肖鸿宇一元二次方程与根的分布.doc

一元二次方程根的分布

设一元二次方程（）的两实根为，，且。为常数。则一元二次方程根的分布（即，相对于的位置）有以下若干定理。
【定理1】

【定理2】。

【定理3】。

推论1 。
推论2 。
【定理4】有且仅有（或）

【定理5】或

此定理可直接由定理4推出，请读者自证。

【定理6】或

三、例题与练习
【例1】 已知方程的两实根都大于1，求的取值范围。（）
（2）若一元二次方程的两个实根都大于-1，求的取值范围。 （）
（3）若一元二次方程的两实根都小于2，求的取值范围。 （）
【例2】 已知方程有一根大于2，另一根比2小，求的取值范围。 （）
（2）已知方程有一实根在0和1之间，求的取值范围。 （）
（3）已知方程的较大实根在0和1之间，求实数的取值范围。 变式：改为较小实根 （不可能；）
（4）若方程的两实根均在区间（、1）内，求的取值范围。 （）
（5）若方程的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求的取值范围。 （）
（6）已知关于的方程的两根为且满足，求的取值范围。 （或）
【例3】 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.
(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.
本题重点考查方程的根的分布问题，解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义.
技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制.
解：(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得
∴.
(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组
(这里0<－m<1是因为对称轴x=－m应在区间(0，1)内通过)
知识要点：
1．一元二次方程与二次函数有着密切的关系．对于一元二次方程实根的分布问题，可借助于二次函数的图象，利用数形结合的思想对问题作等价转换，从顶点，判别式Δ，对称轴，自变量取一些关键值时函数值的符号，从而列出相应的方程或不等式，使问题得到解决．
2．实系数一元二次方程根的各种情况：
(1)有两零根Ûb=c=0； (2)至少有一零根Ûc=0； (3)只有一零根Ûb¹0，且c=0；
(4)有一正根和一负根Û<0； (5)有一正根和一零根Ûc=0且–>0；
(6)有一负根和一零根Ûc=0且–<0；
(7)有两正根Û；(8)有两负根Û；
(9)至少有一正根(包括：两正根，一正根一负根，一正根一零根)；
(10)至少有一负根(包括：两负根，一正根一负根，一负根一零根)．
3．设二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两根是a，b，且a<b，令f(x)=ax2+bx+c
(1) 若m<a<n<b<t，则f(m)>0，f(n)<0，f(t)>0 ；
(2) 若a<m<b，则f(m)<0；
(3) 若a>m，b>m，则△³0，f (m)>0，–b/2a>m ；
(4) 若n<a，b<m，则△³0，f(n)>0，f(m)>0，n<–b/2a<m；等等．
例题分析：
1．已知a，b是x2+(2m-1)x+4-2m=0的两个实根，且a<2<b，求m的取值范围． f(2)<0，m< -3

2．关于x的方程x2-mx+4=0在–1£x£1上有解，求m的取值范围．
f(-1)£0，f(1)>0或f(1)£0，f(-1)>0，∴m£ -5或³5

3．已知方程3x2-5x+a=0的两根a，b满足–2<a<0，1<b<3，求a的取值范围．
f(-2)>0，f(0)<0，f(1)<0，f(3)>0，-12<a<0．

4．要使方程2x2+3x+5m=0的任一根都小于1，求m的取值范围．
–1<m£

*5．实数a在什么范围内时，关于x的方程3x2-5x+a=0的一个根大于–2且小于0，另一个根大于1且小于3 ? -12<a<0

习题：
1．方程x2+2x+1-a=0有两个相异的根，则 ( )
A．a<0 B．a>0 C．a>1 D．a>1
2．方程x2+x+a=0有两个负根，则a的范围是 ( )
A．a<0 B．a£ C．0<a£ D．a>0
3．试确定m的值，使方程3x2–10x+m=0有 (1)两正根；(2)一正一负根；(3)一根是零；(4)一根是1；(5)两根互为倒数． (1)0<m£；(2)m<0；(3)m=0；(4)m=7；(5)m=3

4．若方程2ax2-x-1=0在0<x<1内恰有一解，则a的取值范围是__________．

a>1
5．⑴方程x2-2mx+2m+3=0有两个负数根，求实数m的范围．
⑵若方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0有两实数根x1，x2，且0<x1<1<x2<2，求k的范围．
(1)–3/2<m≤-1 (2)–2<k<-1或3<k<4

*6．m是何实数时，关于x的方程x2-m2x+m2=0的两个根均不小于2?

*7．若关于x的方程mx2+(m-3)x+1=0至少有一个正根，求实数m的范围．

*8．当k为何值时，y=x2+kx+2与x轴的交点都在点(–1，0)的左侧?

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