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第1章 常用逻辑用语
§1.1 命题及其关系
1．1.1 四种命题
一、基础过关
1． “若函数f(x)＝sin(x＋φ)为偶函数，则φ＝”的否命题是____________________．
2． 下列语句中命题的个数为________．
①空集是任何非空集合的真子集．
②三角函数是周期函数吗？
③若x∈R，则x2＋4x＋7>0.
④指数函数的图象真漂亮！
3． 命题“正数a的平方根不等于0”是命题“若一个数a的平方根等于0，则a不是正数”的________命题．
4． “如果x、y∈R且x2＋y2＝0，则x、y全为0”的否命题是____________________．
5． 给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．
6． 有下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．
其中真命题的序号为________．
7． 下列命题中：
①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；
②正方形的四条边相等；
③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．
其中互为逆命题的有__________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．(填序号)
二、能力提升
8． 给定下列命题：
①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；
②若x＋y≠8，则x≠2或y≠6；
③“矩形的对角线相等”的逆命题；
④“若xy＝0，则x、y中至少有一个为0”的否命题．
其中真命题的序号是________．
9． 已知命题“若m－1<x<m＋1，则1<x<2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是___．
10．已知命题“如果|a|≤1，那么关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集为∅”，它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有________个．
11．把下列命题改写成“若p，则q”的形式：
(1)各位数数字之和能被9整除的整数，可以被9整除；
(2)斜率相等的两条直线平行；
(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除．
12．判断下列命题的真假，写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．
(1)若a>b，则ac2>bc2；
(2)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac<0，则该函数图象与x轴有交点．
13．求证：直角三角形的三边长不可能都是奇数．
三、探究与拓展
14．求证：如果p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
答案
1．若函数f(x)＝sin(x＋φ)不是偶函数，则φ≠
2．2 3.逆否
4．如果x、y∈R且x2＋y2≠0，则x、y不全为0
5．1
6．①③
7．②和③ ①和③ ①和②
8．①②④
9．1≤m≤2
10．2
11．解 (1)若一个整数的各位数数字之和能被9整除，则这个整数可以被9整除；
(2)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；
(3)若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除．
12．解 (1)该命题为假命题，如c＝0时，ac2＝bc2.
逆命题：若ac2>bc2，则a>b.为真命题．
否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.为真命题．
逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.为假命题．
(2)该命题为假命题．
逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有交点，则b2－4ac<0.为假命题．
否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac≥0，则函数图象与x轴无交点．为假命题．
逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴无交点，则b2－4ac≥0.为假命题．
13．证明 假设三角形的三边长都是奇数，分别为a，b，c，则有a2，b2，c2为奇数．
∵a2＋b2为偶数，c2为奇数，
∴a2＋b2≠c2.
∴此三角形不是直角三角形．
∴原命题“直角三角形的三边长不可能都是奇数”的逆否命题“若一个三角形的三边长都是奇数，则该三角形就不是直角三角形”是真命题．
∴直角三角形的三边长不可能都是奇数．
14．证明 该命题的逆否命题为：
若p＋q>2，则p2＋q2≠2.
p2＋q2＝[(p＋q)2＋(p－q)2]
≥(p＋q)2.
∵p＋q>2，∴(p＋q)2>4，
∴p2＋q2>2，
即p＋q>2时，p2＋q2≠2成立．
∴如果p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
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