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第十讲 函数模型及其应用
一、选择题
1．(2009·珠海质检)某种细胞在培养过程中正常情况下，时刻t(单位：分)与细胞数n(单
位：个)的部分数据如下：
t
0
20
60
140
n
1
2
8
128
根据表中数据，推测繁殖到1 000个细胞时的时刻t最接近于( )
A．200 B．220 C．240 D．260
解析：由表格中所给数据可以得出n与t的函数关系为n＝，令n＝1 000，得＝
1 000，又210＝1 024，所以时刻t最接近200分．
答案：A
2．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x
＜240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成
本)的最低产量是( )
A． 100台 B． 120台 C． 150台 D． 180台
解析：设利润为f(x)(万元)，则f(x)＝25x－(3 000＋20x－0.1x2)＝0.1x2＋5x－3 000≥0，
∴x≥150.
答案：C
3．(2010·山东模拟精选)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同
意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝n(n＋1)·(2n＋1)吨，
但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条
生产线拟定最长的生产期限是( )
A．5年 B．6年 C．7年 D．8年
解析：由题知第一年产量为a1＝×1×2×3＝3；以后各年产量分别为an＝f(n)－
f(n－1)＝n(n＋1)(2n＋1)－n(n－1)(2n－1)＝3n2(n∈N*)，令3n2≤150，得1≤n≤5⇒
1≤n≤7，故生产期限最长为7年．
答案：C
4．(2010·创新题)某市2009年新建住房100万平方米，其中有25万平方米经济适用房，有 关部门计划以后每年新建住房面积比上一年增加5%，其中经济适用房每年增加10万平 方米．按照此计划，当年建造的经济适用房面积首次超过该年新建住房面积一半的
年份是(参考数据：1.052＝1.10, 1.053＝1.16，1.054＝1.22, 1.055＝1.28)( )
A．2011年 B．2012年 C．2013年 D．2014年
解析：设第n年新建住房面积为an＝100(1＋5%)n，经济适用房面积为bn＝25＋10n， 由2bn>an得：2(25＋10n)>100(1＋5%)n，利用已知条件解得n>3，所以在2013年时满 足题意．
答案：C
二、填空题
5．(2009·浙江)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区
的电网销售电价表如下：
高峰时间段用电价格表
高峰月用电量
(单位：千瓦时)
高峰电价
(单位：元/千瓦时)
50及以下的部分
0.568
超过50至200的部分
0.598
超过200的部分
0.668
低谷时间段用电价格表
低谷月用电量
(单位：千瓦时)
低谷电价
(单位：元/千瓦时)
50及以下的部分
0.288
超过50至200的部分
0.318
超过200的部分
0.388
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，
则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)．
解析：高峰时间段200千瓦时的用电电费为：50×0.568＋150×0.598＝118.1(元)；
低谷时间段100千瓦时的用电电费为：50×0.288＋50×0.318＝30.3(元)．
合计：148.4元．
答案：148.4
6. (2010·苏、锡、常、镇四市调研)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程
为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米
2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加
费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.
解析：设乘客每次乘坐出租车需付费用为f(x)元，由题意可得：
令f(x)＝22.6，解得x＝9.
答案：9
7．一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后t秒内列车前
进的距离为S＝27t－0.45t2米，则列车刹车后________秒停下来，此期间列车前进了
________米．
解析：v＝S′＝(27t－0.45t2)′＝27－0.9t，显然t＝30时，v＝0.此时S＝27×30－
0.45×302＝405.
答案：30 405
三、解答题
8．某企业生产一种产品时，固定成本为5 000元，而每生产100台产品时直接消耗成本
要增加2 500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为R(x)＝5x－
(万元)(0≤x≤5)，其中x是产品售出的数量(单位：百台)
(1)把利润表示为年产量的函数；
(2)年产量多少时，企业所得的利润最大；
(3)年产量多少时，企业才不亏本？
解：(1)利润y是指生产数量x的产品售出后的总收入R(x)与其总成本C(x)之差，由题意，
当x≤5时，产品能全部售出，当x＞5时，只能销售500台，所以
＝
(2)在0≤x≤5时，y＝－x2＋4.75x－0.5，
当x＝－＝4.75百台时，
ymax＝10.781 25 万元．
当x＞5 百台时，y＜12－0.25×5＝10.75 万元，
所以当生产475台时，利润最大．
(3)要使企业不亏本，即要求：
或
解得5≥x≥4.75－≈0.1 百台或5＜x＜48 百台，即企业年产量在10台到4 800 台之间时，企业不亏本．
9．(2010·福建厦门模拟)已知某企业原有员工2 000人，每人每年可为企业创利润3.5万
元．为应对国际金融危机给企业带来的不利影响，该企业实施“优化重组，分流增效”
的策略，分流出一部分员工待岗．为维护生产稳定，该企业决定待岗人数不超过原有员
工的5%，并且每年给每位待岗员工发放生活补贴0.5万元．据评估，若待岗员工人数
为x，则留岗员工每人每年可为企业多创利润万元．为使企业年利润最大，应
安排多少员工待岗？
解：设重组后，该企业年利润为y万元．依题意得
y＝(2 000－x)(3.5＋1－)－0.5x＝－5＋9 000.81，
∴y＝－5＋9 000.81(0<x≤100且x∈N)，
y＝－5＋9 000.81≤－5×2＋9 000.81＝8 820.81，
∴当且仅当，即x＝18时取等号，此时y取得最大值．
即为使企业年利润最大，应安排18人待岗．
10．设某市现有从事第二产业人员100万人，平均每人每年创造产值a万元(a为正常数)，
现在决定从中分流x万人去加强第三产业．分流后，继续从事第二产业的人员平均每人
每年创造产值可增加2x%(0<x<100)．而分流出的从事第三产业的人员，平均每人每年
可创造产值1.2a万元．
(1)若要保证第二产业的产值不减少，求x的取值范围；
(2)在(1)的条件下，问应分流出多少万人，才能使该市第二、三产业的总产值增加最多？
解：(1)由题意得故⇒0<x≤50. (2)设该市第
二、三产业的总产值增加f(x)(0<x≤50)万元，则f(x)＝(100－x)(1＋2x%)a－100a＋1.2ax
＝－(x2－110x)＝－[(x－55)2－3 025]，
∵x∈(0,50]时，f(x)单调递增，
∴x＝50时，f(x)max＝60a，
即应分流出50万人，才能使该市第二、三产业的总产值增加最多．
1．(★★★★)拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f(m)＝1.06(0.50×[m]＋1)给出，
其中m＞0，[m]是小于或等于m的最大整数，如[4]＝4，[2.7]＝2，[3.8]＝3，则从甲地
到乙地通话时间为5.5分钟的话费为( )
A．3.71 B．3.97 C．4.24 D．4.77
解析：f(5.5)＝1.06(0.50×[5.5]＋1)＝1.06×(0.50×5＋1)＝3.71.
答案：A
2．(2010·创新题)一位设计师在边长为3的正方形ABCD中设计图案，他分别以A，B，
C，D为圆心，以b为半径画圆，由正方形内的圆弧与正方形边上线段(圆弧
端点在正方形边上的连线)构成了丰富多彩的图形，则这些图形中实线部分总长度的最小
值为________．
解析：由题意实线部分的总长度为l＝4(3－2b)＋2πb＝(2π－8)b＋12，l关于b的一次函
数的一次项系数2π－8<0，故l关于b为单调减函数，因此，当b取最大值时，l取得最
小值，结合图形知，b的最大值为，代入上式得l最小＝(2π－8)×＋12＝3π.
答案：3π
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