第五章二自由度系统的振动(2011版).doc

第五章 二自由度系统的振动

5.1 引言

前面三章分别讨论了1自由度系统的自由振动、强迫振动与瞬态振动，并把所述理论应用于几个实际问题。但工作中有很多比较复杂的振动系统，例如动力吸振器、振动研磨机等等，不能简化为1自由度的，而必须看为2自由度的或更多自由度的振系，这样才能反映问题的主要实质，从而使问题得到合理解决。
振动自由度的数目等于描述振动系统运动所必需的独立坐标的数目。需要个独立坐标来描述运动的振系称为自由度的振系。正如1自由度的振系有一个固有频率，自由度的振系有个固有频率（通常是不相等的）。在一般情况下，自由度振系的自由振动是由个主振动组合而成的。在每个主振动中，振系按一定形态以单一固有频率进行振动。也就是说，主振动是多自由度振系在特定的初始条件下，以单一频率进行的自由振动。在每个主振动中，系统各个坐标之间有着确定的比例关系，这种特定的振动形态称为主振型。一个自由度的振系有种主振型，分别对应于个固有频率。所以，多自由度振系的固有频率亦称主频率。后面将要指出，各个主振型可以取为系统的广义坐标，即所谓主坐标。而且系统的任何运动都可以表示为个主坐标运动的叠加。在正弦型激扰的作用下，振系的强迫振动按扰频进行，当绕频与振系的任一个固有频率相等时，对应的主坐标运动将趋于无限，即系统发生共振，一个自由度的振系有个共振频率。
随着振系自由度数目的增多，振动问题求解的工作量越来越繁重。不过，多自由度振系的许多基本概念都可以通过2自由度振系的问题来说明；而且，关于2自由度振系的理论本身有很重要的工程应用。所以本章专门讨论2自由度系统的自由振动与强迫振动，说明求固有频率与主振型的方法以及动力吸振器等装备的基本原理。这些内容也可以作为第六、七章自由度系统振动问题的引论。

5.2 自由振动

最一般的无阻尼2自由度振系可以简化为图5.2-1所示的情形：可沿光滑水平面滑动的两个质量与分别用弹簧与连至定点，并用弹簧互相藕连，三个弹簧的轴线沿同一水平线，质量与限于沿着这直线进行运动。这样，只须用坐标与就可以完全确定振系的运动。

图5.2-1

取与的静平衡位置与作为坐标轴与的原点。当物体有位移与时，弹簧伸长了，弹簧缩短了，弹簧有净伸长；作用于的力除重力与光滑水平面的法向反力互成平衡外，只有水平方向的弹性力（方向朝向右为正）与。由牛顿运动定律有

移项得
(5.2-1)
同理有
(5.2-2)
方程（5.2-1）与（5.2-2）就是图示2自由度振系自由振动的微分方程。为了书写方便，令
， ， ， （a）
于是方程（5.2-1）与（5.2-2）可写为
（5.2-3）

这是联立的二阶常系数线性微分方程组，令
， （5.2-4）
期中振幅与以及频率及相位角都还是未知的，代入（5.2-3），得

可见，只须有
（5.2-5）

则（5.2-4）在任何瞬时都满足（5.2-3），亦即（5.2-4）是微分方程组（5.2-3）的解。当时，
条件（5.2-5）显然成立，但这只代表振系的平衡情况，不代表任何振动情形。要使与有非零解，式（5.2-5）的系数行列式必须等于零，即
= (5.2-6)
或者
(5.2-7)

这是的二次式，称为振系的频率方程。的两个根为
　　　　 (b)
(c) 　
因为与都是正数，由式 （c）可见，与都是实根；又因（读者可自行证明），由式(b)可见后面的项小于，因而与都是正数。这样，频率方程（5.2-7）有两个正实根与。这两个频率唯一地决定于振系的参数与（参阅式（ａ）），称为振系的固有频率。现在来求振系的主振型。由方程（5.2-5）不能完全确定振幅与，但可以确定振幅比
，　　　　　　　　　　　　　　　　 （d）
由式(5.2-6)可见，这两个表达式总是相等的。以与代入，可得两个振幅比
　　　　 　　　　　　　　　（e）
　　　　 　　　　　　　　 （f）
关于相角不无任何限制，故解（5.2-4）可以有下列两个形式：
频率：　　　　　　　　　　　　　　　 　（g）
频率：　 　　　　 　　　　　　　　　 （h）
其中对应于式(c)中根号前取负号，是较低的固有频率；对应于式(c)中根号前取正号，是较高的固有频率。由式(c)可见

