2013届高三数学复习资料正弦定理及余弦定理.doc

2013届高三数学复习资料 正弦定理和余弦定理
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c＝，b＝，B＝120°，则a等于(　　)
A. B．2
C. D.
【解析】　由正弦定理得＝，
∴sin C＝.
又∵C为锐角，则C＝30°，∴A＝30°，
△ABC为等腰三角形，a＝c＝.故选D.
【答案】　D
2．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABC是(　　)
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
【解析】　∵2c2＝2a2＋2b2＋ab，∴a2＋b2－c2＝－ab，
∴cos C＝＝－＜0.
则△ABC是钝角三角形．故选A.
【答案】　A
3．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．若A＝，b＝1，△ABC的面积，则a的值为(　　)
A．1 B．2
C. D.
【解析】　由已知得：bcsin A＝×1×c×sin 60°＝⇒c＝2，则由余弦定理可得：a2＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3⇒a＝.
【答案】　D
4．在△ABC中，cos 2B＞cos 2A是A＞B的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】　cos 2B＞cos 2A⇔1－2sin2B＞1－2sin2A⇔sin2B＜sin2A⇔sin A＞sin B⇔A＞B.
【答案】　C
5．满足A＝45°，c＝，a＝2的△ABC的个数记为m，则am的值为(　　)
A．4 B．2
C．1 D．不确定
【解析】　由正弦定理＝
得sin C＝＝＝.
∵c＞a，∴C＞A＝45°，
∴C＝60°或120°，
∴满足条件的三角形有2个，
即m＝2.∴am＝4.
【答案】　A
6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若b2＋c2－bc＝a2，且＝，则角C的值为(　　)
A．45° B．60°
C．90° D．120°
【解析】　由b2＋c2－bc＝a2得b2＋c2－a2＝bc，
∴cos A＝＝，∴A＝60°.
又＝，∴＝，
∴sin B＝sin A＝×＝，
∴B＝30°，∴C＝180°－A－B＝90°.
【答案】　C
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．在△ABC中，若a＝7，b＝8，cos C＝，则此三角形的最大内角的余弦值为________．
【解析】　c2＝a2＋b2－2abcos C＝9，c＝3，由b>a>c知最大角为B，利用余弦定理求得cosB＝－.
【答案】　－
8．在△ABC中，AB＝2，AC＝，BC＝1＋，AD为边BC上的高，则AD的长是________．

9．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足a＋b＋c＝＋1，sin A＋sin B＝sin C，则c＝________；若C＝，则△ABC的面积S＝________.
【解析】　依题意及正弦定理得a＋b＝c，且a＋b＋c＝＋1，因此c＋c＝＋1，c＝1，当C＝时，
c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝1，∴(a＋b)2－3ab＝1.
又a＋b＝，因此2－3ab＝1，∴ab＝，则△ABC的面积S＝absin C＝×sin＝.
【答案】　1　
三、解答题(共46分)
10．(15分)已知△ABC的周长为＋1，且sin A＋sin B＝sin C.
(1)求边AB的长；
(2)若△ABC的面积为sin C．求角C的度数．
【解析】　(1)由题意及正弦定理，得AB＋BC＋AC＝＋1.
BC＋AC＝AB，
两式相减，得AB＝1.
(2)由△ABC的面积＝BC·AC·sin C＝sin C，
得BC·AC＝.
由余弦定理，得cos C＝
＝＝，
∴C＝60°.
11．(15分)△ABC中，角A、B、C对边的边长分别是a、b、c，且a(cos B＋cos C)＝b＋c.
(1)求证：A＝；
(2)若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC周长的取值范围．
【解析】　(1)∵a(cos B＋cos C)＝b＋c，
∴由余弦定理得a·＋a·＝b＋c，
整理得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0.
∵b＋c＞0，∴a2＝b2＋c2，故A＝.
(2)∵△ABC的外接圆半径为1，A＝，∴a＝2.
∴b＋c＝2(sinB＋cos B)＝2sin.
∵0＜B＜，∴＜B＋＜，∴2＜b＋c≤2.
∴4＜a＋b＋c≤2＋2，
故△ABC周长的取值范围为(4,2＋2]．
12．(16分)已知△ABC ，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，关于x的不等式x2cos C＋4xsin C＋6＜0的解集是空集．
(1)求C的最大值；
(2)若c＝，△ABC的面积S＝，
求当C取得最大值是a＋b的值．
【解析】　(1)显然cos C≤0不合题意，
故有，即，
即，
故cos C≥，∴C的最大值为60°.
(2)当C＝60°时，S＝absin C＝ab＝，∴ab＝6，
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C
＝(a＋b)2－2ab－2abcos C，
∴(a＋b)2＝c2＋3ab＝，∴a＋b＝.