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第3课时 几何概型
1．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．
2．了解几何概型的意义．
[对应学生用书P158]
【梳理自测】
1．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是( )
A. B.
C. D.
2．如右图，正方形ABCD的边长为2，△EBC为正三角形．若向正方形ABCD内随机投掷一个质点，则它落在△EBC内的概率为( )
A. B.
C. D.
3．如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为( )
A. B.
C. D．无法计算
4．如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠xOT内的概率为________．
5．在区间[－1，2]上随机取一个数x，则x∈[0，1]的概率为________．
答案：1.B 2.B 3.B 4. 5.
◆以上题目主要考查了以下内容：
(1)几何概型
①定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
②特点：
a．无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个，
b．等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．
(2)几何概型的概率公式
P(A)＝．
【指点迷津】
1．一个判定标准
试验结果无限且等可能．
2．两种类型
(1)线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时．
(2)面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．
[对应学生用书P158]
考向一 与长度、角度有关的几何概型
(1)已知一只蚂蚁在边长分别为5，12，13的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为________．
(2)如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________．
【审题视点】 (1)把三角形边长拉成直线段，分为三段．蚂蚁在距两端和分点处的距离都为1，是直线型概型．
(2)当P在BC上，射线AP，分布在∠DAE内的位置，是与角度有关的几何概型．
【典例精讲】 (1)把三角形ABC三边拉成直线段AB、BC、CA，则总长度为5＋13＋12＝30.分别A、B、C为圆心，半径为1，画圆弧交各边于D1，D2，D3，D4，D5，D6.当蚂蚁在线段D1D3，D4D5，D6D2上适合题意，其概率P＝＝.
(2)连接AC，tan∠CAB＝＝＝，
∴∠CAB＝，
其概率为P＝＝.
【答案】 (1) (2)
【类题通法】 (1)当取点的区域是与长度有关的几何概型时，其计算方法是用线段的长度．
(2)当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段代替，这是两种不同的度量手段．
1．(1)在集合A＝{m|关于x的方程x2＋mx＋m＋1＝0无实根}中随机地取一元素m，恰使式子lg m有意义的概率为________．
(2)如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，求BM＜1的概率________．
解析：(1)由Δ＝m2－
4＜0得－1＜m＜4.
即A＝{m|－1＜m＜4}．
由lg m有意义知m＞0，即使lg m有意义的范围是(0，4)，
故所求概率为P＝＝.
(2)由已知可得BD＝1，∠BAC＝75°，
当M在线段BD上，满足BM＜1，即射线AM在角∠BAD内，其概率P＝＝.
答案：(1) (2)
考向二 与面积有关的几何概型
(2014·成都市诊考)已知集合{(x，y)|}
表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P(x，y)，则点P的坐标满足不等式x2＋y2≤2的概率为________．
【审题视点】 区域Ω是由点形成的面积大小，分别计算可行域及圆在可行域内的面积求其概率．
【典例精讲】 作出不等式组表示的平面区域，如图三角形ABO，且有A(，)，B(4，－4)，所以S△ABO＝××4＝，点P的坐标满足不等式x2＋y2≤2的面积S扇形＝×π()2＝，所以所求概率P＝＝×＝.
【答案】
【类题通法】 解与面积有关的几何概型问题的关键是对事件A构成区域形状的判断及面积的计算，数形结合，直观明了．
2．(2014·河南三市联考)在区间[－π，π]内随机取两个数分别为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点的概率为( )
A．1－ B．1－
C．1－ D．1－
解析：选B.函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点，需Δ＝4a2－4(－b2＋π2)≥0，即a2＋b2≥π2成立．而a，b∈[－π，π]，建立平面直角坐标系，满足a2＋b2≥π2的点(a，b)如图阴影部分所示，所求事件的概率为P＝＝＝1－，故选B.
考向三 与体积有关的几何概型
有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．
【审题视点】 采用对立事件转化为半球的体积与圆柱的体积比．
【典例精讲】 先求点P到点O的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V圆柱＝π×12×2＝2π，以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝×π×13＝π.则点P到点O的距离小于或等于1的概率为＝，故点P到点O的距离大于1的概率为1－＝.
【答案】
【类题通法】 与体积有关的几何概型问题
如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为：
P(A)＝.
3．(2014·长沙模拟)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．
解析：V正＝23＝8，V半球＝×π×13＝π
＝＝，∴P＝1－.
答案：1－
[对应学生用书P159]
对几何度量认识不清致误
(2013·高考四川卷)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )
A. B.
C. D.
【正解】 结合线性规划，利用几何概型求解．
设两串彩灯同时通电后，第一次闪亮的时刻分别为x，y，则0≤x≤4，0≤y≤4，而事件A“它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒”，即|x－y|≤2，可行域如图阴影部分所示．
由几何概型概率公式得
P(A)＝＝.
【答案】 C
【易错点】 “4秒为间隔闪亮”，误认为是两串灯的闪亮总时段相差不超过2秒，即概率为P＝＝，把面积型误认为是长度型．
【警示】 对于几何概型问题，根据题意列出条件，找出试验的全部结果构成的区域及所求事件构成的区域是解题的关键，这时常常与线性规划问题联系在一起．
1．(2013·高考陕西卷)如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )
A．1－ B.－1
C．2－ D.
解析：选A.选择面积作为测度，求解几何概型的概率．
取面积为测度，则所求概率为
P＝
＝＝＝1－.
2．(2013·高考湖南卷)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D.根据几何概型的特点寻找满足条件的点P，利用直角三角形的性质求解．
由于满足条件的点P发生的概率为，且点P在边CD上运动，根据图形的对称性当点P在靠近点D的CD边的分点时，EB＝AB(当点P超过点E向点D运动时，PB>AB)．设AB＝x，过点E作EF⊥AB交AB于点F，则BF＝x.在Rt△FBE中，EF2＝BE2－FB2＝AB2－FB2＝x2，即EF＝x，∴＝.
3．(2013·高考福建卷)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1＞0”发生的概率为________．
解析：选择区间长度为测度求解几何概型．
由题意知0≤a≤1.事件“3a－1＞0”发生时，a＞且a≤1，取区间长度为测度，由几何概型的概率公式得其概率P＝＝.
答案：
4．(2013·高考湖北卷)在区间[－2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝________．
解析：根据几何概型，在线性问题中用长度之比表示概率，求m的值．
由|x|≤m，得－m≤x≤m.
当m≤2时，由题意得＝，解得m＝2.5，矛盾，舍去．
当2<m<4时，由题意得＝，解得m＝3.即m的值为3.
答案：3
新课 标第 一 网
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