因此，振幅比＞，而＜，就是说，当振系以频率振动时，质量与的运动总是同相，二者同时往左或同时往右，示如图5.2-2(a);而当振系以频率振动时，则与的运动总是反相，在往左时往右，而在往右时往左，示如同图（b）。这两种形式的振动称为主振型振动。以较低频率进行的称为第一振型或低振型振动，图5.2-2（a）；以较高频率进行的称为第二振型或高振型振动，见同图（b）。

(a) p=p1 (b)p=p2
图 5.2-2
由方程（g）和（h）可见，振系的主振型振动是简谐振动，他们的周期分别为，与。在每一周期中，质量与都两次经过各自的平衡位置，并且同时达到各自的最远距离，他们的位移之比永远是一个定值。
方程（g）和（h）代表微分方程组（5.2-1）与（5.2-2）的两个特解，二者叠加，可得方程组的全解。
（5.2-8）

其中频率与以及振幅比与都决定于振系的参数，振幅与以及相角与则随运动的初始条件而改变。
全解（5.2-8）代表不同频率的两个简谐运动的叠加，不仅不再是简谐振动，而且除了与可以通约的情形外，一般不是周期的运动。
本章内容可扼要重述如下：2自由度振系有两个固有频率，对应于每个固有频率各有一个确定的振幅比，每个振幅比决定一种主振型，振系的任何自由振动都可以表示为两种主振型振动的叠加。下面举例说明。
例5.2-1．图5.2-1所示振系中，设，，求固有频率及主振型。
解：由方程（a）有
，
频率方程（5.2-7）简化为

求解得

因而固有频率为
， 　　　　　　 （i）
第一振型：
（j）
第二振型：
（k）
在第二振型中，两个质量以相同的振幅同向运动，中间弹簧无变形，可以用无重刚杆代替，。在第二振型中，两个质量以相同的振幅反向运动，中间弹簧始终不动，这两种情况分别如图5.2-3（a）与（b）示。

图5.2-3

例5.2-2。两个相同的单摆用弱弹簧k相连，图5.2-4。当量摆在铅垂位置时，弹簧不受力。试用振系在同一铅垂平面内进行微幅振动的固有频率与主振型。
解。取偏角与为坐标，以反时针方向为正，假定偏角很小，可令，。当左摆有偏角，右摆有偏角时，弹簧k有伸长,弹性力。分别对悬点与取矩，可得微分方程组：
(1)

图5.2-4
令

代入（1）可得

振幅比为

频率方程为

对求解
（m）
第一振型：

第二振型：

读者可自行画出振型图，并说明弹簧k在两种振型中受力情况。
例5.2-3. 求图5.2-5所示扭振系统的固有频率与主振型。
解. 设圆盘与有角位移与，分别取圆盘为分离体，列定轴转微分方程，得

图5.2-5

移项可得

令
，
代入微分方程组与，得

振幅比为

频率方程为

把上列方程与方程（5.2-1）至（5.2-6）比较，可以看出，只须作如下的替换：质量与以转动惯量与代替；抗拉弹簧系数，与以抗扭弹簧系数，与零代替；线位移与以角位移与代替；由方程（5.2-1）与（5.2-2）可以直接写出于。如仍引用记号（a），则由方程(5.2-5)与方程(5.2-6)可以直接写成与。这样，读者可以通过比拟自行求出固有频率与主振型。
例5.2-4. 同上例，但,图5.2-6.
解. 由，，与，可以直接写出
(n)

