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小题专项集训(二) 函数的概念、图象和性质
(时间：40分钟 满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共50分)
1．函数y＝的值域是 ( )．
A．[0，＋∞) B．[0,4]
C．[0,4) D．(0,4)
解析 ∵4x>0，∴0≤16－4x<16，∴∈[0,4)．
答案 C
2．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是 ( )．
A．f(x)f(－x)是奇函数 B.是奇函数
C．f(x)－f(－x)是偶函数 D．f(x)＋f(－x)是偶函数
解析 F(x)＝f(x)＋f(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(－x)．
答案 D
3．若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝ ( )．
A．－1 B．1 C．－2 D．2
解析 f(3)－f(4)＝f(－2)－f(－1)＝－f(2)＋f(1)＝－2＋1＝－1.
答案 A
4．已知函数f(x)＝若f(a)＝，则a的值为 ( )．
A．－1 B.
C．－1或 D．－1或
解析 若a>0，有log2a＝，a＝；若a≤0，有2a＝，a＝－1.
答案 D
5．函数y＝f(x)在R上单调递增，且f(m2＋1)>f(－m＋1)，则实数m的取值范围是 ( )．
A．(－∞，－1) B．(0，＋∞)
C．(－1,0) D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
解析 由题意得m2＋1>－m＋1，即m2＋m>0，故m<－1或m>0.
答案 D
6．奇函数f(x)在[3,6]上是增函数，且在[3,6]上的最大值为2，最小值为－1，则2f(－6)＋f(－3)＝ ( )．
A．5 B．－5 C．3 D．－3
解析 由题意又∵f(x)是奇函数，∴2f(－6)＋f(－3)＝－2f(6)－f(3)＝－4＋1＝－3.
答案 D
7.图中的图象所表示的函数解析式
为 ( )．
A．y＝|x－1|(0≤x≤2)
B．y＝－|x－1|(0≤x≤2)
C．y＝－|x－1|(0≤x≤2)
D．y＝1－|x－1|(0≤x≤2)
解析 函数经过(0,0)，，只有B选项满足．
答案 B
8．规定记号“⊗”表示一种运算，即a⊗b＝ab＋a＋b2(a，b为正实数)．若1⊗k＝3，则k＝ ( )．
A．－2 B．1 C．－2或1 D．2
解析 根据运算有1·k＋1＋k2＝3，k为正实数，所以k＝1.
答案 B
9．设函数f(x)为奇函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f(－2)＝0，则xf(x)<0的解集为 ( )．
A．(－1,0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,0)∪(0,2)
解析 xf(x)<0⇔或所以或所以x>2或x<－2.
答案 C
10．对任意x∈R，函数f(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中的最大的一个，则f(x)的最小值是 ( )．
A．2 B．3 C．8 D．－1
解析 画出函数y＝－x＋3，y＝x＋，y＝x2－4x＋3在同一坐标系中的图象，则函数f(x)的图象为图中实线部分(如图)．当x＝1时，f(x)取最小值2.
答案 A
二、填空题(每小题5分，共25分)
11．函数f(x)＝的定义域是________．
解析 由log(x－1)≥0⇒0<x－1≤1⇒1<x≤2，所以函数f(x)＝的定义域是(1,2]．
答案 (1,2]
12．设函数f(x)＝x3cos x＋1，若f(a)＝11，则f(－a)＝________.
解析 记g(x)＝x3cos x，则g(x)为奇函数．
故g(－a)＝－g(a)＝－[f(a)－1]＝－10.
故f(－a)＝g(－a)＋1＝－9.
答案 －9
13．已知函数f(x)＝则f(f(2 013))＝________.
解析 f(2 013)＝2 013－100＝1 913，
∴f(f(2 013))＝f(1 913)＝2cos
＝2cos＝1.
答案 1
14．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<f的x的取值范围是________．
解析 由于f(x)是偶函数，故f(|2x－1|)<f.
再根据f(x)的单调性，得|2x－1|<，解得<x<.
答案
15．下列命题中：
①若f(x)是定义域为R的奇函数，对于任意的x∈R，都有f(x)＋f(2－x)＝0，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且周期为4；
②已知x1，x2是函数f(x)定义域内的两个值，且x1<x2，若f(x1)>f(x2)，则f(x)是减函数；
③若f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)也为奇函数，则f(x)是以4为周期的周期函数．
其中真命题的序号是________．
解析 对于①，由f(x)＋f(2－x)＝0知，其图象关于点(1,0)对称．又因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(2－x)＝－f(x)＝f(－x)，故该函数周期为2，①错误；对于②，不符合减函数的定义，②错误；对于③，由题意知，f(x＋2)＝－f(－x＋2)＝f(x－2)，故周期为4，③正确．所以真命题的序号为③.
答案 ③
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