辽宁省沈阳二中11-12学年高二数学下学期期中考试-文.doc

沈阳二中2011——2012学年度下学期期中考试
高二（13届）数学试题(文科)
说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分
2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上.
第Ⅰ卷 （60分）
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集，函数的定义域为集合，函数的定义域为集合，则集合（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数 则（ ）
A．0 B． C．1 D．
3．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A． B．
C． D．
4．函数在x＝1处取得极值，则的值为(　 　)
A． B． C． D．
5．过点作抛物线的切线，其中一条切线为（ ）
A. B. C. D.
6．函数在上是单调函数,则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知周期函数是定义在R上的奇函数，且的最小正周期为3， 的取值范围为( )
A. B. C. D.
8．如果函数的图像如右图，那么导函数
的图像可能是（ ）
9．设，在上任取三个数，以为边均可构成的三角形，则的范围是（ ）
A. B. C. D.
10．如图所示的曲线是函数的大致图象，则等于（ ）

第10题图
A. B.
C. D.
11．函数的图象关于点对称，且当时，，若则大小关系是（ ）
A. B. C. D.
12．设是R上的可导函数，且满足，对任意的正实数,下列不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 （90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．曲线在点处的切线的斜率为 。
14．，，，且，求实数的取值范围 .
15．已知函数＝若在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数的取值范围为________．
16．设，函数，若对任意的，都有
成立，则实数的取值范围为 .

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
定义在上的函数，，当时，，且对任意的
，有，
（1） 求的值；（2）求证：对任意的，恒有；
（3）判断的单调性，并证明你的结论。

18．（本小题满分12分）
已知函数
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在[1，3]上是减函数，求实数的取值范围。

19．（本小题满分12分）
已知函数为奇函数。
（1）判断函数在区间（1，）上的单调性；
（2）解关于的不等式：。

20.（本题满分12分）
已知。
（1）求函数的最小值；
（2）若存在，使成立，求实数的取值范围。

21.（本题满分12分）
某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第个月的利润 (单位：万元),
为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，即第x个月的当月利润率例如：
(1)求；
(2)求第个月的当月利润率；
(3)该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率。

22.（本题满分12分）
已知函数，；
（1）求在处的切线方程；
（2）若有唯一解，求的取值范围；
（3）是否存在实数，使得与在上均为增函数，若存在求出的范围，若不存在请说明理由

沈阳二中2011——2012学年度下学期期中考试
高二（13届）文科数学试题答案
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
C
D
B
D
B
D
A
C
C
D
A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13. 14. 15. 16.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17. 解： (1) ………………2分
(2) 当时， ，，当时，
当时 ，
∵ ∴
所以对任意的恒有 ………………6分
（3）设，则
由题知 ，∴
在上为增函数 ………………10分
18. 解：（1）函数
当 ………………2分
当x变化时，的变化情况如下：

—
0
+

极小值

由上表可知，函数；
单调递增区间是 极小值是 ………………6分
（2）由
又函数为[1，3]上单调减函数，
则在[1，3]上恒成立，所以不等式在[1，3]上恒成立．
即在[1，3]上恒成立． ………………10分
又在[1，3]为减函数，
所以 所以 ………………12分

19. 解：（1）函数为定义在R上的奇函数，
……………………2分
……………………4分
函数在（1，）上是减函数。 …………………6分
（2）由
是奇函数， ………………………8分
又，且在（1，）上为减函数，
解得
不等式的解集是…………12分

20. 解：（1）的定义域为，， ……………2分
令，得，
当时，；当时，， ……………4分
所以在上单调递减；在上单调递增，
故当时取最小值为。 ……………6分
（2）存在，使成立，即在能成立，等价于在能成立；
等价于 ……………9分
记，
则
当时，；当时，，
所以当时取最小值为4，故。 ……………12分

21. (1)由题意得f(1)=f(2)=f(3)=…=f(9)=f(10)=1,
∴g(10)= ……………2分
(2)当1≤x≤20，f(1)=f(2)=…=f(x-1)=f(x)=1,
∴g(x)=
当21≤x≤60时，
g(x)=
=
∴第x个月的当月利润率为
……………7分
(3)①当1≤x≤20时，是减函数，此时g(x)的最大值为
②当21≤x≤60时，

当且仅当时，即x=40时，
又∵,∴当x=40时，
故该企业经销此产品期间第40个月的当月利润率最大，最大值为. …………12分

22. 解：（1）； ……………3分
（2）原方程等价于，令
则函数与在轴右侧有唯一交点。

当或时 ，当时
在上单调递减，在上单调递增。
时有极小值，时有极大值
当有唯一解时或 ……………8分
（3），
当时 ，当时
在上单调递减，在上单调递增。
在上单调递减，在上单调递增。
与在上单调递增，
使得与在上均为增函数则满足，
不等式组无解，故不存在实数 ……………12分

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