碳纤维护套高速永磁电机转子应力解析建模.pdf

碳纤维护套高速永磁电机转子应力解析建模袁 瑶1，林其友2，黄 晟2，舒晓欣2，庞 彦2，涂之艺1，陈亮亮1，伍家驹1（1.南昌航空大学 信息工程学院，南昌330063；2.国网芜湖供电公司，安徽 芜湖241027）摘要 针对温升等因素影响下碳纤维护套表贴式高速永磁电机的转子应力分析问题，将转子简化为永磁体和护套 2 个圆柱套筒结构。在此基础上，基于转子平面应力模型，采用弹性力学理论，推导了考虑过盈量、转速及温度影响的碳纤维护套永磁转子的应力解析解，并采用有限元法验证了解析模型的有效性。最终，通过转子应力解析解，研究了转子应力随过盈量、转速、温度及护套厚度等参数的变化规律。结果表明：解析法与有限元法的计算结果一致，通过该方法推导的解析解能够精确计算出永磁体和碳纤维护套的应力，对转子应力影响较大的因素分别为过盈量、转子转速以及温升，而护套的厚度对转子应力的影响较小。关键词 高速永磁电机；应力分析；碳纤维护套；有限元 中图分类号 TM351 文献标志码 A doi：10.3969/j.issn.2096-8566.2023.02.004 文章编号 2096-8566(2023)02-0027-08Rotor Stress Analytical Modeling of High-speed PermanentMagnet Machine with a Carbon Fiber SleeveYUAN Yao1，LIN Qi-you2，HUANG Sheng2，SHU Xiao-xin2，PANG Yan2，TU Zhi-yi1，CHEN Liang-liang1，WU Jia-ju1（1.School of Information Engineering,Nanchang Hangkong University,Nanchang 330063,China;2.State Grid Wuhu Power Supply Company,Anhui Wuhu 241027,China）Abstract:Aiming at analyzing the rotor stress of surface-mounted high-speed permanent magnet motor with a carbon fiber sleeveunder the influence of temperature rise and other factors,the rotor structure was simplified as the interference fit of two thick-walledcylindrical sleeves firstly.Then,the stress analytical solution of permanent magnet rotor retained by a carbon fiber sleeve wasproposed based on the plane stress model of rotor and the elastic theory,considering the effects of interference,rotation speed andtemperature.Subsequently,the analytical solution was verified by the finite element method.Finally,based on the proposedanalytical solution,the influences of the parameters,such as the interference,rotation speed,temperature and sleeve thickness,etc.,on the rotor stress were further studied.The results show that the calculation results of the analytical method proposed are consistentwith those of the finite element method,and the analytical solution can accurately calculate the rotor stress of the surface-mountedhigh-speed permanent magnet motor with a carbon fiber sleeve.The interference,rotation speed and temperature rise have asignificant impact on the rotor stress,while the sleeve thickness have a relatively small impact.Key words:high-speed permanent magnet motor；stress analysis；carbon fiber sleeve；finite element method 收稿日期2022-12-29 修回日期2023-03-18基金项目国家自然科学基金(12062014,51967015)；江西省自然科学基金(20202BABL204048)通讯作者陈亮亮(1984)，男，博士，副教授。