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自然数平方之间的一些规律
自然数平方之间的一些规律
内容摘要：
1、两个相邻自然数，它们平方数之间有一定的差值，这个差值正好是这两个相邻自然数之和。
2、我们可以把任意一个被平方数的十位上看作a，个位看作b，那么它的平方分解的代数式为：
（10a＋b）2＝10a×（10a＋2b）＋b2
关键词:自然数 平方 规律
数学与我们的日常生活息息相关。我对数字（特别是自然数）有着特殊的爱好。我经常留意数字世界，发现它们原来有些有趣的内在规律，下面我就自然数平方之间的一些规律为大家作如下陈述：
一、相邻自然数平方之间的关系
两个相邻自然数，它们平方数之间有一定的差值，这个差值正好是这两个相邻自然数之和。
如：两个相邻自然数3和4，它们的平方数：32＝9、42＝16，16与9的差是7，7正好是3与4之和。用代数式表示如下：
a2－b2＝a＋b（a、b为相邻自然数，a-b=1）
知道了这个规律，我们就可以利用它快速计算出和整十整百数相邻自然数的平方了。
如：要计算99的平方。想一想：99与100相邻。所以只需用100的平方10000减去99与100之和199，即可得出99的平方了。列式如下：
992＝1002－（100＋99）＝10000－199＝9801；
如果要计算101的平方，想想，101的平方比100的平方大，所以只需用100的平方10000加上100与101之和201，即得出了101的平方了。列式如下：
1012＝1002＋（100＋101）＝10000＋201＝10201。

二、两位自然数平方之间的规律
在我们已经熟记了10以内甚至20以内自然数的平方后，我们试图把我们对平方的认识再向上拓展拓展。今天我就两位自然数平方之间的规律作如下列举说明：
1、十几的平方
112＝10×12＋12

122＝10×14＋22
132＝10×16＋32
142＝10×18＋42

152＝10×20＋52
162＝10×22＋62
172＝10×24＋72

182＝10×26＋82
192＝10×28＋92
分析上式，你会发现两个乘数中都有一个10，另一个乘数都逐渐增加了2，分别为12、14、16、18、20、22、24、26、28，并且第二个乘数是第一个乘数10与被平方数个位数的2倍之和，加数正好是这个被平方数个位数的平方。比如：
17的平方就等于10×24＋72
=240+49=289，其中的第二个乘数24是怎样得出的呢？是用10（17的十位数是1）与7（17的个位数是7）的2倍相加得出的，列式：24=10＋7×2
2、二十几的平方
212＝20×22＋12

222＝20×24＋22
232＝20×26＋32
242＝20×28＋42

252＝20×30＋52
262＝20×32＋62
272＝20×34＋72

282＝20×36＋82
292＝20×38＋92
再分析二十几的平方分解式，你会发现两个乘数中都有一个20，另一个乘数分别和被平方数的十位数和个位数有关，并且第二个乘数是第一个乘数20与个位数2倍之和，加数正好是这个自然数个位数的平方。比如：
28的平方就等于20×36＋82
=720+64=784，其中的第二个乘数36是20（28的十位上的数是2）与8（28的个位数是8）的2倍之和，列式：36=20＋8×2
3、三十几的平方
312＝30×32＋12

322＝30×34＋22
332＝30×36＋32
342＝30×38＋42

352＝30×40＋52
362＝30×42＋62
372＝30×44＋72

382＝30×46＋82
392＝30×48＋92
分析三十几的平方分解式，第一个乘数显然是30，加数也是和个位数相同数的平方，不同之处就在于第二个乘数为何分别是32、34、36、38、40、42、44、46、48，不知你弄明白没有？
…………
通过以上列举，可以看出其中的规律来了吗？我们可以把任意一个被平方数的十位上看作a，个位看作b，那么它的平方分解的代数式为：
（10a＋b）2＝10a×（10a＋2b）＋b2
你还能够类推出100以内的其它两位数平方之间的规律来吗？为了方便理解记忆，下面我先用图表分别展示如下：
   个位
十位
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
10×12＋12
10×14＋22
10×16＋32
10×18＋42
10×20＋52
10×22＋62
10×24＋72
10×26＋82
10×28＋92
2
20×22＋12
20×24＋22
20×26＋32
20×28＋42
20×30＋52
20×32＋62
20×34＋72
20×36＋82
20×38＋92
3
30×32＋12
30×34＋22
30×36＋32
30×38＋42
30×40＋52
30×42＋62
30×44＋72
30×46＋82
30×48＋92
4
40×42＋12
40×44＋22
40×46＋32
40×48＋42
40×50＋52
40×52＋62
40×54＋72
40×56＋82
40×58＋92
5
50×52＋12
50×54＋22
50×56＋32
50×58＋42
50×60＋52
50×62＋62
50×64＋72
50×66＋82
50×68＋92
6
60×62＋12
60×64＋22
60×66＋32
60×68＋42
60×70＋52
60×72＋62
60×74＋72
60×76＋82
60×78＋92
7
70×72＋12
70×74＋22
70×76＋32
70×78＋42
70×80＋52
70×82＋62
70×84＋72
70×86＋82
70×88＋92
8
80×82＋12
80×84＋22
80×86＋32
80×88＋42
80×90＋52
80×92＋62
80×94＋72
80×96＋82
80×98＋92
9
90×92＋12
90×94＋22
90×96＋32
90×98＋42
90×100＋52
90×102＋62
90×104＋72
90×106＋82
90×108＋92
比较各行，乘数改变了，而加上的加数不变。因为第一行是十几的平方分解式，所以乘数是10×N ,而第二行是二十几的平方分解式，所以乘数就变成了20×N。第三行……
被平方数十位上数字的不同导致了分解式乘数的不同，加数相同则因被平方数的个位数相同。看来，乘数与被平方数十位上的数有关，加数与被平方数个位上的数有关。
同一行都是表示十位相同数的平方，所以乘数中有一个相同的整十乘数。整十乘数和十位上的数有关，十位上的数是几，它就是几十。
第二个乘数同时和第一个整十乘数与个位数都有关，它正好是第一个整十乘数与个位数的2倍之和。
加数就是被平方数个位数的平方。
我们把被平方数的十位数设为a，个位数为b,第一个乘数是与十位数有关的整十数10a；第二个乘数则是第一个整十乘数10a与被平方数个位数b的2倍之和，即10a+2b；加数正是被平方数个位数的平方。
数字世界潜藏着无穷的规律，希望大家留意她，并有所感悟或发现。