瑕积分敛散性的判别方法和应用.doc

摘 要

本文给出瑕积分收敛性的判断方法，并将其运用到瑕积分的解题之中．判断瑕积分收敛的方法主要有定义法、比较法和柯西判别法、狄利克雷判别法和阿贝尔判别法，被积函数的原函数已知或易求的用定义法；满足狄利克雷判别法条件的函数用狄利克雷判别法；满足阿贝尔判别法条件的函数用阿贝尔判别法；含有正弦、余弦等有界函数或绝对收敛的函数可考虑用比较法来判断.依据两类含参量反常积分可以互化的关系，从含参量无穷限积分的一致收敛的判定定理出发，给出了含参量瑕积分一致收敛性的判定定理及其证明．最后给出了瑕积分计算可简化的两种形式,以便能够更方便更准确的计算出瑕积分的值.

关键词：瑕积分；收敛；含参量瑕积分；含参量无穷限积分；一致收敛

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Abstract

In this paper, we give the flaw integral convergence judgment method, and apply to solving of flaw integral. Judging method of flaw integral convergence are mainly definition method, comparative method and cauchy-criterion principle. Definition method can be used when integrand is easly obtained. Dirichlet test and Abel's test are carried out when some conditions are satisfied. Comparative method can be used when sine or cosine function and so on, bounded function is included.
By means of the relation between the two abnormality integral containing parameters, the judgment theorem of consistent astringency of flaw integral containing parameters is deduced from the judgment theorem of consistent astringency infinite integral containing parameters. Some typical examples are given to illuminate the application of the obtained judgment and theorem. This paper presents some conditions under which defect integral can be computed as common intergral.We prove that defect integral canbe computed as common intergral if the original function of the integrand is continuous of bounded on the integeral interval.

Key words: Flaw integral; Convergence; Flaw integral containing parameters; Infinite integral containing parameters; Consistent astringency

II

目 录

摘 要 I
Abstract II
1 引 言 1
2 瑕积分敛散性的判别方法和应用 2
2.1 瑕积分的定义 2
2.2 瑕积分的性质 3
2.3 瑕积分的收敛判别法 4
2.4 瑕积分收敛判别法的应用举例 5
2.5 柯西判别法的延伸及应用 6
3 含参量瑕积分一致收敛的判定和应用 9
3.1 含参量瑕积分的定义 9
3.2 含参量瑕积分一致收敛的判别法 9
3.3 含参量瑕积分判定收敛法的应用 13
4 瑕积分计算的简化 16
4.1 瑕积分计算可简化的第一种情形 16
4.2 瑕积分计算可简化的第二种情形 18
5 总结和展望 21
参考文献 22
致 谢 23