主要研究方向：高速永磁电机。第 37 卷 第 2 期南昌航空大学学报：自然科学版Vol.37 No.22023 年 6 月Journal of Nanchang Hangkong University:Natural SciencesJun.2023 引言表贴式高速永磁电机因功率密度高、体积小、结构简单等优点，广泛应用于航空航天、国防、工农业生产和日常生活的各个领域1-4。稀土永磁材料是高速永磁电机常用的永磁材料，该类材料可承受较大的压力，但抗拉强度较小5。电机高速运行时转子会产生强大的离心力，其性质为拉力，容易对永磁体造成损坏，因此需要采用高强度护套对永磁体进行保护6。常用的保护套材料有非导磁金属护套和碳纤维护套，非导磁金属护套散热性能优越，碳纤维护套与之相比散热较差，但在高机械强度下碳纤维护套不会产生高频涡流损耗且质量轻7。在表贴式高速永磁电机中，永磁体结构主要有整体结构和分块结构 2 类。整体结构的永磁体能够进一步地划分为圆柱型结构和圆筒型结构。整体永磁结构具有结构简单、易于加工、机械强度高等优点，然而该结构会出现永磁材料利用率较低的情况。而分块结构的永磁体则恰恰相反，其永磁材料利用率较高，并能够采用合适的形状来改善气隙磁场波形，但加工工艺较复杂、机械强度较低。永磁体在高速运行状态下会产生强大的拉应力，在工程实际中常通过永磁体和护套之间过盈配合而产生的预压力进行补偿8。为了给电机转子的永磁体设计合适的护套厚度及过盈量，需要对永磁体和护套内的应力进行精确分析，确保高速运行下永磁体不被强大的离心力所破坏。在工程实际中，常用的永磁转子应力分析方法主要有有限元法和解析法，有限元法具有精度高的优点，但也存在建模复杂、计算量大的问题9-10。解析法的计算量小、效率高，且能够为转子强度的优化设计提供理论支持7。文献 11-13 采用解析法来研究非导磁金属护套保护下的高速永磁电机的转子强度，结果表明，所提出的解析解能够准确计算永磁体和非导磁护套内的应力。非导磁金属护套采用各向同性材料，其应力分析的模型较为简单，而使用各向异性材料的碳纤维护套，其应力分析更为复杂。针对碳纤维护套固定的永磁转子应力计算问题，文献 14-18开展了相关研究工作。Binder 等14将碳纤维护套看作为各向同性材料，以此为基础，提出了碳纤维护套圆柱型结构的永磁转子的应力解析解，但是该模型的计算结果与实际值存在较大误差，在高速运行过程中，所设计电机的碳纤维护套出现了破裂。针对圆筒型整体永磁结构，陈亮亮等15研究了考虑转速和温升影响的永磁转子应力解析解。刘威等16采用解析法分析轴间填充的厌氧胶对转子应力的影响。Chen 等17提出了分块永磁结构的转子应力解析解，该解析模型可为分块永磁转子的强度设计提供理论支持。基于碳纤维护套永磁转子的应力解析解，沈建新等18提出了圆筒型永磁转子的护套设计方法，该方法具有计算速度快、精度高、灵活性强等特点。目前，已有的碳纤维护套永磁转子应力的解析解主要针对圆筒型永磁结构和分块永磁结构，尚缺乏可以综合考虑多重因素包括过盈量、温升、转速等影响下的圆柱型永磁转子应力的解析解。针对碳纤维护套圆柱型永磁转子的应力计算问题，本文利用弹性力学中的厚壁筒理论对转子结构进行简化，将转子看作 2 个厚壁圆柱套筒的过盈配合，推导了考虑过盈量、转速、温升等多因素影响的碳纤维护套圆柱永磁转子的应力解析解，研究了过盈量、温升、转速等因素对转子应力的影响，并采用有限元法来验证解析解的有效性。1 转子结构本文研究的高速永磁电机转子结构如图 1 所示，转子主要由碳纤维、永磁体 2 个部分组成。磁体为整体永磁结构，呈圆柱状，其外半径为 Rom；碳纤维护套的内外半径分别为 Ric和 Roc。为了给永磁体施加预压力，永磁体与碳纤维护套之间采用过盈配合，过盈量为，即：28 南昌航空大学学报：自然科学版第 37 卷RomRic=(1)永磁体碳纤维护套YXO 图 1 永磁转子结构 2 应力解析解采用厚壁筒理论的平面应力模型来分析转子应力。由于转子是轴对称的，因此其应力和应变只与半径有关，而与角度无关。先假设永磁体与碳纤维护套接触面的接触压强为 P，再分别求出二者的应力微分方程解析解，得到永磁体和碳纤维护套的应力及径向位移表达式，最后根据护套和永磁体接触面之间的径向位移配合关系得到接触压强 P。