资源描述
第1课时 随机事件的概率
1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．
2．了解两个互斥事件的概率加法公式．
[对应学生用书P152]
【梳理自测】
一、随机事件和确定事件
(教材改编)将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是( )
A．必然事件 B．随机事件
C．不可能事件 D．无法确定
答案：B
◆此题主要考查了以下内容：
(1)在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件．
(2)在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件．
(3)必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件．
(4)在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件．
(5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C…表示．
二、频率与概率
在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，P(A)与的关系是( )
A．P(A)≈ B．P(A)＜
C．P(A)＞ D．P(A)＝
答案：A
◆此题主要考查了以下内容：
(1)频率：在相同条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，nA为事件A出现的频数，事件A出现的频数为fn(A)＝；
(2)概率：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．
三、事件的关系及运算、概率的性质
1．(课本改编题)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( )
A．至少有一个红球与都是红球
B．至少有一个红球与都是白球
C．至少有一个红球与至少有一个白球
D．恰有一个红球与恰有二个红球
2．(2014·广州月考)某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20，0.30，0.10，则此射手在一次射击中不够8环的概率为( )
A．0.40 B．0.30
C．0.60 D．0.90
3．甲、乙二人下棋，甲获胜的概率是0.3，甲不输的概率为0.8，则甲、乙二人下成和棋的概率为( )
A．0.6 B．0.3
C．0.1 D．0.5
4．给出下列三个命题：
①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．
其中错误的命题有________个．
答案：1.D 2.A 3.D 4.3
◆以上题目主要考查了以下内容：
定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B⊇A(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A且A⊇B
A＝B
并事件(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交事件(积事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B也发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝∅P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1
概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1．
(2)必然事件的概率P(E)＝1．
(3)不可能事件的概率P(F)＝0．
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．
【指点迷津】
1．一个关系
两个事件对立则一定互斥，两个事件互斥未必对立．两事件对立是这两事件互斥的充分而不必要条件．
2．两种方法
求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：
(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；
(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”、“至少”型题目，用间接法就显得比较简便．
[对应学生用书P153]
考向一 互斥事件与对立事件的判定
某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”，判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)A与C；(2)B与E；(3)B与C；(4)C与E.
【审题视点】 根据互斥事件，对立事件的定义判定．
【典例精讲】 (1)由于事件C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．
(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件．由于事件B不发生可导致事件E一定发生，且事件E不发生会导致事件B一定发生，故B与E还是对立事件．
(3)事件B“至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”，事件C“至多订一种报纸”中有这些可能：“什么报纸也不订”、“只订甲报纸”、“只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件．
(4)由(3)的分析，事件E“一种报纸也不订”只是事件C的一种可能，即事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不是互斥事件．
【类题通法】 判断事件的关系，尤其是互斥事件和对立事件，在求概率时非常重要，对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解．具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件的关系．
1．下列命题：①将一枚硬币抛两次，设事件M：“两次出现正面”，事件N：“只有一次出现反面”，则事件M与N互为对立事件．②若事件A与B互为对立事件，则事件A与B为互斥事件．③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B互为对立事件．④若事件A与B互为对立事件，则事件A∪B为必然事件．其中，真命题是( )
A．①②④ B．②④
C．③④ D．①②
解析：选B.对①，将一枚硬币抛两次，共出现{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}四种结果，则事件M与N是互斥事件，但不是对立事件，故①错．对②，对立事件首先是互斥事件，故②正确．对③，互斥事件不一定是对立事件，如①中两个事件，故③错．对④，事件A、B为对立事件，则在一次试验中A、B一定有一个要发生，故④正确．
考向二 随机事件的概率与频率
(2012·高考陕西卷)假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：
(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；
(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．
【审题视点】 从频数分布图中，读出寿命小于200小时，或大于200小时的频数，用频率估计概率．
【典例精讲】 (1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为＝，用频率估计概率，所以甲品牌产品寿命小于200小时的概率为.
(2)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品共有75＋70＝145(个)，其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是＝，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为.