1 引 言
现在国内外关于瑕积分敛散性的判别方法的研究非常丰富,取得了很好的成果,其中不乏有所突破的地方,例如：李灼庭发表的《关于瑕积分敛散性教学上的一些问题》在瑕积分的教学中收到了很好的效果.又如：石秀文和张广慧发表的《瑕积分敛散性的判断技巧》和《瑕积分敛散性的判别方法与应用》更加丰富了瑕积分的敛散性判别方法与应用.
瑕积分收敛性的判断是学生学习的难点之一，判断瑕积分收敛的方法有多种,《数学分析》教材上给出的常用的方法主要有定义法、比较法、柯西判别法、狄利克雷判别法和阿贝尔判别法.本文将通过对瑕积分收敛性的几个特性及判断瑕积分收敛的一些技巧和规律的研究,使学习者能够更快、更好的掌握瑕积分收敛性的判断方法.
含参量瑕积分又是瑕积分的一个重要分支，对含参量瑕积分的探讨，又能更好的来研究瑕积分的收敛性.瑕积分收敛的判别方法在含参量瑕积分收敛中也有重要的应用，从而推出含参量瑕积分一致收敛的判别方法.
由于瑕积分的复杂性，导致其运算过程往往是很复杂的，利用怎样的方法，才能使瑕积分的运算更简便,本课题也将给予研究.
本文分为四大部分：即摘要，引言，正文和总结.而正文又分为三大章.
第一章：瑕积分敛散性的判别方法和应用，着重介绍瑕积分敛散性的判别方法以及这些方法在实际问题中的应用.第一节叙述瑕积分的定义；第二节给出瑕积分的一些基础性质；第三节列出瑕积分敛散性的判别方法，如：比较法；柯西判别法等等；第四节主要是瑕积分判别法的应用举例；第五节是关于柯西判别法的延伸．
第二章：含参量瑕积分一致收敛的判定和应用，着重介绍瑕积分中的含参量瑕积分敛散性的判别方法以及其在实际问题中的应用.第一节叙述含参量瑕积分的定义；第二节列出了含参量瑕积分敛散性的判别方法，如：柯西判别法；M判别法；狄利克雷判别法等等；第三节主要是一些应用举例.
第三章：瑕积分计算的简化，着重解决瑕积分与定积分之间的关系，讨论何种情形下瑕积分才可以转化为定积分的运算，并给出一些瑕积分能够转化为定积分计算的例子．
正文通过这三章，解决了在实际生活中遇到的瑕积分的一些问题,达到了本文的研究目的，收到了预期良好的效果.
2 瑕积分敛散性的判别方法和应用
2.1 瑕积分的定义
定义2.1 定义在区间上,在点的任一右邻域内无界,但在任何闭区间上有界且可积.如果存在极限,则称此极限为无界函数在上的反常积分,记作 并称反常积分收敛.如果极限不存在,这时也说反常积分发散.
在定义中,被积函数在点近旁是无界的,这时点称为的瑕点,而无界函数反常积分又称为瑕积分.类似地,可定义瑕点为时的瑕积分：

其中在有定义,在点的任一左邻域内无界,但在任何上可积.
若的瑕点,则定义瑕积分

其中在上有定义,在点的任一邻域内无界,但在任何和上都可积.当且仅当右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是收敛的.
又若、两点都是的瑕点,而在任何上可积,这时定义瑕积分

其中为内任一实数.当且仅当上式右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是收敛的.
例1 瑕积分的值.
解 被积函数在上连续,从而在任何上可积,为其瑕点.依定义求得

例2 讨论瑕积分的收敛性.
解 被积函数在上连续,为其瑕点.由于

故当时,且，则瑕积分收敛；
而当时,瑕积分发散于.
注 当时,瑕积分收敛,而当时,瑕积分发散于.
2.2 瑕积分的性质
类似于无穷积分的柯西收敛准则以及其后的三个性质,瑕积分同样可由函数极限的原意写出相应的命题.
定理2.1[1] 瑕积分(瑕点为)收敛的充要条件是：任给存在,只要、,总有

性质1 设函数与的瑕点同为,为常数,则当瑕积分与都收敛时,瑕积分必定收敛,并有

性质2 设函数的瑕点为,在的任一内闭区间上可积.则当收敛时也必定收敛,并有.
性质3 设函数的瑕点为为任一常数.则瑕积分与同敛态,并有
,
其中为定积分.
2.3 瑕积分的收敛判别法
定义2.2 当收敛时,称为绝对收敛.称收敛而不绝对收敛的瑕积分是条件收敛, 判别瑕积分绝对收敛的比较法则及其推论如下：
定理2.2 (比较法则) 设定义在上的两个函数与,瑕点同为,在任何上都可积,且满足,则当收敛时,必定收敛(或当发散时,亦必发散).
当选用作为比较对象时,由比较法则得到以下三个重要推论，
推论1 设定义于,为其瑕点,且在任何上可积,则有：
(i)当,且时,收敛；
(ii)当且时,发散.
推论2　设定义于,为其瑕点,且在任何上可积.如果
,则有：
(i)当,时收敛；
(ii)当,时发散.
推论3 设定义在上的两个函数与,瑕点同为,又若,且
,则有：
(i)当时,由收敛可推知也收敛；
(ii)当时,由发散可推知也发散.