2.1 碳纤维护套应力分析碳纤维护套内表面受到均匀压强 P 的作用，外表面受力为 0，受力情况如图 2 所示。碳纤维护套P 图 2 碳纤维护套受力分析 在极坐标下，考虑到离心力对护套应力的影响后，得到护套的平衡微分方程为：drcdr+rccr+c2r=0(2)式中，rc和 c分别为碳纤维护套径向正应力和环向正应力，c为碳纤维护套的密度，为电机转速，r 为某一点的半径。考虑转子温升热应力后碳纤维护套的物理方程为：rc=rcErcrcEc+rcTcc=cEcrrcErc+cTc(3)式中：rc、c分别为碳纤维护套的径向正应变及环向正应变；Erc、Ec分别为碳纤维的径向弹性模量及环向弹性模量；r、r分别为径向泊松系数及环向泊松系数；rc、c分别为护套的径向和环向热膨胀系数；护套温升 Tc=TcTc0，Tc0、Tc分别为在半径 r 处碳纤维护套的初始温度和同一位置转子发热后的护套温度，可用变量 r 表示。碳纤维护套的几何方程：rc=durc/drc=urc/r(4)式中：urc为护套在半径 r 处的径向位移。将式(2)式(4)联立，并结合正交各向异性材料特性 ErcrEcr=0，可得到碳纤维护套径向位移 urc、径向正应力 rc和环向正应力 c，分别为：urc(r)=C1crk+C2crk+c2(1rr)r3Erc(k29)+fu1fu2+fu3fu42k(5)k=Ec/Ercfu1=(rcr+c)k2crrcfu3=cr+rc式中：C1c、C2c为微分常数，fu2=(wrRicTcrkdr)rk(wrRicTcrkdr)rk,fu4=(wrRicrk+1(dTcdr)dr)rk(wrRicrk+1(dTcdr)dr)rkrc=Erc1rr(fr1+fr2+fr3fr4+fr5+fr62k fr7)(6)fr1=C1c(k+r)rk1+C2c(rk)rk1fr2=c2(1rr)(3+r)r2Erc(k29)fr3=(rcr+c)k2crrcfr4=(rk)rk1(wrRicTcrkdr)(k+r)rk1(wrRicTcrkdr)fr5=(cr+rc)(k+r)rk1(wrRicrk+1(dTcdr)dr)fr6=(cr+rc)(kr)rk1(wrRicrk+1(dTcdr)dr)fr7=(rc+cr)Tc式 中：，第 2 期袁 瑶，林其友，黄 晟，等：碳纤维护套高速永磁电机转子应力解析建模 29 c=Ec1rr(f1+f2+f3f4+f5+f62k f7)(7)f1=C1c(1+kr)rk1+C2c(1kr)rk1f2=c2(1rr)(3r+1)r2Erc(k29)f3=(rcr+c)k2crrcf4=(1kr)rk1(wrRicTcrkdr)(1+kr)rk1(wrRicTcrkdr)f5=(cr+rc)(1+kr)rk1(wrRicrk+1(dTcdr)dr)f6=(cr+rc)(kr1)rk1(wrRicrk+1(dTcdr)dr)f7=(c+rcr)Tc式中：，碳纤维护套内表面受到均匀压强 P 的作用，外表面受力为 0。因此，碳纤维护套径向正应力的边界条件可表示为：rc|r=Ric=Prc|r=Roc=0(8)由式（8）可得到微分常数 C1c、C2c。根据弹性力学理论，碳纤维护套的 Mises 等效应力为:cMises=0.5(rcc)2+(rc)2+(c)2(9)2.2 永磁体应力分析永磁体为各向同性材料，其外表面受到均匀压强 P 的作用，如图 3 所示。永磁体的平衡微分方程为：drmdr+rmmr+m2r=0(10)式中：rm、m和 m分别为永磁体的径向正应力、环向正应力以及永磁体密度。永磁体需要满足的物理方程为：rm=1Em(rmmm)+mTmm=1Em(mmrm)+mTm(11)式中：rm、m分别为永磁体的径向应变及环向应变，Em、m分别为永磁体的弹性模量及泊松系数，m为热膨胀系数，Tm=TmTm0，Tm0为永磁体在半径 r 处的初始温度，Tm为转子发热后永磁体在半径 r 处的温度，永磁体温升 Tm为半径 r 的函数。永磁体需要满足的几何方程为：rm=dumdr，m=umr(12)式中：um为永磁体的径向位移。由于永磁体为圆柱状，其轴心处的径向位移为 0，永磁体外表面受到均匀压强 P 的作用。因此，永磁体的应力边界可表示为：urm(r)|r=0=0，rm(r)|r=Rom=P(13)根据永磁体的平衡微分方程、物理方程以及几何方程(10)方程(12)，并结合边界条件式（13），可分别得到永磁体径向位移 urm、径向正应力rm及环向正应力 m的表达式：urm(r)=P(1m)rEm+(1m)mrR2omwRom0Tmrdr+m(1+m)1rwr0Tmrdr+m2(1m)8Em(3+m)R2omr(1+m)r3(14)rm(r)=P+m2(3+m)(R2omr2)8+EmmR2omwRom0TmrdrEmmr2wr0Tmrdr(15)m(r)=P+m2(3+m)R2om(3m+1)r28+EmmR2omwRom0Tmrdr+Emmr2wr0TmrdrmEmTm(16)永磁体的 Mises 等效应力为：mMises=0.5(rmm)2+(rm)2+(m)2(17)2.3 接触压强 P 的求解令碳纤维护套径向位移表达式（5）中 r=Ric，得到碳纤维护套内表面处径向位移 urc(Ric)；令永磁体径向位移表达式（14）中 r=Rom，得到永磁体外表面的径向位移 urm(Rom)。