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序列的收敛性与子序列的收敛性
摘要:　
本文研究序列的收敛性与子序列的收敛性之间的关系情况，分析和推导Bolzano-Welerstrass定理和一些结论，得出序列和子序列的收敛的几种判定方法并应用于控制收敛定理的一个重要推广，这对于我们进一步了解序列与子序列之间的关系有着一定的意义。
关键词: 序列；子序列；收敛；极限
1 引言
在数学分析里，对于序列的研究主要是极限问题，但没有较系统地讨论序列的收敛性与子序列的收敛性的关系;本文主要分析序列与子序列之间的关系，从中得出一些定理和结论，这对于我们对序列收敛性判定和研究序列与子序列间的关系具有很大的帮助。
2 序列和子序列的定义及其相互关系
2.1 序列和子序列的定义
定义：若函数的定义域为整个全体正整数集合，则称
　　　　 或
为序列。
因为正整数集合的元素可按照由大到小的顺序排列，故序列也可以写为

或者简单地记为，其中称为该序列的通项。序列可分为有界序列，无界序列，单调序列，常序列或周期序列等。从序列中将其项抽出无穷多项来，按照它们在原来序列中的顺序排成一列： ，，，， 又得一个新的序列，称为原来序列的子序列。
易见中的第k项是中的第项，所以总有，事实上本身也是的一个子序列，且是一个最大的子序列（=时）。
2.2序列与子序列之间的若干关系
定理1（Bolzano-Welerstrass）：若序列有界，则必存在收敛子序列，若序列无界，则必存在子序列，使（或）.
证明：（1）不妨设中有无限多个不同的项，否则结论显然成立．用有限覆盖定理(见注释①)来证明结论．
设序列为一有界序列，则存在，使

下面先证明在中存在一点，使该点任一邻域内有中的无穷多项．
用反证法,若此断言不成立，则对任意都存在一邻域，在此邻域内它有中的有限项，构成的一开区间覆盖．由有限覆盖定理,存在有限子覆盖，即存在，使

依反证假设，中至多含有的有限项与矛盾．
据以上证明，存在，又在中，存在一项使，否则与的任何邻域中有的无穷项矛盾，同样我们可以在中找到一项，使在中找到一项使，最终得到一个序列满足：
（i） 是的子序列
（ii）
于是，由（i）和（ii）知，是的收敛子序列．
（2）另外对于无界序列，则可以利用序列无界定义，类似（1）后面一部分可以证明出存在子序列.
例1：对于有界序列，它存在子序列收敛于1，当.
例2：对于无界序列，它的一切子序列都发散到.
以上是关于序列与其子序列在序列有界和无界的情况下进行的关系探讨，进一步对于单调有界序列分析，我们有如下定理：
定理2：若为单调有界序列，为的一个子序列，且有，则有
．
证明：由于是单调有界序列，可根据序列单调有界定理(见注释②)知道，收敛，而存在，现假设记为，即，由定义，对，，使当时候，有

由于是的子序列，且 ，故对上述，，使当时，就有

又取，当时，就有，于是有：

由 ==
即有 成立，所以成立.
例3 设序列，为的一个子序列且有，, 则有 .
3 序列与子序列的三个定理
定理3：序列收敛于的充要条件是它的任何子序列也都收敛于同一个极限．
证明：依题意，设，为的一个子序列，于是对于任给的，存在，使得当时就有，因为是的子序列，故有，所以当时, , 从而有：

按照序列极限定义知,即收敛且与的极限相同．
反之若序列的任一子序列都收敛，且有相同的极限，因为本身为自己的一个子序列，所以有.
定理4：序列收敛的充要条件是奇子序列与偶子序列都收敛，且它们的极限相等.
证明：
根据定理3，序列的奇子序列与偶子序列，且它们的极限相等.
设.根据序列极限的定义，即

于是，，有
，
即 . （证毕）
定理5：若序列收敛于的充要条件是的任一子序列中必有子序列,使得.
证明：
由定理3我们可以知道: 若序列收敛于，则它的任何子序列也都收敛于同一个极限，由题意必要性得证.
已知序列的任一子序列中必有子序列,使得，则由定理3有.
用反证法,假设则必然存在，对于任意自然数，都有
时,有

当时，，使
当时，有，使
…………
当时，有，使
…………
由此可以得到的一个子序列，它的每一项都满足，故不收敛于，且中不存在收敛于的子序列, 这与已知矛盾，因此成立。
4 序列与子序列定理的应用
4.1定理3的应用
利用定理3，可以用来判定一个序列不收敛的情况．即若对一个序列，可以找到两个不可能有相同极限的子序列和则有必发散。
例4 证明发散。
证明：因下述两区间长度均大于1，故必存在自然数和满足：
，
显然 ，及且， ，因此，和是两个不可能有相同极限的子序列，这证明了发散.
4.2定理5的应用
应用定理5，可以判断一个序列收敛。
例5（控制收敛定理的推广）
设为一随机变量，其分布函数为，又设随机变量序列满足，，且，则有 成立．
引理1:设及均为实值可测函数,且 ,则存在子序列,使,.
引理2(控制收敛定理):设为一随机变量,其分布函数为 , 若随机
变量序列满足以下成立:
, , ,且, 则有
.(见注释③)
证明：由知,对的任一子序列均有. 由引理1, 必存在的子序列,使得.于是用引理2就有
.
由于子序列的任意性,上式说明:序列的任一子序列均收敛于,故由定理5知:
.
证毕.

参考文献：
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