2.4 瑕积分收敛判别法的应用举例
例1 判别下列瑕积分的收敛性：(1)[2] ； (2)
解 本例两个瑕积分的被积函数在各自的积分区间上分别保持同号在上恒为负, 在上恒为正,所以它们的瑕积分收敛与绝对收敛是同一回事.
(1)此瑕积分的瑕点为.由上述推论3,当取时,有

所以瑕积分(1)收敛.
(2)此瑕积分的瑕点为.当取时,由

故该瑕积分发散.
例2[3] 讨论反常积分的收敛性 .
解 这是一个既是无穷积分又是瑕积分的例子.
把反常积分写成：．
(i)先讨论.当,即时它是定积分；当时它是瑕积分,瑕点为.由于
,
根据定理2.2推论2,当即且时,瑕积分收敛；当,即且=1时,发散.
(ii)再讨论,它是无穷积分.由于

根据定理2.2推论2,当,即且时,收敛；而当,即且1时,发散.
综上所述,把讨论结果列如下表：

发散
收敛
定积分

收敛
收敛
发散

发散
收敛
发散
由此可见,反常积分只有当时才是收敛的.
例3 讨论反常积分的收敛性 .
解 ,由,知瑕积分收敛,又由于知无穷积分收敛,从而可知反常积分是收敛的.
2.5 柯西判别法的延伸及应用
以下设函数以为瑕点,在闭区间上可积[5].
一、 若两个函数与,瑕点同为,且,，
由柯西判别法则与同敛散.
则 (1)与 同敛散,即时收敛,k1时发散．
(2)与同敛散．
注 若直接用柯西判别法,由上可知(1)取,即时收敛,时发散,
同理(2),这样参数就容易确定了.
例1 讨论瑕积分收敛性：
(1) (2) (3)
解 (1),故时收敛, 时发散.
即时收敛,时发散.
若用柯西判别法,由上可知取,即时收敛,时发散.即时收敛,时发散, 即时收敛,时发散.
(2)0为瑕点,易知其收敛．
(3)当,为定积分,当时,0为瑕点,取,易知其收敛情况,那么熟知其等价性参数就容易确定了.
二、 (i)若定义于，在任何有限区间上可积,且
由柯西判别法，则瑕积分与同敛散.
因为
．
同为正数或同为,所以由柯西判别法与的参数的值相等.
例2 讨论瑕积分收敛性
(1) (2) (3)[9]
解 (1)被积函数的瑕点为1，故与同收敛；若用柯西判别法,由上可知，取，则， 故收敛.
(2)被积函数的瑕点为1 与敛散性相同,应用柯西判别法可知,， 故收敛.
(3)被积函数的瑕点1和2.,所以

与同收敛.用柯西判别法,由上可知(1)取则，,同理与用柯西判别法,由上可知(1)取,则故收敛,若熟悉了性质2,可先用性质2将形式上复杂的被积函数的瑕积分转化为简单函数的瑕积分,这将有助于简化问题,从而更容易确定参数.
(ii)若被积函数含有因且0为瑕点,我们要熟悉极限
,取且使上式中即可知收敛．
例3 判断瑕积分的收敛性
(1) (2) (3)
解 (1)被积函数的瑕点为0，
,,则柯西判别法可知收敛.
(2)被积函数的瑕点为0和1
故
由性质2及性质3知收敛.
,
即,则所有(2)收敛.
(3)被积函数的瑕点为0，

由性质3知, ,则，柯西判别法可知须使,故取,积分收敛.
通过实例使我们看到,以上三点是瑕积分收敛的基本的特性，在瑕积分的敛散性讨论中起到了很重要的作用.

3 含参量瑕积分一致收敛的判定和应用
3.1 含参量瑕积分的定义
定义3.1 设在区域上有定义.若对的某值, 为函数的瑕点(一下的含参量瑕积分未加说明都同此),则称
(1)
为含参量的瑕积分.
定义3.2 对任给的正数,总存在某正数,使得当时,对一切,都有,则称含参量瑕积分(1)在上一致收敛.
3.2 含参量瑕积分一致收敛的判别法
定理3.1(柯西收敛准则) 含参量瑕积分在上一致收敛的充要条件是：对任给的正数,存在不依赖于的,使得当时,对一切,都有
　　　　　　　　　　　　　　 (2)
证明 ［必要性］由(1)在上一致收敛,故对任给的,存在,使得时,有与同时成立.则有
[充分性］由所给条件知：对任给正数,存在不依赖于的使得当时,对一切,都有