图 5.2-6
以代入可得

频率方程为

或者

固有
，
振幅比

对应于，振系没有振动，但可以作为一个刚体进行定轴转动。对应于，圆盘与恒沿相反方向运动；轴上有一个截面N始终保持不动，这个截面称为。节面至圆盘与的距离为
，
设将截面N固定，则左段轴的抗扭弹簧系数(等截面轴的抗扭弹簧系数与长度成反比)为,因而圆盘的固有频率为

读者可以自行验证：在长为的轴上的圆盘 的固有频率也等于。
本例还可以解答如下：由微分方程组（n）有

令，则上式可改写为

式中的系数即等于。可见图5.2-6所示的振系可以看为1自由度的，或者说，退化为1自由度的。

5.3 车辆的振动

车辆的振动式一个相当复杂的多自由度的问题。本节只考虑车体的上下振动与俯仰运动，因而只须用车体质心G的铅垂坐标系x与围绕横向水平质心轴的转角，图5.3-1，就可以完成确定车体的位置。这样，我们把车辆简化为2自由度的振系。
图中水平线代表车体的静平衡位置；前后弹簧的刚度系数与，由重心G至两个弹簧沿铅垂向德距离与，以及车体的重量mg与围绕横向水平质心轴的转动惯量J，假定都是已知的。
设在某瞬时t，车体有仰角，同时质心G有向下位移x，则前后弹簧将分别缩短与。由牛顿运动定律有

移项可得
(o)

图 5.3-1
由上列联立方程可见，变量x与一般不是彼此独立的，就是说，车体的上下振动势必伴随着俯仰振动，反之亦然。只有在的条件下，车体的上下振动或者俯仰振动可以单独发生（火车车辆是满足这个条件的，因为）。
令
（p）
并注意到，其中代表迴转半径，方程（o）可简化写为
（q）
设解得形式为
（r）
代入（q）有

振幅此
（s）
频率方程

对求解得

由式（p）知，>0,故与都是正实数，因而振系有两个固有频率

以与的表达式代入式（s），可得
第一振型：

第二振型：

例5.3-1. 国产SH760 型小轿车的有关数据如下：
前后轮轴之间的距离=2.83米，
空车 满载
前轮悬挂质量（单轮） 36.5公斤 410公斤
后轮悬挂质量（单轮） 305公斤 445公斤
前轮悬挂刚度（单轮） 20.5公斤/ 厘米 20.5公斤/厘米
后轮悬挂刚度（单轮） 22.5公斤/ 厘米 22.5公斤/ 厘米
迴转半径
试估计在满载时的上述固有频率与。
解. 前轮悬挂总重 2 410=820 公斤
后轮悬挂总量 2 445=890 公斤
汽车总重 mg=1710 公斤
质心G至前轮轮轴的水平距离
厘米
质心G至后轮轮轴的水平距离
厘米
刚度系数公斤/ 厘米
公斤/ 厘米
质量 /厘米
代入方程（p），有

迴转半径为

故
，
，

， 即1.12赫
即1,15赫

5.4 用初始条件表示自由运动

一个多自由度振动系统究竟按什么方式进行自由振动，决定于运动的初始条件。一个2自由度的振系最一般的自由振动可由方程（5.2-8）表示，即
（a）
其中频率与以及振幅比与都唯一的决定于振系的参数，而四个任意常数，即振幅与以及相角与，则随运动的初始条件而改变。一个2自由度振系共有四个初始条件，即在时的位移与速度：，，与。代入方程（a）及其导数
（b）

即可完全确定这四个任意常数。
以图5..4—1所示的系统为例，固有频率为（参阅例5.2—1）

图5.4—1

，
两个主振型的幅值比为
，
即，。
下面考虑三种不同情形的初始条件。
1.设在时有，，代入方程（a）与（b）有
（i）
（ii）
（iii）
（iv）
联立求解，可得
，
，
因而有
，，
代入方程（a）得

可见振系按第一振型进行振动，中间弹簧始终不受力。
2.设在时有，，，代入方程（a）与（b）有
(i)’
(ii)’
方程（iii）与（iv）同前，联立求解，可得
，
，
因而有
，，
代入方程（a），得

