小学数学奥林匹克预赛题和解答.doc

小学数学奥林匹克预赛试卷(A)
2005年3月20日上午 8：30—9：30
1．计算：8-1.2×1.5+742÷（2.544÷2.4）＝______。
2．计算：=______。
3．已知，那么x=______。
4．设a*b表示a/b＋b/a＋1/2，计算：(1992*996)*(996*498)＝______。
5．图中大长方形分别由面积为12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组成，那么图中的阴影面积为______。

6．按英国人的记法，2005年1月8日记作1-8-2005；按美国人的记法，2005年1月8日记作8-1-2005。那么，2005年全年中共有______天会让英、美两国人在记法上产生误会。
7．某班在一次数学测验中，平均成绩是78分，男、女各自平均成绩是75.5与81分。这个班男女生人数之比是______。
8．将+、－、×、÷四个运算符号分别填在下面算式的方格中，每个运算符号都用上，每一格内添一个符号，使这四个算式的答数之和尽可能的大，那么这四个数之和是______。
1/2□1/9，1/3□1/8，1/4□1/7，1/5□1/6
9．有四个正方体，棱长分别是1，1，2，3。把它们的表面粘在一起，所得的立体图形的表面积可能取得的最小值是______。
10．已知两个不同的单位分数的和是1/2004，且这两个单位分数的分母都是四位数，那么这两个单位分数的分母的差最小值是______。
11．用同样大小的正方形瓷砖铺一个正方形地面，两条对角线铺黑色（如图所示），其他地方铺成白色的瓷砖。如果铺满这个地面共用了97块黑色的瓷砖，那么白色的瓷砖用了______块。

12．A、B两人以相同的速度先后从车站出发，10点钟时A与车站的距离是B与车站距离的5倍，10点24分时B正好位于A与车站距离的中点，那么A是在______时______分出发的。
1、706.2    2、50.5    3、    4、2    5、5    6、132    7、6∶5    8、5    9、72    10、1169    11、2304    12、9点20分
1. 【解】原式＝8－1.8＋742÷1.06＝6.2＋700＝706.2
2. 【解】分母＝10＝100
分子＝（2－1）＋（4－3）＋…＋（100－99）
＝1＋2＋3＋4＋…＋99＋100
＝5050
原式＝5050÷100＝50.5
3．【解】1＋＝，＝－1＝。
＝，＝－2＝
x＋＝，x＝－＝
4．【解】（1992*996）*（996*498）
＝（）*（）
＝3*3＝＝2
5．【解】如图所示。
∵＝＝
∴AB＝AC
∵＝＝
∴FE＝FD＝AC
    阴影部分面积为
    (FE－AB)CD÷2
＝(AC－AC)CD÷2
   ＝(－)AC×CD÷2  
＝[×(12＋24＋36＋48)]÷2
＝(1＋2＋3＋4)÷2＝5(平方厘米)。

6．【解】在每个月的前12天中，当月份数不等于日期数时可能产生误会共有12－12－12×11＝132(天)。
7．【解】(81－78)∶(78－75.5) ＝3：2.5＝6∶5
8．【解】(÷)＋（－）＋（＋）＋（×）
          ＝
         ＝5
9．【解】如下图所示粘接。

10．【解】＝
＝
＝
4676－3507＝1169．
设 ，a＞b，则（a-2004）（b-2004）＝20042＝24×32×1672。要使a、b之差最小，则应将24×32×1672分解为两个数的乘积，并使得这两数之差为最小。显然1672应分别在两个数里出现，否则a、b之差会很大。又a≠b，则24×32不能分为两个22×3，故应将24×32×1672分解为（23×167）×（2×32×167）或（24×167）×（32×167），比较知（24×167）与（32×167）之差为最小。故这两个单位分数的分母的差最小值是24×167-32×167＝7×167＝1169。（这两个分数分别为1/3507、1/4676）
11．【解】[(97＋1)÷2]－97＝2304(块)。
12．【解】因为两人的速度相同，所以两人距车站的距离之比等于两人行走时问之比，设10点时B走了x分，则甲走了5x分。根据10点24分的情况可列方程：
    2(x＋24) ＝5x＋24,
    解得x＝8(分)。
    10点时甲走了5x＝40(分)，甲是9点20分出发的。
2005年全国小学奥林匹克预赛试卷（B）
1．计算：2005＋2004－2003－2002＋2001＋2000－1999－1998＋1997＋1996－…―7－6＋5＋4－3－2＋1＝________。
2．计算＝________。
3．算式1/2＋1/3＋1/5＋1/7＋1/9的计算结果用循环小数表示是__________.
4．从1开始依次把自然数一一写下去得到：
    12345678910111213141516…
从第12个数字起，首次出现3个连排的1。那么从第_______个数字起将首次出现5个连排的2。
5．在二进制数中，
    12:表示1；102表示2； 112表示3；
    1002表示4；1012表示5； ……
那么在六进制数中，1111。所表示的十进制数为________。
6．如图所示，在长方形内有四条线段，把长方形分成若干块。已知有三块图形的面积分别是13，35，49。那么图中阴影部分的面积是________。

