第12章答案.doc

第十一章 无穷级数
§ 1 常数项级数的概念和性质
1、 设级数，则其和为（ ）
A B C D
2、 若，则级数（ ）
A 收敛且和为0 B 收敛但和不一定为0
C 发散 D 可能收敛也可能发散
3 、若级数收敛于S，则级数（ ）
A 收敛于2S B收敛于2S+ C收敛于2S- D发散
4、若，,求 的值
解：
所以
5、若级数收敛，问数列{}是否有界
解：由于，故收敛数列必有界。
6、若，求级数的值
解：
故
7、求的值
解：
故=
8、求 的和 (
§ 2 常数项级数的审敛法
一、用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判别下列级数的收敛性
1、 判定级数 的敛散性
解：由于< ,而收敛，故收敛
2、 判定敛散性
解： =
故>,而级数发散，故发散
3、 判定敛散性
收敛; 1, 发散
4、 判定敛散性 (收敛);
二、用比值或根值审敛法判别下列级数的收敛性
5、 判定级数的敛散性
解：>1,所以发散
6、 判定级数的敛散性
解：，所以收敛
7、 收敛
8、 ， 收敛
三、判别下列级数是否收敛。如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？
7、 （绝对收敛）
10、 （条件收敛）
四、判定是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛

解：||，用比值判别法知,所以绝对收敛
§3 幂级数
1、设幂级数在x=3处收敛，则该级数在x=-1点处（ ）
A 绝对收敛 B 条件收敛 C发散 D 可能收敛也可能发散
2、级数的收敛域 （0，4]
3、 求幂级数的收敛半径 （）
4、若级数在x=-2处收敛，则此级数在x=5处是否收敛，若收敛，是否绝对收敛 （绝对收敛 ）
5、求幂级数的收敛域
解：首先判断其收敛区间为（-7，-3），当x=-7、-3时，级数发散，所以级数的收
敛域为（-7，-3）
6、求幂级数的收敛域
解：首先求得收敛区间为（-3，3），而级数在x=-3处发散，在x=3处收敛，所以
收敛域为（-3，3]
7、求幂级数的和函数 （ -1<x<1）
8、求幂级数的和函数
解：
= （-1<x<-1）
§ 4 函数展开成幂级数
1、 将函数f(x)=展开成x的幂级数
解：f(x)=
由展开式可得f(x)= x
2、 将函数f(x)=展开成x的幂级数

解： 而= x
两边积分得 x
3、将函数f(x)=展开成x的幂级数
解：f(x)=
4、将函数f(x)=展开成x-5的幂级数
解： f(x)= = x
5、
解：=

x
§5函数幂级数展开式的应用

1、 计算ln2的进似值（要求误差不超过0.0001）
解：在lnx的幂级数展开式中令x=2 ln2=1-
考虑误差范围可求得ln2
2、 计算定积分的进似值（要求误差不超过0.0001）
解：=
=
再考虑误差范围可求得
3、 计算积分的进似值，（要求误差不超过0.0001）

再考虑误差范围可求得
§7 傅里叶级数

1、 设f(x)是周期为的周期函数，它在[-上的表达式为f(x)= 试将f(x)展开成傅立叶级数
解：
b=
再将所求得的系数代入傅立叶级数可得傅立叶级数展开式
2、 将函数展开成正弦级数

3、 将函数展开成正弦级数和余弦级数

§8 一般周期函数的傅立叶级数
1、 将f(x)=2+|x|(-1展开成以2为周期的傅立叶级数后求的值
解：展开f(x)= 代x=0得
=+ 得

2、 将f(x)=x-1(0)展开成周期为4的余弦级数
解：
f(x)= (0)
3、 将f(x)=x-1(0)展开成周期为4的正弦级数的和函数为s(x)，求s(8)
解：s(8)=s(0)=
4、设f(x)=，S(x)= ,
其中=2求S(
解：S(=S(==
第十一章 自测题
一选择题:（40分）
1、下列级数中,收敛的是( ).
(A)； (B)；
(C)； (D).
2、下列级数中,收敛的是( ).
(A) ； (B)；
(C)； (D).
3、下列级数中,收敛的是( )
(A)； (B)；
(C) ； (D).
4、部分和数列有界是正项级数收敛的( )
(A)充分条件； (B)必要条件；
(C)充要条件； (D)既非充分又非必要条件
5、设为非零常数,则当( )时,级数收敛 .
(A)； (B)；
(C)； (D)
6、幂级数的收敛区域是( ).
(A) ；(B) ； (C) （0,2） (D) [0,2]
7、是级数收敛的( )
(A)充分条件； (B)必要条件；
(C)充要条件； (D)既非充分又非必要条件 .
8、幂级数的收敛区间是( )
(A) ； (B) ；
(C) ； (D) .
二、 （8分）判别下列级数的收敛性
1、； 2、
三、（6分）判别级数的敛散性 .
四、（6分）求极限 .
五（8分）求下列幂级数的收敛区间:
1、； 2、.
六（6分）求幂级数的和函数 .
七（6分）求数项级数的和 .
八（6分）试将函数展开成.
九（6分）设是周期为的函数,它在上的表达式为
将展开成傅立叶级数 .
十（8分）将函数分别展开成正弦级数和余弦级数 .
自测题答案
一、1、B； 2、B； 3、C； 4、C； 5、D；
6、A； 7、B； 8、B.
二、1、发散； 2、收敛.
三、条件收敛.
四、. (提示:化成)
五、1、； 2、.
六、. 七、.
八、
九、
().
十、
.