高中数学回归课本(导数).doc

回归课本(十四)导数
一．考试内容：
　　导数的概念.导数的几何意义.几种常见函数的导数.
　　两个函数的和、差、积、商和导数.复习函数的导数.基本导数公式.
　　利用导数研究函数的单调性和极值.函数的最大值和最小值.
二．考试要求：
(1)了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.
(2)熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.
(3)理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.
三．基础知识:
1.在处的导数（或变化率或微商）
.
2.瞬时速度
.
3.瞬时加速度
.
4.在的导数
.
5. 函数在点处的导数的几何意义
函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是.
6.几种常见函数的导数
(1) （C为常数）.
(2) .
(3) .
(4) .
(5) ；.
(6) ; .
7.导数的运算法则
（1）.
（2）.
（3）.
8.复合函数的求导法则
设函数在点处有导数，函数在点处的对应点U处有导数，则复合函数在点处有导数，且，或写作.
9.常用的近似计算公式（当充小时）
(1);；
(2)； ；
(3)；
(4)；
(5)（为弧度）；
(6)（为弧度）；
(7)（为弧度）
10.判别是极大（小）值的方法当函数在点处连续时，
（1）如果在附近的左侧，右侧，则是极大值；
（2）如果在附近的左侧，右侧，则是极小值.

四．基本方法和数学思想
1.导数的定义：f(x)在点x0处的导数记作；
2.根据导数的定义，求函数的导数步骤为：（1）求函数的增量
（2）(2)求平均变化率;
（3）取极限,得导数;
3.可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么函数y=f(x)在点x0处连续；但是y=f(x)在点x0处连续却不一定可导；
4.导数的几何意义：曲线y＝f（x）在点P（x0,f(x0)）处的切线的斜率是相应地，切线方程是
5.导数的应用：（1）利用导数判断函数的单调性：设函数y＝f（x）在某个区间内可导，如果那么f(x)为增函数；如果那么f(x)为减函数；如果在某个区间内恒有那么f(x)为常数；
（2）求可导函数极值的步骤：①求导数；②求方程的根；③检验在方程根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得最大值；如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得最小值；
（3）求可导函数最大值与最小值的步骤：①求y=f(x)在(a,b)内的极值；②将y=f(x)在各极值点的极值与f（a）、f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值
6导数与函数的单调性的关系
㈠与为增函数的关系。
能推出为增函数，但反之不一定。如函数在上单调递增，但，∴是为增函数的充分不必要条件。
㈡时，与为增函数的关系。
若将的根作为分界点，因为规定，即抠去了分界点，此时为增函数，就一定有。∴当时，是为增函数的充分必要条件。
㈢与为增函数的关系。
为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或。当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性。∴是为增函数的必要不充分条件。
函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。
五．高考题回顾
一、曲线的切线：
1.（04年重庆卷.理14）曲线与在交点处的切线夹角是 .（以弧度数作答）
2.（湖北卷）在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，
坐标为整数的点的个数是
A．3 B．2 C．1 D．0
3. (重庆卷)曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为_________。
二、函数单调性和极值点问题.
4.（全国卷Ⅰ）函数，已知在时取得极值，则=（ ）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
5. (重庆卷)设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8，其中aÎR。
(1) 若f(x)在x=3处取得极值，求常数a的值；
(2) 若f(x)在(-¥,0)上为增函数，求a的取值范围。
6. （湖南卷）已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋bx，a≠0.
若b＝2，且h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围 ；
7. 已知函数在R上是减函数，求的范围. ;
三、函数的最大值、最小值：
8. （04年江苏卷.10）函数在闭区间的最大值、最小值分别是（ ）. A. 1,－1 B. 1,－17 C. 3,－17 D. 9,－19
9. (全国卷Ⅱ)已知a≥ 0 ，函数f(x) = （ -2ax ）
当X为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论
10. （北京卷）已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a,
（I）求f(x)的单调递减区间；
（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
六.课本中习题归纳
一 导数的概念,几何意义,函数的求导.
1曲线在点A(1,2)处的切线方程是 .
2曲线在点A(1,1)处的切线方程是 .
3曲线的切线方程过点(1,2),则这切线方程是 .
4已知曲线,及两点,
(1)若直线经过点A,且与曲线相切,则直线的方程是 ;
(2) 若直线经过点B,且与曲线相切,则直线的方程是 .
5质点M按规律作匀加速直线运动,则质点M在时的瞬时速度为 , 加速度 .
6求下列函数的导数
(1), ;(2), ;(3), ;
(4), ;(5), ;
(6), ;(7), ;
(8), ;
(9), ;
(10), ;(11), ;
(12), .
7曲线在点P(2,)处的切线方程是 .
8曲线在点P(8,4)处的切线方程是 .
9曲线在点P()处的切线方程是 .
10曲线与轴相切的条件是 .
11已知两条曲线与.
(1)若这两条曲线在的点处的切线互相平行,则 ;
(2)若这两条曲线在的点处的切线互相垂直,则 .
12(1)设在处可导,则 .
(2) 设在处连续,则 .
二 导数的应用
13(1)函数的递增区间是 ;递减区间是 .
(2)函数在上为增函数,则的取值范围是 .
(3)函数在上为增函数,则的取值范围是 .
14函数,的递增区间是 ;递减区间是 .
15(1)函数的极大值是 ;极小值是 .
(2)函数在有极大值,在有极小值是,则 ; .
(3)函数有极大值又有极小值,则的取值范围是 .
16(1)函数在区间上的最大值是 ;最小值是 .
(2)求函数在区间上的最大值与最小值.

17圆柱形金属饮料罐的容积一定时,为了使所用材料最少,则它的高与底半径之比等于 .
18已知某商品生产成本C与产量的函数关系式为,价格与产量的函数关系式为.求产量为何值时,利润L最大,并求这个最大值.

19设函数,其中实数满足;.
(I)求证:在上为减函数;
(II)证明:.