根据永磁体与碳纤维护套接触面的径向位移配合关系，碳纤维护套内表面处 P永磁体 图 3 永磁体受力图 30 南昌航空大学学报：自然科学版第 37 卷的径向位移与永磁体外表面的径向位移之差等于静态过盈量，即：urc(Ric)urm(Rom)=(18)由式（18）可得到接触压强 P。3 有限元验证分别采用有限元和解析法计算一台高速永磁电机的转子应力，电机的额定转速为 24 000 r/min，额定功率为 75 kW，额定电压为 380 V。将电机的运行状态可以分为 3 类：静态、高速运行以及高速运行且转子发热。采用解析和图解这 2 种方法，对不同运行状态下的电机永磁体和碳纤维护套的应力进行计算，为了简化分析过程，这里假设转子温度均匀分布，且温升为 80。分别计算电机在以下 3 种运行状态下永磁体和碳纤维护套的应力：(1)电机静态，此时的应力为预应力，应力由永磁体与护套间的过盈配合产生；(2)电机高速运行但转子尚未发热，即 n=24 000 r/min、Tc=Tm=0；(3)电机高速运行且转子发热，温升为 80，即n=24 000 r/min、Tc=Tm=80。过盈量=0.15 mm，转子基本参数如表 1 所示。3.1 永磁体应力分析3 种运行状态下解析法和图解法得到的永磁体径向正应力、环向正应力以及 Mises 等效应力分布如图 4 所示。结果表明，3 种运行状态下解析解和有限元法的计算结果相一致，解析法可以精确计算出永磁体的径向正应力、环向正应力以及Mises 等效应力。由于永磁体与护套采用过盈配合，静态时永磁体内具有一定的径向正应力、环向正应力及 Mises 等效应力，应力性质为压力，即径向正应力、环向正应力小于 0。由于离心力的影响，高速运行时永磁体内的径向正应力大幅减小，但应力性质仍是压应力；当转子持续高速运行发热后，永磁体内的径向压应力再次变大。在高速离心力和转子发热的影响下，永磁体环向应力均保持为压应力，其变化规律与径向应力类似，只是数值上有所不同。电机高速运行会产生离心力，导致永磁体内同一位置的 Mises 等效应力相较于静态时急剧下降，而沿半径方向，随着半径不断增大 Mises等效应力逐渐增加；永磁体内的 Mises 等效应力会因为转子发热继续增大。在 3 种不同的运行状态下，永磁体 Mises 等效应力均为压应力，永磁体的抗压强度(600 MPa 左右)远大于等效应力，满足强度保护要求。表 1 高速电机转子基本参数参数永磁体碳纤维护套内半径/mm050外半径/mm5054密度/(kgm3)83001750径向弹性模量Er/GPa10827切向弹性模量E/GPa108456切向径向泊松系数r0.240.3径向切向泊松系数r0.240.018径向热膨系数r/(m1)922.5切向热膨胀系数/(m1)90.02 110907060504030r/mm rm/MPa(a)径向正应力1008005 10 15 20 25 30 35 40 45 50907060504030r/mm m/MPa(b)环向正应力8005 10 15 20 25 30 35 40 45 50r/mm mMises/MPa(c)Mises 等效应力3060708090100504005 10 15 20 25 30 35 40 45 50有限元法解析法有限元法解析法有限元法解析法高速无温升径向正应力静态径向正应力高速且转子发热径向正应力静态环向正向应力高速无温升环向正应力高速且转子发热环向正向应力静态等效应力高速无温升等效应力高速且转子发热等效应力 图 4 永磁体应力分布图 第 2 期袁 瑶，林其友，黄 晟，等：碳纤维护套高速永磁电机转子应力解析建模 31 3.2 碳纤维应力分析3 种运行状态下，采用解析解法和有限元法所计算出的护套径向应力、环向应力、Mises 等效应力分布如图 5 所示。结果表明，采用不同方法计算出的护套应力几乎一致。当电机处于静止状态时，护套具有一定的预应力，该预应力的性质为压力；当电机高速运行时，受离心力影响，使得护套径向应力小幅增大；继续高速运行，转子发热使得碳纤维护套的径向正应力进一步增加。不同运行状态下，护套的环向应力均为拉力，沿半径方向，拉应力不断减小。护套环向正应力的增加是受到高速离心力和转子发热的双重作用。