    7．在1，2，3，…100这100个自然数中，取两个不同的数，使得它们的和是7的倍数，共有________种不同的取法。
    8．在自然数中，恰好有4个约数的两位数共有________个。
    9．已知一个自然数与199的乘积的末尾是13579，这个数至少是________。
    10．一个长方体的长、宽、高是三个两两互质且均为大于1的自然数。已知这个长方体的体积是8721，那么它的表面积________。
    11．每天父亲下班后刚好可以在学校放学时赶到学校接女儿回家。一天，学校提早放学，女儿自己回家，走10分钟后碰到父亲来接，坐父亲摩托车回家，到家时比平时迟到1分钟，原因是父亲下班迟了7分钟，那么学校提早放学________分钟。
    12．A，B，C三名学生参加一次考试，试题共10道，每道都是判断题，每题1O分，答对得10分，答错得零分，满分为100分。正确的打“√，”，错误的打“×”。他们的答卷如下表：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
×
√
√
√
×
√
×
×
√
×
B
×
×
√
√
√
×
√
√
×
×
C
√
×
√
×
√
√
√
×
√
√
    考试成绩公布后，三人都是70分，1～lO题的正确答案分别是________。
1、2005    2、1    3、    4、556    5、259    6、97    7、707    8、30    9、10621    10、2590    11、6    12、
1．【解】将后2004项每4项分为一组，每组的计算结果都是0，后2004项
的计算结果是0。剩下第一项，结果是2005。
2．【解】原式＝÷
    ＝÷
    ＝1÷＝1
3．【解】原式＝＝
      ＝＝
4．【解】在222与223之间第一次出现五个连排的2。1～221共有555个数码。
5．【解】1111=6＋6＋6＋6＝216＋36＋6＋1＝259。
6．【解】如下图所示。

    △FBC的面积是长方形ABCD面积的一半，△EAD与△EBC的面积之和也是长方形ABCD面积的一半，所以
    (Ⅱ十Ⅴ＋Ⅳ) ＝(49＋Ⅱ＋35)+(13＋Ⅳ)
    V＝49＋35＋13＝97。
7．【解】100÷7＝14……2。
    在1～100中，按被7除的余数分为7类：
    余1与余2的各15个，余3、余4、余5、余6、整除的各14个。
    取两个不同的数，要使它们的和是7的倍数，必须是：一个余1一个余6，或一个余2一个余5，或一个余3一个余4，或两个都整除。所以，不同的取法共有
    15×14＋15×14＋14×14＋14×13÷2   
    ＝2lO＋210＋196＋91＝707(种)。
8．【解】恰有4个约数的自然数形如：a或ab。(其中a，b为不同的质数)
满足题意的两位数有下列30个：
    10，14，15，21，22，26．27，33，34，35，
    38，39，46，51，55，57，58，62，65，69．
    74，77，82，85，86，87，91，93，94，95。
9．【解】利用从个位向前除的倒除法。

10．【解】8721＝3×17×19＝27×17×19.
    (27×17＋27×19＋17×19)×2＝2590．
11．【解】父亲晚出发7分钟，晚到家1分钟，父亲从单位到相遇点再到家比从单位到学校再到家少用7－1＝6(分)，所以从相遇点到家比从学校到家少用3分钟(见下图)。

