计算方法各章习题及答案.doc

第二章　数值分析

2.1　已知多项式通过下列点：

-2
-1
0
1
2
3

31
5
1
1
11
61

试构造一多项式通过下列点：

-２
-１
０
１
２
３

３１
５
１
１
１１
１

答案：．
2.2　观测得到二次多项式的值：

-2
-1
0
1
2

３
１
１
６
１５

表中的某一个函数值有错误，试找出并校正它．
答案：函数值表中错误，应有．

2.3　利用差分的性质证明．

2.4　当用等距节点的分段二次插值多项式在区间近似函数时，使用多少个节点能够保证误差不超过．
答案：需要143个插值节点．

2.5　设被插值函数，是关于等距节点的分段三次艾尔米特插值多项式，步长．试估计．
答案：．

第三章　函数逼近

3.1 求在空间上最佳平方逼近多项式，并给出平方误差．
答案：的二次最佳平方逼近多项式为
，
二次最佳平方逼近的平方误差为
．
3.2　确定参数，使得积分
取最小值．
答案：
3.3　求多项式在上的３次最佳一致逼近多项式．　
答案：的最佳一致逼近多项式为．
3.4　用幂级数缩合方法，求上的３次近似多项式，并估计．
答案：，

3.5　求上的关于权函数的三次最佳平方逼近多项式，并估计误差和．
答案：，
，．
第四章　数值积分与数值微分

4.1　用梯形公式、辛浦生公式和柯特斯公式分别计算积分，并与精确值比较．
答案：计算结果如下表所示

0. 5
0. 500 000
0. 500 000
0. 500 000

0. 5
0. 333 333
0. 250 000
0. 208 333

0. 5
0. 333 333
0. 250 000
0. 200 000
精确值
0. 5
0. 333 333
0. 250 000
0. 200 000

4.2 　确定下列求积公式中的待定参数，使得求积公式的代数精度尽量高，并指明所确定的求积公式具有的代数精度．
（１）
（２）
（３）
答案：（１）具有三次代数精确度（２）具有二次代数精确度（３）具有三次代数精确度．

4.3　设，确定求积公式

中的待定参数，使得该求积公式的代数精确度尽量高，并给出余项表达式．
答案：，，其中．

4.4　设是以为插值点的的二次插值多项式，用导出计算积分的数值积分公式，并用台劳展开法证明：．
答案：．

4.5　给定积分
（１）运用复化梯形公式计算上述积分值，使其截断误差不超过．
（２）取同样的求积节点，改用复化辛浦生公式计算时，截断误差是多少？
（３）要求的截断误差不超过，若用复化辛浦生公式，应取多少个节点处的函数值？
答案：（１）只需，取９个节点，
（２）
（３）取７个节点处的函数值．

4.6　用变步长的复化梯形公式和变步长的复化辛浦生公式计算积分．要求用事后误差估计法时，截断误不超过和．
答案：使用复化梯形公式时，满足精度要求；使用复化辛浦生公式时，满足精度要求．