护套的径向应力远小于环向应力，这使得环向应力对 Mises 等效应力影响较大，因此，在 3 种运行状况下，碳纤维护套Mises 等效应力与其环向应力的变化规律较为一致，两者仅在数值上有所区别。有限元法解析法静态径向正应力高速无温升径向正应力高速且转子发热径向正应力有限元法解析法静态环向正向应力高速无温升环向正应力高速且转子发热环向正向应力有限元法解析法静态等效应力高速无温升等效应力高速且转子发热等效应力49.550.050.551.051.552.052.553.053.554.0120100806040200r/mmrc/MPa(a)径向正应力c/MPa49.550.050.551.051.552.052.553.053.554.0900100011001200130014001500r/mm(b)环向正应力cMises/MPa49.550.050.551.051.552.052.553.053.554.0900100011001200130014001500r/mm(c)Mises 等效应力 图 5 碳纤维护套应力分布图 在本例中，碳纤维护套径向正应力最大值约为 105 MPa，远小于其径向拉伸强度 400 MPa，碳纤维护套环向正应力的最大值约为 1410 MPa，小于其切向拉伸强度(约为 2600 MPa)，两者均满足碳纤维材料的强度要求。解析解和有限元法结果的比较分析表明，本文推导的解析解能够准确分析考虑过盈量、转速及温度等因素影响的护套应力分布。4 分析与讨论在转子应力解析解的基础上，进一步研究转速、温升、过盈量以及护套厚度等参数对转子应力的影响。图 6、图 7 为接触压强 P 随转速、温升、护套厚度及过盈量的变化曲线，图 8 和图 9 为护套最大 Mises 等效应力随转速、温升、护套厚度及过盈量的变化曲线。永磁体和碳纤维护套的应力均与接触压强密切相关，因此接触压强可反映转子内部的应力状况；在设计过程中，要求护套的最大Mises 等效应力小于其极限强度。图 6、图 7 表明，接触压强与转速、护套厚度呈弱正相关，与转子温升、过盈量呈强正相关。图 8、图 9 表明，护套最大 Mises 等效应力与转速、转子 P/MPan/(104 rmin1)T/12011010090804321020406080100 图 6 接触压强 P 随转速和温升的变化曲线 /mmP/MPa(RocRic)/Ric40030020010000.80.60.40.200.10.20.30.4 图 7 接触压强 P 随护套厚度和过盈量的变化曲线 32 南昌航空大学学报：自然科学版第 37 卷温升及过盈量呈强正相关，却与护套厚度呈负相关。总的来说，转速、过盈量和转子温升对接触压强的影响较大，而护套厚度的影响则相对较小。5 结论通过本文的理论推导和有限元仿真分析，可得到以下结论：1)综合考虑过盈量、转速、温升等因素的影响，本文采用解析法能够精确计算出碳纤维护套表贴式高速永磁电机的转子应力，可为此类电机的转子设计提供理论支持。2)过盈量是碳纤维护套永磁转子应力的一个决定性因素，增大过盈量，可增加接触压强，进而提高松脱转速，但护套最大 Mises 等效应力也随之大幅增加，可能会使得护套应力超出其极限强度。3)随着电机转速的增加，永磁体内的压力将大幅减小，甚至可能变为拉力，当电机持续运行后，转子温度升高，这时永磁体内的压力与转子温度成正比。因此，需要同时考虑高速离心力和转子温升的影响。本文推导了碳纤维护套永磁转子的应力模型，在此基础上，可进一步开展转子护套的优化设计相关研究。【参考文献】TONG W,SUN L,WU S,et al.Analytical model and experimental verification of permanent magnet eddy current loss in permanentmagnet machines with nonconcentric magnetic poles J.IEEE transactions on industrial electronics,2022,69(9):8815-8824.1TONG W,SUN R,ZHANG C,et al.Loss and thermal analysis of a high-speed surface-mounted PMSM with amorphous metal statorcore and titanium alloy rotor sleeve J.IEEE transactions on magnetics,2019,55(6):8102104.2杨浩,赵强,杨钊,等.基于新型双滑模的永磁同步电机无传感器矢量控制 J.科学技术与工程,2022,22(6):2252-2258.3刘伟波,邢佳丽,赵向禹,等.双三相多相永磁同步电机驱动器混合直接转矩控制策略 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