    因为父亲晚出发7分钟，到相遇点的时间自然就比平时晚7分钟，此时按照正常情况学校已经放学7－3＝4(分)，而女儿走了10分钟，所以学校提前放学10－4＝6(分)。
12．【解】三人共错9题，所以至少有1题三人都对，表中只有第3题三人答案一致，所以第3题的正确答案是“√”。因为只有1道题三人答案一致．所以其它9道题每道只有一人错，各题的正确答案就是有两人相同的那种。
2005全国数学奥林匹克决赛试题(A)
1. 计算 ＝_____．
2. 计算 ＝_____．
3. 有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是多少？
4. 设M、N都是自然数，记PM是自然数M的各位数字之和，PN是自然数N的各位数字之和。又记M*N是M除以N的余数。已知M+N=4084，那么(PM+PN)*9的值是多少？
5. 如图，已知CD=5，DE=7，EF=15，FG=6，直线AB将图形分成左右两部份，左边部份面积是38，右边部份面积是65，那么三角形ADG的面积是？

6. 某自然数，它可以表示成9个连续自然数的和，又可以表示成10个连续自然数的和，还可以表示成11个连续自然数的和，那么符合以上条件的最小自然数是？
7. 已知甲酒精纯酒精含量为72%，乙酒精纯酒精含量为58%，两种酒精混合后纯酒精含量为62%。如果每种酒精取的数量都比原来多15升，混合后纯酒精含量为63.25%，那么第一次混合时，甲酒精取了多少升？
8. 在下面算式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。那么“新年好”所代表的三位数是多少？

9. 有两家商场，当第一家商场的利润减少15%，而第二家商场利润增加18%时，这两家商场的利润相同。那么，原来第一家商场的利润是第二家商场利润的多少倍？
10. 从1~9这9个数字中取出三个，由这三个数字可以组成六个不同的三位数。如果六个三位数的和是3330，那么这六个三位数中最大的是多少？
11. 有A、B、C、D、E五支球队参加足球循环赛，每两个队之间都要赛一场。当比赛快要结束时，统计到的成绩如下：
队名
获胜场数
平局场数
失败场数
进球个数
失球个数
A
2
1
0
4
1
B
1
2
0
4
2
C
1
1
1
2
3
D
1
0
3
5
5
E
0
2
1
1
5
已知A与E以及B与C都赛成平局，并且比分都是1：1，那么B与D两队之间的比分是多少？
12. 一辆客车和一辆面包车分别从甲、乙两地同时出发相向而行。客车每小时行驶32千米，面包车每小时行驶40千米，两车分别到达乙地和甲地后，立即返回出发地点，返回时的速度，客车第小时增加8千米，面包车每小时减少5千米。已知两次相遇处相距70千米，那么面包车比客车早返回出发地多少小时？
1.      2.      3. 29     4. 7     5. 40     6. 495     7. 12     8. 374     9.      10. 951     11. B∶D＝3∶1     12. 1.35
1. 【解】原式＝()＋(1＋1＋2＋4＋8＋…＋1024)－－1
    ＝（）＋（2＋2＋4＋8＋…＋1024)－1
     ＝（）＋（4＋4＋8＋…＋1024）－1
     ……
     ＝（）＋（1024＋1024）－1
     ＝2049－1＝2047
2．【解】原式＝19＋（）＋＋
         ＝19＋(＋)＋
       ＝20＋(＋)
        ＝20
3．【解】(70＋110＋160)－50=290，50÷3＝16……2。
除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能是29和58。
110÷58＝1……52，
52＞50，所以除数不是58。
    70÷29＝2……12，
    110÷29＝3……23，
160÷29＝5……15
12＋23＋15＝50，所以除数是29。
4. 【解】如果在（M＋N）的过程中没有进位，则（M＋N）的各个数字之和就等于M的各位数字之和加N的各位数字之和，即P＝P＋P；如果在（M＋N）的过程中进位K次（K为自然数），则P＝P＋P－9K。也就是说，P与（ P＋P）除以9的余数相同。又因为（M＋N）与P除以9的余数相同，所以(P＋P)与(M＋N) ＝4084除以9的余数相同，即
（P＋P）*9＝(M＋N) *9
＝4084*9＝7
5. 【解】设BE:AE＝k
左半部分的面积为
S＋S＝S＋k×S
             ＝（1＋k）S＝38
右半部分的面积为
S＋S＝S＋k×S
             ＝（1＋k）S
             ＝（1＋k）×S
＝3（1＋k）S＝65
由求得k＝，S＝10
S＝ S＝4×10＝40。
6. 【解】因为这个数能表示成9个连续自然数的和，所以这个数能被9整除。同理，这个数能被11整除。因为这个数能表示成10个连续自然数的和，所以这个数能被5整除。符合条件的最小自然数是[5,9,11] ＝495.
7．【解】设第一次混合时甲酒精取了x升，乙酒精取了y升。根据第一次
混合的情况可得方程：
    X×72％＋y×58％＝(x＋y)62％，
化简为y＝2.5x。
    根据第二次混合的情况可得方程：
    (x＋15)72％＋(y＋15)58％＝(x＋y＋30)63.25％，
将y＝2.5x代人上式，解得x＝12(升)。
8．【解】256938÷687＝374
9．【解】(1＋18％)÷(1－15％) ＝118÷85＝1
10．【解】设取出的三个数满足a＞b＞c＞o。