可见振系按第二振型进行振动，中间弹簧的中点始终静止不动。
3.设在时有，，，代入方程（a）有

上列二式连同（iii）与（iv）联立求解，可得
，
，
因而有
，
代入方程（a），得

由上述三种情形可以看出：一个2自由度系统的自由振动，设初始条件符合第一振型（情形A），则运动是频率的简谐运动，不出现频率的振动；类似地，设初始条件符合第二振型（情形B），则运动是频率的简谐运动，不出现频率的振动；但如初始条件不符合任一主振型（情形C），则运动将为两种主振型振动的叠加，频率与简谐运动同时发生，除了与可以通约的情形外，振系的运动一般不是周期的运动。
下面考虑频率与的振动同时发生而且两个频率差别很小的情形。以图5.2—4所示的系统为例。由式（m）知
，
现在假定，因此。
设在时有，，则此后的自由振动为

通过三角函数变换，并令频率差 ，可得

这样，左摆与右摆的运动可以看为频率的余弦运动与正弦运动，幅值不是常值，而是缓慢改变的函数与。角与随时间而改变的关系示如图5.4—2。在时，左摆的振幅为，而右摆静止不动，此后左摆振幅逐渐减小，右摆振幅逐渐增大，直到时（图上的），左摆静止不动，而右摆振幅等于；随后右摆振幅逐渐减小，右摆振幅逐渐加大，到时，两摆的振幅有回到时的情形。两个摆之间的动能相互传递，在每个时间间隔内重复一次。象这样振幅有规律地时而减小时而增大的现象称为拍。拍的周期为

拍的频率为

简称拍频。

（a）

（b）
图 5.4-2

本例中，能量在振系的两个物体之间互相传递。在一个物体可以进行两种振动（例如图5.3—1所示系统的平动与转动）的2自由度系统中，能量可以在两种振动之间互相传递。两种振动，如果频率差别很小，这幅将明显地交替消长。
拍的现象不仅出现于2自由度振系，频率很相近的任何两个简谐运动的叠加都可以得到拍的现象。例如两个简谐运动与，其中与几乎相等，。相加可得

其中
在从到的时间内，振幅从减小到后又回到。
在发电厂里，在发电机起动后而连接到输电线之前，有时可以听到哼哼声，以及双发动机螺旋桨飞机时强时弱的嗡嗡声，都是拍的现象。

5.5 2自由度振系的强迫振动，动力吸振器

本节以动力吸振器为例，说明两自由度系统的强波振动。
由弹簧悬挂的物体在正弦型扰力的作用下进行强迫振动，下面另用弹簧悬挂物体，图5.5—1，设与只能沿铅垂方向运动，取铅垂方向的坐标轴与，分别以两个物体在无扰力作用时的静平衡位置为原点，向下为正。当物体有位移与时，弹簧有伸长，弹簧有伸长。由牛顿运动定律有

图5.5-1

移项可得
（5.5—1）
令
（5.5—2）
代入（5.5—1）可得
（5.5—3）
系数行列式为
（5.5—4）
方程组（5.5—3）对与求解，有
， （a）
为了写成无量纲形式，把分子分母除以，并用记号
物体在常力作用下的静挠度
在无与时，系统的固有频率
系统本身的固有频率
方程（a）可以改写为
（5.5—5）
由第一式可见，当时，X1=0,亦即当扰频等于k0-ma系统的固有频率时，在交变力F0sin 作用下的物体m静止不动。由第二式可见，当w=p0时，有
（5.5—6）
代入（5.5—2），可得物体的运动方程

