《2.7.1-点到直线的距离公式》同步练习1.doc

《2.7.1 点到直线的距离公式》同步练习1
基础巩固

一、选择题
1．已知A(3，7)，B(5，2)，将按向量a＝(1，2)平移后所得向量的坐标是(　　)
A．(1，－7)　　　　　 B．(2，－5)
C．(10，4)　 D．(3，－3)
[答案]　B
[解析]　＝(5－3，2－7)＝(2，－5)，向量平移，向量的坐标不发生变化，所以，按向量a＝(1，2)平移后所得向量的坐标要仍然为(2，－5)，故答案为B.
2．在菱形ABCD中，下列关系式不正确的是(　　)
A．∥ B．(＋)⊥(＋)
C．(－)·(－)＝0 D．·＝·
[答案]　D
[解析]　·＝||||cosA，
·＝||||cos(π－A)，
∴·＝－·.
3．已知点A(－2，－3)，B(19，4)，C(－1，－6)，则△ABC是(　　)
A．等腰三角形　 B．等边三角形
C．直角三角形　 D．等腰直角三角形
[答案]　C
[解析]　＝(－1，－6)－(－2，－3)＝(1，－3)，
＝(19，4)－(－2，－3)＝(21，7)，
所以·＝1×21＋(－3)×7＝21－21＝0.
故⊥，且||≠||.
4．在△ABC中，有命题：
①＝＋；
②＋＋＝0；
③(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形；
④若·>0，则△ABC为锐角三角形．
上述命题中，正确的是(　　)
A．①②　 B．①④
C．②③　 D．②③④
[答案]　C
[解析]　①－＝，故①假；
②＋＋＝＋＝0，为真；
③(＋)·(－)＝()2－()2＝0，
故AB＝AC，为真；
④·＝||||cosA>0，
则A必为锐角，但形状不定，为假．
5．两个大小相等的共点力F1　，F2，当它们的夹角为90°时，合力大小为20N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为(　　)
A．40N　 B．10N
C．20N　 D．10N
[答案]　B
[解析]　|F1＋F2|＝20.
又F1⊥F2，所以|F1|＝|F2|＝10，
当F1与F2夹角为120°时，
|F1＋F2|＝
＝＝10(N)．
6．设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形　 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形　 D．等边三角形
[答案]　B
[解析]　由(＋－2)·(－)＝0得
(＋＋2)·(－)＝0，
即(＋)·(－)＝0.
∴－＝0，
∴||＝||，故选B.
二、填空题
7．设点A(1，1)，B(3，y)，且为直线2x－y＋1＝0的方向向量，则y＝________.
[答案]　5
[解析]　＝(2，y－1)，
依题意得＝2，所以y＝5.
8．在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝________.
[答案]　－　
[解析]　本小题考查内容为向量的加减法与向量数量积的计算．
如图，令＝a，＝b，＝(a＋b)，＝＋＝(b－a)＋＝b－a，

∴·＝·
＝a·b－＋－a·b
＝－－a·b
＝－－×＝－.
三、解答题
9．已知△ABC中，∠C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE.
[证明]　建立如图所示的直角坐标系，设A(a，0)，则
B(0，a)，E(x，y)．
∵D是BC的中点，∴D(0，)．
又∵AE＝2EB，即＝2，
即(x－a，y)＝2(－x，a－y)，
∴解得x＝，y＝a.
要证AD⊥CE，只需证与垂直，即·＝0.
∵＝(0，)－(a，0)＝(－a，)，
＝＝(，a)，
∴·＝－a×＋a×＝－a2＋a2＝0，
∴⊥，即AD⊥CE.
能力提升

一、选择题
1．已知两点A(3，2)，B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m为(　　)
A．0或－　 B．或－6
C．－或　 D．0或
[答案]　B
[解析]　直线的法向量为n＝(m，1)，其单位向量为n0＝＝(m，1)，在直线上任取一点P(0，－3)，依题意有|·n0|＝|·n0|，从而|－3m－5|＝|m－7|，解得m＝或m＝－6.故选B.
2．已知|a|＝2，|b|＝1，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是(　　)
A．[0，]　 B．[，π]
C．[，]　 D．[，π]
[答案]　B
[解析]　由题意得Δ＝|a|2－4a·b≥0，
所以cos〈a，b〉≤，
故〈a，b〉∈[，π]．
二、填空题
3．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点坐标为A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足＝α＋β，其中α＋β＝1，α，β∈R，则点C的轨迹方程是________．
[答案]　x＋2y－5＝0
[解析]　设C(x，y)，∵＝α＋β，且α＋β＝1，
∴消去α得x＋2y－5＝0.
4．已知a＝(1，2)，b＝(1，1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．
[答案]　λ>－且λ≠0
[解析]　∵a与a＋λb均不是零向量，夹角为锐角，
∴a·(a＋λb)>0，∴5＋3λ>0，∴λ>－.
当a与a＋λb共线时，a＋λb＝ma，
即(1＋λ，2＋λ)＝(m，2m)．
∴，得λ＝0，
即当λ＝0时，a与a＋λb共线，∴λ≠0.
即λ>－且λ≠0.
三、解答题
5.如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1，求：
(1)|F1|、|F2|随角θ的变化而变化的情况；
(2)当|F1|≤2|G|时，角θ的取值范围．
[解析]　(1)如图，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则知：

－G＝F1＋F2，根据直角三角形可得|F1|＝，
|F2|＝|G|·tanθ .
当θ从0°趋向于90°时，|F1|、|F2|皆逐渐增大．
(2)令|F1|＝≤2|G|，得cosθ≥，
则0°≤θ≤60°.
6．已知向量＝(2，1)，＝(1，7)，＝(5，1)．设点X是线段OP上的一动点(O为坐标原点)．
(1)当·取得最小值时，求的坐标；
(2)当点X满足(1)的条件和结论时，求∠AXB的余弦值．
[解析]　(1)由于点X在直线OP上，则X(2x0，x0)，从而＝(1－2x0，7－x0)，
＝(5－2x0，1－x0)，故·＝(1－2x0，7－x0)·(5－2x0，1－x0)＝5x－20x0＋12＝5(x0－2)2－8≥－8，
∴·的最小值为－8，
此时x0＝2，
从而＝(4，2)．
(2)当＝(4，2)时，
有＝(－3，5)，＝(1，－1)，
∴·＝－8，
且||＝，||＝.
从而cos∠AXB＝
＝＝－.
7．已知在等腰△ABC中，BB′、CC′是两腰上的中线，且BB′⊥CC′，求顶角A的余弦值．
[解析]　解法一：如图，建立平面直角坐标系．

设A(0，a)，C(c，0)，则B(－c，0)，＝(0，a)，＝(c，a)，＝(c，0)，＝(2c，0)，＝(c，－a)，
∵BB′、CC′为AC、AB边的中线，
∴＝(＋)＝，
同理＝.
∵⊥，∴·＝0，
∴－＋＝0，a2＝9c2，
∴cosA＝＝＝＝.
解法二：令＝a，＝b，则||＝||⇒|a|＝|b|，＝b－a.

∴＝(＋)＝－a＋b，
＝(＋)＝－b＋a.
由⊥得(－a＋b)·(－b＋a)＝0.
∴a·b－|b|2－|a|2＋a·b＝0.
∴a·b＝|a|2＋|b|2＝|a|2.
∵∠A就是a与b的夹角，
∴cosA＝＝＝＝.