【类题通法】 利用概率的统计定义求事件的概率是求一个事件概率的基本方法，通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，就用事件发生的频率趋近的常数作为事件的概率．
2．某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示：
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中10环次数m
8
19
44
93
178
453
击中10环频率
(1)计算表中击中10环的各个频率；
(2)这位射击运动员射击一次，击中10环的概率为多少？
解析：(1)击中10环的频率依次为0.8，0.95，0.88，0.93，0.89，0.906.
(2)这位射击运动员射击一次，击中10环的概率约为0.9.
考向三 互斥事件、对立事件的概率
(2014·青岛市模拟)2014年某省实施通过竞选选拔高校校长，省委组织部拟选拔4位校长，相关单位通过组织提名、领导干部个人提名、群众联合提名、自荐提名四种方式，确定初步人选为4位男竞选者和2位女竞选者，每位竞选者当选校长的机会是相同的．
(1)求选拔的4位校长中恰有1位女竞选者的概率；
(2)求选拔的4位校长中至少有3位男竞选者的概率．
【审题视点】 从6位竞选者选4位，总结果一一列举找出符合题意的情况，至少3个男的包括4男和3男1女两类是互斥事件．
【典例精讲】 (1)将4位男竞选者和2位女竞选者分别编号为1，2，3，4，5，6(其中1，2，3，4是男竞选者，5，6是女竞选者)，从6位竞选者中选拔4位的情况有(1，2，3，4)，(1，2，3，5)，(1，2，3，6)，(1，2，4，5)，(1，2，4，6)，(1，2，5，6)，(1，3，4，5)，(1，3，4，6)，(1，3，5，6)，(1，4，5，6)，(2，3，4，5)，(2，3，4，6)，(2，3，5，6)，(2，4，5，6)，(3，4，5，6)，共15种．
选拔的4位校长中恰有1位女竞选者的情况有(1，2，3，5)，(1，2，4，5)，(1，3，4，5)，(1，2，3，6)，(1，2，4，6)，(1，3，4，6)，(2，3，4，5)，(2，3，4，6)，共8种．
故选拔的4位校长中恰有1位女竞选者的概率为.
(2)选拔的4位校长中至少有3位男竞选者包括3位男竞选者、1位女竞选者，4位男竞选者两种情况，
选拔的4位校长都是男竞选者的情况只有(1，2，3，4)，则其概率为，
由(1)知选拔的4位校长中恰有1位女竞选者的概率为，
故选拔的4位校长中至少有3位男竞选者的概率P＝＋＝＝.
【类题通法】 求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法：
(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率；
(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”．
3．袋中有12个除颜色外其余均相同的小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？
解析：分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A，B，C，D.
由于A，B，C，D为互斥事件，
根据已知得到
解得
∴得到黑球、黄球、绿球的概率分别为，，.
[对应学生用书P154]
互斥与对立相混致误
(2014·郑州毕业质检)甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，则下列说法正确的是( )
A．甲获胜的概率是 B．甲不输的概率是
C．乙输了的概率是 D．乙不输的概率是
【正解】 “甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率是P＝1－－＝；
设事件A为“甲不输”，则A是“甲胜”、“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)＝＋＝；
乙输了即甲胜了，所以乙输了的概率为；
乙不输的概率为1－＝.
【答案】 A
【易错点】 没有分析透整个事件的分类应有三种：甲胜、和棋、乙胜，彼此互斥，乙获胜的对立事件是“乙不胜”，但不等于“乙输”，错选为C的较多．
【警示】 对立事件和互斥事件都不可能同时发生，但对立事件必有一个要发生，而互斥事件可能都不发生．所以两个事件对立，则两个事件必是互斥事件；反之，两事件是互斥事件，但未必是对立事件．
1．(2013·高考江西卷)集合A＝{2，3}，B＝{1，2，3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.从A、B中各取一个数有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共6种情况，其中和为4的有(2，2)，(3，1)，共2种情况，所以所求概率P＝＝，选C.
2．(2012·高考湖北卷)容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
分组
[10，20)
[20，30)
[30，40)
[40，50)
[50，60)
[60，70)
频数
2
3
4
5
4
2
则样本数据落在区间[10，40)的频率为( )
A．0.35 B．0.45
C．0.55 D．0.65
解析：选B.数据落在[10，40)的频率为＝
＝0.45，故选B.
新课 标第 一 网
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