＝2
＝（a＋b＋c）×222
＝3330
a＋b＋c＝3330÷222＝15
    当a＝9，b＝5，c＝1时最大，是951。
11．【解】首先确定哪些队之间已经赛过及胜负情况。
    由D赛了4场可得下图(a)，(两队之间赛过就连一条直线段)。再由A与E及B与C都赛过可得下图(b)。
    因为A胜2场平1场，并且A与E是平局，所以A的另外2场都胜，又因为B没有输过，所以A与B没赛过，A的另一场比赛是与C，B的另一场比赛是与E(见下图(c))。
    确定了比赛过的场次后，再将胜负标在图上，箭头由胜者指向负者，平局没有箭头。因为A胜2平1，A与E是平局，所以A胜C和D；因为C胜1平1负1，C平B，c负A，所以c胜D。
    得到图（d）。因为E只进1球，A与E是l∶1，所以E在与B和D的比赛中无进球，不可能胜，叉因为D没有平局，所以B与E平，B胜D，D胜E(见图（e）)。
再根据进球数与失球数，可得到图（f）。
B胜D，比分是3∶1。
12．【解】画线段图如下

    设甲、乙两地相距S千米。因为客车到乙地用小时，面包车到甲地用小时，所以客车到乙地时面包车已离开甲地(－)×35千米。此时到两车第二次相遇还需
    [S(－)×35]÷（40＋35）＝[S－S]÷75＝（小时）。
    第一次相遇点距乙地(S)千米，第二次相遇点距乙地(×40)千米，两次相遇点相距70千米，可列方程：
    (S)－×40＝70，
    S－S＝14,
    S＝14，
    S＝504(千米)。
    客车返回出发地用()小时，面包车返回出发地用()小时，两者相减面包车比客车早返回出发地
    ＝15.75－14.4＝1.35（小时）。
2005全国数学奥林匹克决赛试题(B)

1．计算：＝________。
2．计算：＝________。
3．乘积125×127×129×131×133×…×163×165的末三位数是________。
4．对于正整数a与b，规定
    a*b=a×（a＋1）×（a＋2）×…×(a＋b－1)。
    如果(x*3)*2＝3660，那么x＝________。
5．如图，已知△ADE，△CDE和正方形ABCD的面积之比为2∶3∶8，而且△BDE的面积是5平方厘米，那么四边形ABCE的面积是________平方厘米。