4.7（１）利用埃尔米特插值公式推导带有导数值的求积公式，
其中余项为　　．
（２）利用上述公式推导带修正项的复化梯形求积公式
，
其中　　　，
而　　　　．

4.8 用龙贝格方法计算椭圆的周长，使结果具有五位有效数字．
答案：．
4.9 确定高斯型求积公式的节点，及系数，．
答案：，，，．

4.10　验证高斯型求积公式的系数及节点分别为
．

第五章　解线性方程组的直接法
5.1 　用按列选主元的高斯-若当消去法求矩阵的逆矩阵，其中．
答案： 　

5.2　用矩阵的直接三角分解法解方程组

答案：　，，，．

5.3　用平方根法(Cholesky分解法)求解方程组

答案：　　，，．

5.4　用追赶法求解三对角方程组

答案：，，，．

第六章　解线性代数方程组的迭代法

６.１　对方程作简单调整，使得用高斯－赛得尔迭代法求解时对任意初始向量都收敛，并取初始向量，用该方法求近似解，使．
答案：近似解为．

６.２　讨论松弛因子时，用SOR方法求解方程组

的收敛性．若收敛，则取迭代求解，使．
答案：方程组的近似解为，，．

６.３　给定线性方程组，其中
，证明用雅可比迭代法解此方程组发散，而高斯－赛得尔迭代法收敛．

６.４　设有方程组，讨论用雅可比方法和高斯－赛得尔方法解此方程组的收敛性．如果收敛，比较哪种方法收敛较快．
答案：雅可比方法收敛，高斯－赛得尔方法收敛,且较快．

６.５　设矩阵非奇异．求证：方程组的解总能通过高斯－赛得尔方法得到．

６.６ 设为对称正定矩阵，对角阵．求证：高斯－赛得尔方法求解方程组时对任意初始向量都收敛．

第七章　非线性方程求根

例７.４　对方程确定迭代函数及区间，使对，迭代过程均收敛，并求解．要求．
答案：若取，则在中满足收敛性条件，因此迭代法
在中有惟一解．取，．
取，在上满足收敛性条件，迭代序列在中有惟一解．取，
在上，将原方程改写为，取对数得．
满足收敛性条件，则迭代序列在中有惟一解．取， ．

例７.６　对于迭代函数，试讨论：
（１）当为何值时，产生的序列收敛于；
（２）取何值时收敛最快？
（３）取分别计算的不动点，要求．
答案：（１）时迭代收敛．
（２）时收敛最快．
（３）分别取，并取，计算结果如下表７.７所示
表７.７

1
1.875 000 000
1
1.716 506 351
5
1.773 991 120
2
1.731 981 005
10
1.723 068 882
3
1.732 050 806
34
1.732 045 786
4
1.732 050 807
35
1.732 054 483

例７.13 设不动点迭代的迭代函数具有二阶连续导数，是的不动点，且，证明Steffensen迭代式二阶收敛于．

例7.15 设，试确定函数和，使求解且以为迭代函数的迭代法至少三阶收敛．
答案：，
例７.19　设在上有高阶导数，是的重根，且牛顿法收敛，证明牛顿迭代序列有下列极限关系：．

第八章　矩阵特征值

8.1　用乘幂法求矩阵的按模最大的特征值与对应的特征向量，已知，要求，这里表示的第次近似值．
答案：，对应的特征向量为；，对应的特征向量为．
8.2　用反幂法求矩阵的按模最小的特征值．知的按模较大的特征值的近似值为，用的原点平移法计算及其对应的特征向量．
答案：(1) 的按模最小的特征值为
(2) ，对应的特征向量为
．

8.3　设方阵的特征值都是实数，且满足，为求而作原点平移，试证：当平移量时，幂法收敛最快．
8.4　用二分法求三对角对称方阵的最小特征值，使它至少具有２位有效数字．
答案：取即有２位有效数字．

8.5 用平面旋转变换和反射变换将向量变为与平行的向量．
答案：

8.6 若，试把化为相似的上Hessenberg阵，然后用方法求的全部特征值．

第九章　微分方程初值问题的数值解法

9.1　用反复迭代（反复校正）的欧拉预估－校正法求解初值问题
，要求取步长，每步迭代误差不超过．
答案：　，
9.2　用二阶中点格式和二阶休恩格式求初值问题的数值解(取步长，运算过程中保留五位小数)．
答案：用二阶中点格式，取初值计算得
时，
时，
用二阶休恩格式，取初值计算得
时，
时，

9.3　用如下四步四阶阿达姆斯显格式

求初值问题在上的数值解．取步长，小数点后保留８位．
答案：，．
9.4　为使二阶中点公式，求解初值问题　　绝对稳定，试求步长的大小应受到的限制条件．
答案：．
9.5　用如下反复迭代的欧拉预估－校正格式，
求解初值问题时，如何选择步长，使上述格式关于的迭代收敛．
答案：时上述格式关于的迭代是收敛的．

9.6 求系数，使求解初值问题的如下隐式二步法
的误差阶尽可能高，并指出其阶数．
答案：系数为，此时方法的局部截断误差阶最高，为五阶．

9.7　试用欧拉预估－校正法求解初值问题，取步长，小数点后至少保留六位．
答案：由初值可计算得
　，　
　，