资源描述
----------[初中数学]---------
初中数学 经典教材系列 老人教版
一元二次方程根与系数关系的综合应用
[内容]
教学目标
(一)使学生更深刻的体会与系数的关系的意义；
(二)培养学生解综合题的分析问题与解决问题的能力.
教学重点和难点
重点：运用根与系数关系解综合题.
难点：分析问题的能力.
教学过程设计
(一)新课
例1 已知方程3x2+5x-7=0,填空并说出理由：
(1) 这个方程有没有实根? _____
(2) 这个方程两根同号还是异号? ____
(3) 这个方程的绝对值较大的根是正的还是负的? ____
答案提示：(1) 因为△＞0，所以有两个不相符的实根；(2) 因为在简化二次方程中，常数项为负值，所以两根异号；(3) 因为两根之和为-,所以负根的绝对值较大.
例2 一元二次方程的两根之和正值且两根之积也是正值，那么这两个根是不是都是正
的?
答：这两个根不一定是正的，例如方程x2-x+1=0，两根之和x1+x2=1＞0，两根之积x1x2
=1＞0，但是=(-1)2-4=-3＜0,原方程没有实数根，而正数、负数都是实数，所以原方程不
可能有正根.
分析：先化为最简二次方程.先由两根之积求出另一个根，再由两根之和
求出k值.
例4 α,β是方程x2-3x-5=0的两个根，不解方程，求下列各式的值：
分析：如果一个含有字母α，β的式子，把α处换为β，把β处换为α，其结果与原式
相同，那么这个式子叫做关于α，β两个字母的对称式.式子α+β与αβ是最基本的对称式
，较为复杂的对称式都可转化为用基本对称式来表示的形式.而基本对称式与方程的系数有
关.所以，关于两根的对称式，可以用方程系数代入后、算出.
解：α+β=3,αβ=-5.
例5 已知方程2x2+4x-3=0,不解方程，求作一个一元二次方程，使它的一个根是已知方
程两根之和的倒数，另一个根是已知方程两根差的平方.
分析：应先求出已知方程的两根之和的倒数及已知方程两根差的平方，然后再用已知两
根写出方程的方法，写出所求方程.
解：把原方程化为简化二次方程
设x1,x2是此方程的两根，则有.
(二)课堂练习
1.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根，一个负根，且正根的绝对值小于负根的绝对值，那么( ).
(A) a,b同号，且a,c同号 (B) a,b同号，且a,c异号
(C) a,b异号，且a,c同号 (D) a,b异号，且a,c异号
2.已知a,b,c,d都不是零，且a,b是方程x2+cx+d=0的解，c,d是方程x2+ax+b=0的解，则a+b+c+d的值为______.
答案或提示：
1.设方程两根为x1,x2.已知x1,x2一正一负，且负根绝对值大，因为x1+x2=- 所以a,b同号.又，即a,c异号，故选(B).
2.由题意
a+b=-c, ①
ab=d, ②
c+d=-a, ③
cd=b. ④
由①得 a+b+c=0. ⑤
①+③得 a+b+c+d=-a-c. ⑥
由⑤代入⑥，左边=0+d,右边=b,所以d=b,代入②得ab=b.又b≠0，所以a=1.把b=d代入④，得c=1.所以a+b+c+d=-a-c=-1-1=-2.
(三)小结
一元二次方程根与系数关系有很广泛的用途.目前，可解决以下几类问题
1.已知二次方程的一个根，可求另一个根.
2.已知两根，可写出这个二次方程.
3.求已知二次方程的根的对称式.
4.与根的判别式结合起来，可不解方程判断两根的性质和正负号.
在运用韦达定理时，应先化为简化二次方程，并牢记两根之和是一次项系数的相反数而
不是一次项系数本身.
(四)作业
1.方程2x2-ax+2b=0中，两根的和为4，两根之积为-3，那么a,b的值是( ).
(A) a=8,b=-6 (B) a=4,b=-3 (C) a=3,b=8 (D) a=8,b=-3
2.设方程2x2+ax+2=0的两根为αβ，且=,则α的值是( ).
3.已知方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个实数根，且这两根的平方之和比两根之积大21.求m的值.
4. m为何值时，方程2x2+3x-m=0
(1) 有一个根的零；(2)两个实根互为倒数；(3)有两个负实数根.
作业的答案或提示
课堂教学设计说明
1.在根与系数关系的问题中，常见的错误之一是：两根之和为正数且两根之积为正数时
，这两根必是正数，(缺少了△≥0这一条件)，为此教学设计中编排了例2.
2.在根与系数关系的习题中，求两根的对称式的值的题目占很大比重.为此安排了例4.
特别是指明了根的对称式都可用基本对称式x1+x2与x1x2 来表示，这个结论对解题指出了明晰的思路.
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