成立.令,则有

成立.由定义2知：含参量瑕积分(1)在上一致收敛.
注 根据含参量瑕积分一致收敛的柯西准则,我们可以给出其非一致收敛
充要条件：,对(),,有

定理3.2(魏尔斯特拉斯M判别法) 设有函数,使得
(3)
若收敛,所以由瑕积分的柯西收敛原则知：对于任给的,存在(),对于任意的,,且,有又由(3)可得 .
故由定理3.1知：含参量瑕积分在上一致收敛.
定理 3.3(Heine 归结原则) 含参量瑕积分在上一致收敛的充要条件是：对任意递增数列(),时,相应的函数项级数
(4)
在上一致收敛.
证明 ［必要性］因为(1)在上一致收敛,由定理1 知对任给的,必存在,当时,对一切,总有
(5)
成立.
令,由且递增.则且递减.由数列极限定义,对上述,存在正整数N,只要时,就有,于是

=
=
=．
根据函数项级数柯西一致收敛准则函数项级数(4)在上一致收敛.
［充分性］用反证法.假设(1)在上非一致收敛,则存在某一正数,使得对于(),存在相应的和,有
.
现取,则存在及,使得

一般的取(),则有及使得
(6)
令,则是是递增数列, 且有.考察级数=由(6)式知存在正数,对任意正整数N,只要就有某个,使

这与函数项级数(4)在上一致收敛的条件矛盾,故(1)在上一致收敛.
定理3.4(狄利克雷判别法) 若含参量瑕积分满足：
(1)对一切,含参量正常积分对参量在上一致有界，
即存在正数M ,对任何,及一切,
. (7)
(2)对每一个,函数关于单调且当时,对参量,
一致收敛于0.则含参量瑕积分在上一致收敛.
证明 由(1)可知：对一切及一切,存在正数,有
(8)
由条件(2)可知：对任意的,存在与无关的,使得当,且时,对于任意的,有 　　 (9)
从而当时,有积分中值定理和(8)、(9)可以得到

=+

=．
其中在和之间.故由定理1知含参量瑕积分在上一致收敛.
定理3.5(阿贝尔判别法) 若含参量瑕积分满足：
(i)含参量瑕积分在上一致收敛；
(ii)对每一个,函数为的单调函数,且对参量,在上一致有界,则含参量瑕积分在上一致收敛.
证明 由(ii)知存在,对参量,有 (10)
因为(i)含参量瑕积分在上一致收敛,所以由定理1知：对任给的,存在与无关的,使得时,有
(11)
故对任意,由积分中值定理和(10)、(11)可得：

=

．
其中在和之间.
故由定理3.1 知，含参量瑕积分在上一致收敛.
定理3.6 设法在上连续,对任何,收敛,且发散,则在上不一致收敛.
证明 用反证法,若在上一致收敛,由柯西收敛准则：对任给的,存在,当时,对一切有
,
根据假设在上连续,对含参量正常积分应用连续性定理,令,有
.
这与所设含参量瑕积分发散相矛盾.故在不一致收敛.
3.3 含参量瑕积分判定收敛法的应用
例1[12] 证明含参量瑕积分在上一致收敛.
证明 因为
,
所以对于含参量瑕积分,由于
,
故对于任给的,取,当时,即有.因此,对于它是一致收敛的.
对于积分,由于
,
故对任给的,取,当时,即有
，
因此,对于它是一致收敛的,于是积分,对于上一致收敛.
例2 证明含参量瑕积分对一致收敛.
证明 易见是瑕点,将积分分成在及上的两个积分.
当且时,有 (12)
当且时,有 (13)
易证(12)、(13)右端的函数在区间和上的积分收敛,所以由定理2知
在上一致收敛.
例3 证明含参量瑕积分在上一致收敛.
证明 由条件可知
，
而收敛.所以由定理3.2知在()上一致收敛.
例4 判断含参量瑕积分在开区间是否一致收敛.
解 因为发散,所以由定理3.6知在开区间非一致收敛.

例5 证明含参量积分在上一致收敛.
证明 由于收敛(当然,对于含参量,它在上收敛).函数=,对每个单调,且对任何的,都有
,
故由定理3.5知在上一致收敛.