因而弹簧作用于物体的力为，刚好与扰力相抵消。
这样，只须附加一个弹簧与质量，就可以使原来的系统在交变扰力作用下进行的强迫振动完全消失。这就是动力吸振器的基本原理，附加的系统称为动力吸振器。当然，为了吸振，必须调整与的值，使吸振器的固有频率等于扰力的频率。
机器或结构物，在交变力的作用下，特别是固有频率与扰频相近的情况下，往往发生剧烈的振动。为了减除振动，最好是消除振源，但一般说这是不可能的；其次是避免共振，使固有频率远离扰频，但是受各种条件限制，实际上并不都能做到这一点。在无法避免共振的情形下，采用动力吸振器时一种有效的减振措施。
但是，加上吸振器固然使物体在时完全没有振动，却同时使原来的1自由度振系改变为2自由度的，因而有两个固有频率每当扰频与其中任一固有频率相等时，系统都要发生共振。因此，如果扰频可以在相当大的范围内改变，则动力吸振器只是使原来有一个共振频率的振系改变有两个共振频率的振系，起不了吸振的作用。所以，这种动力吸振器只适用于扰频基本固定的情形，例如同步电机等恒速运转的机器。
前面导出的各个关系式，对于有任一值时都同样成立。不过，倘若不近于，亦即原来的系统远离共振，那就没有必要采用吸振器。因此，我们就假定系统已调整至
，即，或者
并用质量比

表征吸振器相对于原来振系的大小。于是方程（5.5—5）可写为

上列二式分母相同，令分母等于零，即可求出共振频率（即振的固有频率）：

或者

可得

（5.5—7）
可见根号项的值< 而>，因而有两个正根，一个>1，另一个<1，亦即有两个共振频率，一个>，两一个<（现在）。频率比与质量比的关系如图5.5—2示。在吸振器质量等于原振系质量的时，共振频率为0.8与1.25。对应的原振系质量的振幅与频率比的关系，如图5.5-3示；由图可见，在扰频恰等于时，原振系质量完全没有振动，只要稍微偏离，振幅就很快增大；这当然只是在没有阻尼的情形下才会发生。实际的吸振器总有一些阻尼，在时，的振幅并不等于零，而在时，吸振器仍能起一定的减振作用。

质量比 频率比
图5.5-2 图5.5-3

吸振器质量大小的选取，应与扰力力幅成正比，与容许的弹簧的最大变形成正比，因为弹簧作用于的力刚好同扰力相抵消，即（取绝对值），而在w=pa时，有
，故。

例 5.5-1。 装在梁上的转动机器，图5.5-4，由于转子的不平衡，在1450转/分时，发生剧烈的上下振动。建议在梁上装动力吸振器，试求吸振器弹簧系数与质量，已知不平衡的最大值约为12公斤，并要求吸振器质量的振幅不超过0.1厘米。

图5.5-4

解：机器与梁的共振频率为

吸振块重约5.1公斤。

吸振块重约5.1公斤。
例. 5.5-2. 在例5.2-4所述系统中，假设在圆盘上作用有转矩。试讨论系统的强迫振动。
解： 在有转矩作用时，系统的运动微分方程可列为

(a)
设系统的强迫振动为

(b)
将(b)代入（a）,可得

(c)
由（c）可解得

(d)
其中

当时，系统将发生共振。共振频率分别为
与
当时，有。在这种情形下，不论激扰力矩幅值多大，圆盘始终保持零振幅。这一现象常称为反共振，这时，轴与圆盘相当于构成了一个动力吸振器。
例 5.2-4 曾经指出，该轴系在第二主振型自由振动中，轴的节面是固定不变的（见图5.2-6）。可是，在强迫振动中，轴的节面是随扰频而改变的。现在看来当扰频在附近变动时，轴的节面所发生的变化。
由式（d）可见，当时，A与B异号，因而轴的节面位于与之间。而当时，A与B同号，且有A/B<1，故轴的节面将移到的左侧。当时，有A=0，也就是说，这时轴的节面刚好移到圆盘处。

5.6 离心摆式吸振器

上节所讨论的动力吸振器广泛地应用于消除扰频基本不变的振系强迫振动，例如由转速恒定的机器的不平衡力所激发的振动；吸振器的固有频率调整至于扰频相等，除非另行调整，是定值。对于转速可以在大范围内改变的机器，例如汽车内燃机与航空发动机，扰频随着转速而大范围改变，要能起吸振的作用，必须吸振器本身的固有频率能自动地同样随着转速而改变，始终保持等于扰频。离心摆式吸振器就是很理想地满足这样要求的减振装置之一。

