ）
（A）13 （B）41 （C）81 （D）91
2、如图1，以正方体ABCD – A1B1C1D1的四个顶点A，B1，C，D1为顶点构成四面体，此四面体的表面积与正方体的表面积之比为（ ）
（A） （B） （C） （D）
3、半球形的碗内盛满了水，若将碗口平面倾斜30°，则碗内溢出的水的体积是碗的容积的（ ）
（A） （B） （C） （D）
4、方程2 sin x = cos x在[ 0，2 π ]上的根的个数是（ ）
（A）3 （B）2 （C）1 （D）0
5、动点P到F(，)的距离等于到l：x + y –= 0的距离的倍，则P的轨迹是（ ）
（A）椭圆 （B）双曲线的一支 （C）等轴双曲线 （D）实虚轴不等的双曲线
6、在f 1 ( x ) = log 2 (+ x ) + log 2，f 2 ( x ) = sec 2 x + csc 2 x，f 3 ( x ) = 2 tan x中，奇函数的个数是（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
7、设a，b，c依次是方程logx + 2 = x，log 2 ( x + 2 ) =，2 x + x – 2 = 0的根，则a，b，c的大小关系是（ ）
（A）b < c < a （B）a < c < b （C）b < a < c （D）c < b < a
8、函数f 1 ( x ) = | sin| | cos|，f 2 ( x ) = sin+ cos，f 3 ( x ) = arcos ( sin x )的最小正周期分别是T1，T2，T3，则（ ）
（A）T1 < T2 < T3 （B）T3 < T2 < T1 （C）T1 < T3 < T2 （D）T3 < T1 < T2
9、在不等边三角形ABC中，sin A : sin B : sin C = x : y : z，
则( x – y ) cot+ ( y – z ) cot+ ( z – x ) cot=（ ）
（A）1 （B）0 （C）– 1 （D）– 3
10、如图2，圆台的上底半径为5 cm，下底半径为10 cm，母线AB长20 cm（其中B点在下底圆周上），从母线AB的中点M拉一条绳子，围绕圆台的侧面转到B点，当所用最短的时候，绳子上的点和圆台的上底圆周上的点之间的最短距离是（ ）
（A）6 cm （B）5 cm （C）4 cm （D）3 cm
二、填空题
11、自点M ( 3，2 ) 引圆x 2 + y 2 = 3的两条切线，切点分别为A与B，则以A、B为端点的劣弧的长度等于 。
12、方程sin ( π cos x ) = cos ( π sin x )的解集是 。
13、已知a > b > c > 1，且a，b，c依次成等比数列，则x = log a b，y = log b c，z = log c a这三个数的大小关系（用小于号连接）是 。
14、函数f ( x ) = 9 sin x + 16 csc x在区间( 0，)]上的最小值是 。
15、前n个正整数中，所有不连续的相异两数之积的和是 。
16、设a，c是正数常数，对于每个实数t，P ( x t，y t ) 是抛物线y = a x 2 + t x + c的顶点坐标，则动点P的轨迹方程是 。
17、在三棱锥S – ABC中，侧棱SA，SB，SC两两垂直，SA = SB = 4，SC = 6，在三棱锥的内部有一个与三棱锥的四个面都相切的球，则此球的半径为 。
18、数列{ a n }中，a 1 = a ( 0 < a < 1 )，a n + 1 =（n∈N*），则{ a n }的一个通项公式是a n = 。
19、设地球半径为R，A和B两个城市都位于北纬30°，且分别位于东经120°与西经120°，则沿北纬30°线从A到B的最短距离减去沿地球表面从A到B的最短距离的差等于 。
20、已知无盖的圆柱形桶的容积是V，用来做桶底和侧面的材料每平方米的价格比为3 : 2，则当圆桶造价最低时，桶底半径R = 。

答案：一、C、B、C、B、C、A、A、C、B、C；
二、11、( π – arccos) R；12、{ x | x = 2 k π ± arccos±，k∈Z }；13、z < y < x；14、25；15、( n – 2 ) ( n – 1 ) n ( n + 1 )；16、y = – a x 2 + c；17、；18、sin；19、(–) π R；20、。
简解：10、将圆台沿AB展开，如图所示建立直角坐标系，所求问题转化为求圆弧AC上的点到直线MD的最短距离，设P（20 cos θ，20 sin θ），直线MD方程为4 x + 3 y – 120 = 0，则d == 24 – 20 sin ( θ + φ ) ≥ 4；
14、f ( x ) = 9 sin x + 9 csc x + 7 csc x ≥ 2 · 9 + 7