4 瑕积分计算的简化
4.1 瑕积分计算可简化的第一种情形
瑕积分与定积分的本质差别,在于被积函数在有限积分区间上是否有界.求定积分的计算最终归于牛顿—莱布尼兹公式的应用,由于瑕积分不满足公式的条件(被积函数连续或仅有有限个第一类间断点),通常瑕积分不能像定积分一样按牛顿—莱布尼兹公式计算.但根据实践,我们发现一些瑕积分不只形似定积分,且完全可以用牛顿—莱布尼兹公式计算,既快捷又准确.
例1　求．
解 属于瑕点在上限的瑕积分,按定义有
=
=
=
=
．
利用牛顿——莱布尼兹公式,同样有
==．
显然,上面两种解法,后一解法较前一解法每步骤都省略了极限符号,若可行的话,则起到了简化计算的作用.
例2 求．
解 属于瑕点在中间的瑕积分,按定义有

=+
=+
=
=．
利用牛顿——莱布尼兹公式.
则=．
上述两例表明,牛顿——莱布尼兹公式用于解此类瑕积分,既快又准,这不是偶然的巧合.
对上述例子归纳,我们有
定理4.1 对于瑕积分,若被积函数的原函数在积分区间上连续,则该瑕积分一定收敛,且可以用牛顿——莱布尼兹公式.=
证明 设为瑕积分,为的一个原函数且在上连续.若为瑕点,则
==．
同理,若为瑕点,则 ．
若为瑕点,则
+
+
．
例3[13] 求．
解 属于瑕点在下限的积分.可先试着找原函数,然后观察原函数的连续性,最后决定能否用牛顿——莱布尼兹公式.
．
注 这里在上连续.
结论[9]：上述求瑕积分的方法,有一定的局限性,当原函数在积分区间上连续时,可采用上述方法.当原函数在积分区间上不连续时,仍需采用定义求.
例4 求．
解 易知的一个原函数是.由于在上不连续,故不能套用牛顿——莱布尼兹公式.否则,将导致若下错误：==0
正确的解法应该是：=+ 而
=
=
=，
不存在,所以发散．
4.2 瑕积分计算可简化的第二种情形
设在上连续,,在上单调且有连续导数,同时有.则广义积分与的敛散性相同,进一步,若除点外,均有,则有
(1)若在上连续,则==(此处不一定有,下同)
(2)当在上无界时则=发散.
证明 不妨设递增,这时,对任意的存在,使得,且等价于.
===
(1)当在上连续时,=．
(2)当在上无界时,这时只有,所以=发散.
类似的[14],可以证明当瑕点在区间的右端点或内部时,(只要瑕点个个数为有限个)上述结论仍然成立,并可统一叙述为：
定理4.2 设函数在闭区间上除有限个瑕点外,在其余各点都连续,在上单调且有连续的导数,,则广义积分与的敛散性相同,若除瑕点对应的点外,均有,则有
(1)若在上连续,则==．
(2)当在上无界时则=发散.证明可以仿照以上进行,这里不再重复.
例1　计算．
解法一(按以上方法计算) 为瑕点 设,，

=
=．
解法二(按定义计算) =+=．
两种运算结果一直,显然解法二比较麻烦.
例2　．
解 为瑕点,因为的原函数在上有无穷间断点,所以
发散.
例3 求．
解 ,为瑕点,令,,，
==,显然,收敛,而的原函数在内无界.所以发散.
5 总结和展望
本文通过对瑕积分敛散性的判别方法和应用、含参量瑕积分一致收敛的判定和应用、瑕积分计算的简化的讨论，列出了瑕积分和含参量瑕积分敛散性的判别法，如柯西判别法、狄利克雷判别法等等，给出了判别法在瑕积分和含参量瑕积分在实际问题中的应用.通过对这些判别法的归纳、总结，使我们能较快的掌握这些方法，提高在实际问题中解题的速度和效率，达到了研究目的，收到了预期效果.
瑕积分是数学分析中的一个重点、难点，本文所做的这些还远远不能解决瑕积分中复杂多变的问题，由于本人所学的知识有限，希望在以后的学习工作中能够更深入地研究瑕积分，以使得瑕积分敛散的判别及应用越来越完善.
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