2015届全国新课标Ⅰ卷高三预测金卷理科数学试题及答案.doc

2015届高三预测金卷（新课标I卷）
理科数学

一、选择题：（本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中 ，中有一项是符合题目要求的.
1．已知随机变量服从正态分布，，则
A．0.954 B．0.977 C．0.488 D．0.477
2．对任意复数，i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）

3.已知映射,其中，对应法则，若对实数，在集合A中不存在元素使得，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.已知函数，其中为实数，若对恒成立，
且 ，则的单调递增区间是
A． B．
C． 　 D．

5．如图，已知圆，四边形 为圆的内接正方形，分别为边的中点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
6.在区间和上分别取一个数，记为.则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为B
. . . .

7、一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是（0，0，0），（1，2，0），（0，2，2），（3，0，1），则该四面体中以平面为投影面的正视图的面积为（ ）
A． B． C． D．
8、阅读程序框图，若输入m=4，n=6，，则输出a，i分别是（ ）
A． B．
C． D．
9、设数字1，2，3，4，5，6的一个排列为，
若对任意的总有满足
则这样的排列共有（ ）
A．36 B．32 C．28 D．20

10. 过曲线的左焦点作曲线的切线，设切点为M，延长交曲线于点N，其中有一个共同的焦点，若，则曲线的离心率为
A. B. C. D.
11、若实数a，b，c，d满足，
则的最小值为（B　　）
A． B．９ C．８ D．2

12．已知函数，则关于的方程有5个不同实数解的充要条件是 （ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是______________.
14.当x，y满足时，则t=x﹣2y的最小值是　
15.已知是曲线的两条互相平行的切线，则与的距离的最大值为_____.
16．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量＝λ＋μ，则λ＋μ的最小值为___.

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.

18.如图，在三棱柱中，已知， ，，.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）设 ()，且平面与所成的锐二面角的大小为，试求的值.

19.根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：

降水量X
X<300
300≤X<700
700≤X<900
X≥900
工期延

误天数Y
0
2
6
10
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3 ,0.7 ,0.9.求：
（Ⅰ）工期延误天数Y的均值与方差；
（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．

y
x
P
l
D
B
A
O
C
Q
20.如图所示，已知过一点作抛物线的两条切线，切点分别为、；过点的直线与抛物线和线段分别相交于两点、和点．
（Ⅰ）求直线的方程；
（Ⅱ）试问：线段、、的长度的倒数是否构成等差数
列？请加以证明．

21.函数，若曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）.
（1）若在上存在极值，求实数的取值范围；
（2）求证：当时，.
22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲
如图所示,已知圆外有一点,作圆的切线,
为切点,过的中点,作割线,交圆于、
两点,连接并延长,交圆于点,连接交圆
于点,若.
（1）求证:△∽△;
（2）求证:四边形是平行四边形.

23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知圆的圆心，半径 ．
（Ⅰ）求圆的极坐标方程；
（Ⅱ）若，直线的参数方程为（为参数），直线交圆
于两点，求弦长的取值范围．
２４(本小题满分10分) 选修4－5：不等式选讲
⑴ 已知都是正数，且，求证：；
⑵ 已知都是正数，求证：.
理科数学答案

一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)
1.A 2. D 3. D 4. C 5. B 6.B
7. A 8. B 9. B 10. Ｄ　 11. Ｃ 12Ｃ.
简答与提示：
1.【知识点】正态曲线的性质的应用
【答案解析】A
2答案：D
5.【知识点】圆的方程；向量在几何中的应用；向量的运算.
【答案解析】B解析：解：因为圆M：（x-3）2+（y-3）2=4，圆心的坐标（3，3）半径为2.
,所以B正确.
6依题意知， a > b ， e ＝<，即 b > .如图所示

故所求概率为 P ＝1－ － ＝

7试题分析：根据平行投影的知识可知:该四面体中以 平面为投影面的正视图为一个上底为1，下底为2，高为2的直角梯形，所以面积为3.
9如果1不在前左边,则2必须在1的左边
(1)23456的次序保存不变,变化1的位置(123456)(213456)(231456)(234156)(234516)(234561)
(2)3456次序不变,1和2的次序为21(同时3必须在21的左边）
(321456)(324156)(324516)(324561)(342156)(342516)(342561)(345216)(345261)(345621)
(3)456次序不变(432156)(432516)(432561)(435216)(435261)(435621)(453216)(453261)
(453621)(456321)
(4)56次序不变(543216)(543261)(543621)(546321)(564321)
(5)6在最左(654321)32种可能
注：这题本身也有趣.
注意到当只有一个数时,可能排列为1,即2的0次,记2^0
当有两个数1和2时,排列为12,或21,为两种,2^1
当123时,排列为4＝2^2当数字为4个时,排列为8=2^3
5个数时,排列为16＝2^46个数时,排列为32＝2^5n个数时,排列为2^n-1
11.【答案解析】B 解析 ：解：∵实数a、b、c、d满足：
（b+a2-3lna）2+（c-d+2）2=0，
∴b+a2-3lna=0，设b=y，a=x，则有：y=3lnx-x2，且c-d+2=0，设c=x，d=y，则有：y=x+2，
∴（a-c）2+（b-d）2就是曲线y=3lnx-x2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值，
对曲线y=3lnx-x2求导：y′（x）=-2x，
与y=x+2平行的切线斜率k=1=-2x，解得：x=1或x=-（舍），
把x=1代入y=3lnx-x2，得：y=-1，即切点为（1，-1），
切点到直线y=x+2的距离：=，