6．已知九位数2005□□□□□是2008的倍数，这样的九位数共有________个。
7．二十几个小朋友围成一圈，按顺时针方向一圈一圈地从1开始连续报数。如果报2和报200的是同一个人，那么共有________个小朋友。
8．有两筐苹果，要分给三个班，甲班得到全部苹果的2/5，乙班和丙班分得苹果数量之比为7∶5。已知第二筐苹果是第一筐苹果的9/10，如果从第一筐中拿出20千克苹果放入第二筐，则两筐苹果的重量相等。那么甲班比乙班多分得苹果________千克。
9．有一个棱长是12厘米的正方体木块，从它的上面、前面、左面中心分别凿穿一个边长为4厘米的正方形孔。穿孔后木块的体积是________立方厘米。
10．如果能被11整除，那么n的最小值是________。
11．少年跳水大奖赛的裁判由若干人组成，每名裁判给分最高不超过10分。第一名选手跳水后得分情况是：全体裁判所给分数的平均分是9.68分；如果只去掉一个最高分，则其余裁判所给的分数的平均分是9.62分；如果只去掉一个最低分，则其余的分数的平均分是9.71分。那么所有裁判所给分数中最少可以是 ________分，此时共有裁判________名。
12．甲、乙二人分别从A，B两地同时出发，在A，B之间往返跑步，甲每秒跑3米，乙每秒跑7米。如果他们第四次相遇点与第五次相遇点的距离是150米，那么A，B之间的距离是________米。
1、1    2、8000000    3、125    4、3    5、65    6、50    7、22    8、38    9、1280    10、7    11、9.53；6    12、375
1．【解】 原式＝(
＝
＝1－
＝1
2．【解】原式＝(200.5×20.05×2005－3×20.05×2005×0.5)＋3×200.5×0.25－0.125
    ＝20.05×2005×199＋200.5×0.75－0.125
    ＝8000000
3．【解】当A除以8的余数为1，2，3，…，7，0时，(125×A)的末三位数依次为
    125，250，375，500，625，750，875，000。
    A＝(127×129×131×133×…×163×165)中共有20个乘数．从左至右每4个一组的乘积除以8的余数都是l，所以A除以8的余数是1。所求的末三位数，即(125×A)的末三位数是125。
4．【解】设x*3＝a。则
    a*2＝a(a＋1)＝3660＝60×61。
    所以a＝60。
    x*3＝x(x＋1)(x＋2)＝60＝3×4×5，
    所以x=3。
5．【解】过点E向AD的延长线作垂线，交于点F。BD的延长线与FE的延长线交于点G(见下图)。

∵，，
∴ ，，
∴ ，
∵ ＝GE×AF÷2
＝GE×（AD＋DF）÷2
＝AD×（AD＋AD）÷2
＝
＝
＝GE×DF÷2
        ＝ AD×AD÷2
        ＝，
∴
       ＝
       ＝＝5，
∴ ＝5×8＝40（平方厘米）。
∴ ＝65（平方厘米）。
6．【解】200500000÷2008=99850……1200，
    200599999÷2008—99900……799
    2008的99850～99900倍的前四位数都是2005，所以满足题意的九位数共有50个。
7．【解】小朋友的人数应是200－2＝198的约数。在198的约数中只有22在20至30之间，所以有22个小朋友。
8．【解】乙班分得全部苹果的
                     ，
两筐苹果共重
    (20＋20)÷＝760（千克）
甲班比乙班多分得苹果
        760×＝38（千克）。
9．【解】
＝
＝×（27－7）＝1280(立方厘米)。
10．【解】中奇数位减偶数位的差为
    (5－2)n＋1＝3n＋1。
    当n＝7时，(3n＋1)是11的倍数，所以n的最小值是7。
11．【解】设共有n名裁判。因为最高分不会超过10分。所以全体裁判给的总分9.68n，不会超过[9.62(n一1)＋10]，即
    9.68n≤9.62(n一1)＋10
    0.06n≤0.38
    n≤
    全体裁判给的总分是9.68n，去掉一个最低分后的总分是9.72(n－1)。
所以
    最低分＝9.68n－9.71(n－1)＝9.71－0.03n
    显然，n越大最低分越小，当n＝6时，最低分为
    9.71－O.03×6＝9.53(分)。
12．【解】甲、乙第一次相遇是迎面相遇，第二次相遇是乙从后面追上甲，第三、四、五次相遇都是迎面相遇。题目的条件可改为：“第三、四次迎面相遇的地点相距150米”。甲、乙第”次迎面相遇时，两人共跑(2n－1)个单程，其中甲跑了全部路程的
    3÷(3＋7)=0.3。
    第三次迎面相遇时，甲跑了
    (2×3－1)×0.3＝l.5(个单程)，
    距A点0.5个单程。第四次迎面相遇时，甲跑了
    (2×4－1)× 0.3＝2.1(个单程)，
    距A点0.1个单程。所以A，B之间相距
    150÷(0.5－0.1)＝375(米)。

15-15