图5.6-1

图5.6-1是离心摆式吸振器的示意图。假定以角速度绕定轴转动的圆盘，同时有振幅为、频率为的扭动振动、圆盘的角速度可以表示为
（5.6-1）
其中振动频率随着转速的改变而成比例地改变。为了消除这个扭转振动，在圆盘上的点附装一个单摆，可以在圆盘平面内绕悬点自由摆动，单摆长度令为，由悬点至转轴轴线的距离令为R。
先求出摆锤P的加速度。在圆盘平面内，通过轴心作静止坐标系，并通过悬点作动坐标系。点以速度作圆周运动，但动轴与始终平行于定轴与，亦即进行平动，这坐标平面内任一点的加速度都等于点的加速度，故摆锤P的牵连加速度有分量与。相对于动坐标系，单摆以角速度绕悬点转动，故摆锤P的相对加速度有
切向分量
法向分量
这四个加速度分量的矢量和即为摆锤P的绝对加速度，将其投影之切向与法向，有

要使摆锤有切向加速度，必须有相应的切向力，但实际上没有这个力，故，即
（a）
假定单摆进行微幅振动，角很小，可令，，式（a）可改写为
（b）
以方程（5.6-1）及其导数

带入式（b）并假定，可以近似地令，即可得出单摆的相对运动微分方程
（5.6-2）
可见单摆自由振动的固有频率为
（5.6-3）
与转轴的角速度成正比。单摆的强迫振动，即微分方程（5.6-2）的特解，可表示为

其中

故
（5.6-4）
可见在时，转轴的振幅，即没有扭转振动。这样，不论转轴的转速（因而扰频）怎样改变，单摆的固有频率能自动地随着改变，始终保持消除扭转振动的作用。

习 题

5.1 拉紧的软绳附着两个质量与，当质量沿着垂直于绳的方向进行运动时，绳的张力T保持不变。试写出微幅振动的微分方程。

题图 5.1

答：

5.2 设上题中，试求微幅振动的固有频率及主振型。
答： ，
，
5.3 求图示扭振系统的固有频率，画出主振型图，并证明节面N至的距离为

题图5.3

5.4 同上题，设 ，， ， ，直径，。转轴材料的剪切弹性模量为。试求固有频率，画出主振型图，并求出节面至的距离。
5.5 均质等截面钢梁，重为p两端用弹簧悬挂使成水平，弹簧成铅垂，刚度系数各为。试求梁在铅垂平面内振动的固有频率。
答： ，

题图 5.5

5.6 质量可以不计的钢杆，可绕杆端水平轴O转动；另端附有质点，并用弹簧吊挂另一质点；中点支以弹簧使杆成水平。设弹簧的刚度系数均为，质点的质量均为，试求振系的固有频率。

题图 5.6

答： ，
5.7 试用m的坐标与2m的坐标写出振系的运动微分方程。钢杆AB的重量可以不计。

题图 5.7

答：

5.8 二层楼房屋简化成集中质量的2自由度振系，如附图所示。设，，试证明主振型为
对应于
对应于

题图5.8

5.9 设有水平作用力作用于上题的，使它产生单位挠度，然后突然释放，试用主振型的叠加写出与的运动方程。
答：

5.10 设上题5.8的房屋上，有水平扰力作用于，试求每层楼的稳态运动方程。
答：

5.11 机器重200公斤，以恒速1800转/分运转，转子的不平衡度为，设吸振物体重为，试求应有的弹簧系数的值，并估计的振幅。

题图 5.11

答： ，
5.12 试求图示两个物体沿铅垂方向振动的固有频率及主振型的幅值比。设，，滑轮、弹簧与软绳的质量及阻力都可以不计。
答： ，
，

题图 5.12

5.13. 同上题。设在静平衡位置是，左边物体m1突然收到撞击，有向下的速度，试求m1与m此后的运动方程。
答.

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