∴（a-c）2+（b-d）2的最小值就是8． 故选：B．
【思路点拨】由题设b+a2-3lna=0，设b=y，a=x，得到y=3lnx-x2；c-d+2=0，设c=x，d=y，得到y=x+2，所以（a-c）2+（b-d）2就是曲线y=3lnx-x2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值，由此能求出（a-c）2+（b-d）2的最小值．

13 的展开式的通项公式为：
，因为第三项与第五项的系数之比为 ，所以 解得 所以常数项为第9项，所以展开式中的常数项为
14．
根据题意，首先画可行域，再分析可得t为目标函数纵截距一半的相反数，最后画直线0=x﹣2y，平移直线过A（0，2）时t有最小值即可．
解：画可行域如图，z为目标函数t=x﹣2y，
可看成是直线t=x﹣2y的纵截距一半的相反数，
画直线0=x﹣2y，平移直线过A（0，2）点时，t有最小值﹣4，
故答案为：﹣4．

15.【知识点】导数几何意义的应用。
【答案解析】 解析 ：解：设两切点： ，由
的，两切线方程为：
距离，所以最大距离为：

16.【知识点】基于正方形的平面向量的线性运算【答案解析】
.以A为坐标原点建立直角坐标系，设正方形边长为1，则
设，则，
解得，所以.
由于，当时，
【思路点拨】建立直角坐标系，把涉及向量分别用坐标表示，通过坐标运算得到关于的方程组，分别求出，再把转化为关于变量的三角函数.

17．解：（1）由,得. --------2分
由于是正项数列,所以.--------------------------------------------3分
由可得当时，，两式相减得，---------------5分
∴数列是首项为1，公比的等比数列，------------------------------------------------------------------7分
（2）∵------------------------------------------8分
方法一：∴
-----------------------------------------------11分
----------------------------------------------------------------14分
【方法二：∵-----------------11分

----------------------------
18.解析：（Ⅰ）因为侧面,
侧面，故,在中,
由余弦定理得：
，
所以， 故,所以,而
，平面
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，两两垂直.以为原点，所在直线为
轴建立空间直角坐标系.
则.
所以,所以,
则，. 设平面的法向量为，
则,，
令，则，是平面的一个法
向量.
平面,是平面的一个法向量，
.
两边平方并化简得，所以或（舍去）
（1）由已知条件和概率的加法公式有：
，
．
．
所以 的分布列为：

0
2
6
10

0．3
0．4
0．2
0．1
于是， ；
．
故工期延误天数 的均值为3，方差为 ．（2）由概率的加法公式，
又 ．由条件概率，得
．
故在降水量X至少是mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是
解（Ⅰ）设，则，过点处的切线方程为，由代入切线方程得即，由两点式得到直线的方程为……………… 5分
（Ⅱ）设直线，，由得。∴
又由得到即。……………… 7分
∴……………… 9分
∵是同号
∴
即……………… 12分
∴ ∴成等差数列
即线段、、的长度的倒数构成等差数列。………………
21.解：（1）∵
由已知 ∴ 得 ………2分
∴
当为增函数；
当时，，为减函数。
∴是函数的极大值点 ………4分
又在上存在极值
∴ 即
故实数的取值范围是 ………5分
（2）
即为 ………6分
令
则
再令 则
∵ ∴ ∴ 在上是增函数
∴ ∴
∴在上是增函数
∴时， 故 ………9分
令
则
∵ ∴ ∴ 即上是减函数
∴时， ………11分
所以， 即 ………12分
22. 证明:(1)∵是圆的切线, 是圆的割线, 是的中点,
∴, ∴,
又∵, ∴△∽△,
∴, 即.
∵, ∴, ∴,
∴△∽△. ………5分
(2)∵,∴,即,
∴, ∵△∽△,∴,
∵是圆的切线,∴,
∴,即,
∴, ∴四边形PMCD是平行四边形. ………10分

【知识点】直角坐标和极坐标互化、直线的参数方程的的应用
【答案解析】（Ⅰ）设圆上任意一点坐标，由余弦定理得：
,
整理得：.
（Ⅱ）∵，∴ ,
将直线的参数方程代入到圆的直角坐标方程中得：
,
整理得： ,
∴,
∴ ,
∵，∴，∴ .
【思路点拨】（I）利用余弦定理得到关于的圆的极坐标方程；（II）先把圆的极坐标方程转化为普通方程，再结合直线参数方程中参数的意义确定弦长.
1. 【命题意图】本小题主要考查不等式证明的相关知识，具体涉及到利用比较法等证明方法. 本小题重点考查考生的逻辑思维能力与推理论证能力.
【试题解析】解：（1）证明：.
因为都是正数，所以.
又因为，所以.
于是,即
所以； 5分
（2）证明：因为，所以. ①
同理. ② . ③
①②③相加得
从而.
由都是正数，得，因此. 10分

附加数列预测
已知数列满足：（其中常数）．
（1）求数列的通项公式；
（2）当时，数列中是否存在不同的三项组成一个等比数列；若存在，求出满足条件的三项，若不存在，说明理由。
解：（1）当时，，
当时，因为
所以：
两式相减得到：，即，又，
所以数列的通项公式是；
（2）当时，，假设存在成等比数列，
则．
整理得．
由奇偶性知r＋t－2s＝0．
所以，即，这与矛盾，
故不存在这样的正整数，使得成等比数列．

·21·