《二次根式》期末复习知识清单及典型例题.doc

(完整)《二次根式》期末复习知识清单及典型例题
二次根式期末复习知识清单及典型例题
知识点1:
二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数,只有当是一个非负数时，才有意义．
【例1】下列各式,，，,，，其中是，二次根式的是_________（填序号）．
变式：1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A、 B、 C、 D、
2、在、、、、中是二次根式的个数有______个
【例2】若式子有意义，则x的取值范围是 ．[来源：学＊科*网Z*X＊X＊K]
变式:1、使代数式有意义的x的取值范围是（ ）
A、x>3 B、x≥3 C、 x〉4 D 、x≥3且x≠4
2、如果代数式有意义，那么，直角坐标系中点P(m，n)的位置在（　　)
A、第一象限　　B、第二象限　　C、第三象限　　D、第四象限
3、使代数式有意义的x的取值范围是
【例3】若y=++2009，则x+y=
变式：1、若，则x－y的值为（ )A．－1 B．1 C．2 D．3
2、当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。

【例4】已知a是整数部分,b是 的小数部分,求的值。
变式：1、若的整数部分是a,小数部分是b，则 .
2、若的整数部分为x，小数部分为y，求的值。

知识点2：
2、双重非负性：是一个非负数．即①；②
3、平方的形式（双胞胎公式）:(1）；（2） ．
公式与的区别与联系：
（1）表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数．
(2)表示一个数的算术平方根的平方,a的范围是非负数．
(3）和的运算结果都是非负的．
【例5】若则= ．
变式：若与互为相反数，则= 。
【例6】 化简：的结果为（ ）
A、4-2a B、0 C、2a-4 D、4
变式：1、在实数范围内分解因式： = ；=

【例7】已知,则化简的结果是( ）
A、 B、 C、 D、
变式:1、根式的值是（ ）A．-3 B．3或—3 C．3　 D．9
2、已知a〈0，那么│－2a│可化简为（ ）A．－a B．a C．－3a D．3a
3、若，则等于（ ）A. B. C. D。
4、当a＜l且a≠0时，化简＝ ．
【例8】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b│+ 的结果等于（ ） A．－2b B．2b C．－2a D．2a
【例9】化简的结果是2x-5，则x的取值范围是（ ）
（A）x为任意实数 （B）≤x≤4 （C） x≥1 (D）x≤1
变式:若代数式的值是常数,则的取值范围是（　 　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．或
【例10】如果，那么a的取值范围是（ ）A. a=0 B. a=1 C。 a=0或a=1 D。 a≤1
变式：如果成立，那么实数a的取值范围是( ）

【例11】化简二次根式的结果是（ ）A. B。 C. D.
变式：1、把二次根式化简，正确的结果是（ ）A. B. C。 D。
2、把根号外的因式移到根号内:当＞0时，＝ ；＝ 。
知识点3：
4、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；ƒ分母中不含根号．
5、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。
【例12】在根式1) ，最简二次根式是（ ）
A．1） 2） B．3) 4） C．1) 3） D．1) 4）
变式：1、中的最简二次根式是 。
2、下列根式中，不是最简二次根式的是( ）A． B． C． D．
3、下列根式不是最简二次根式的是（　）A.　　B.　　 C.　　D。
【例13】下列根式中能与是合并的是（ ）A. B. C。2 D。
变式：1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、在二次根式:①；② ；③ ;④中,能与合并的二次根式是 。
知识点4：
6、分母有理化
定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
有理化因式:
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式：利用来确定,如：，，与等分别互为有理化因式.②两项二次根式：利用平方差公式来确定.如与，，分别互为有理化因式。
分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式;③最后结果必须化成最简二次根式或有理式.
【例14】 把下列各式分母有理化
(1) （2） （3) (4）

变式：1、把下列各式分母有理化
（1) (2） (3）

变式:2、已知，，求下列各式的值：（1）(2）

知识点5：
7、积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.
=·（a≥0，b≥0)
8、二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
·＝．（a≥0,b≥0）
9、商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根
=（a≥0，b>0）
10、二次根式的除法法则:两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。
=(a≥0,b〉0)
注意:乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．
【例15】化简
(1） (2） （3） ×

变式：计算（1)   (2)   （3）   （4）

【例16】能使等式成立的的x的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、无解
知识点6：
二次根式的加减:需要先把二次根式化简,然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。
【例17】计算（1）； （2）；

（3） ·(-4)÷ （4)

知识点八：根式比较大小
1、根式变形法 当时，①如果，则；②如果，则.
2、平方法 当时，①如果,则；②如果，则。
3、分母有理化法 通过分母有理化,利用分子的大小来比较。
4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较.
5、倒数法
6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较.
7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质:①；②
8、求商比较法它运用如下性质：当a〉0，b>0时,则：①； ②
【例18】 比较与的大小.

变式:比较与的大小.