八年级数学上册一次函数与一元一次不等式导学案-(修复的).docx

☆发散思维 ☆点拨方法 ☆开发智能 ☆因材施教 ☆直线提分

八年级数学上册导学案（二十八）
杨成超
l 一次函数与一元一次不等式
【教学目标】：
1、了解一元一次不等式与一次函数的关系.
2、会根据题意列出函数关系式，画出函数图象，并利用不等关系进行比较
【教学重难点】：
自己根据题意列出函数关系式，并把函数关系式与一元一次不等式联系起来作答。
【自学指导】：
Ø 学生看P124---P126思考以下问题：
1、 思考课本P124-125的两个问题，与同学交流：是不是所有的一元一次不等式都可转化为一次函数的相关问题呢？它在函数图象上的表现是什么？如何通过函数图象来求解一元一次不等式？
归纳： 由于任何一元一次不等式都可以转化的ax+b>0或ax+b<0（a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大于（或小于）0时，求自变量相应的取值范围．
2、细读课本P125例2 用画函数图象的方法解不等式5x+4<2x+10．
3、归纳：课本P126.
【自学检测】：
1、解答下列问题，思考问题间的联系？　　
①解不等式3x－15<0　
②当自变量x为何值时，函数y=3x－15的值小于0？　　
③解不等式5x+6>3x+10　　　
④当自变量x为何值时，函数y=2x－4的值大于0？　
2、试将下列解不等式转化为函数的问题：　　
①解不等式－2x+4>0可看作：当x<2时，函数y= 的函数值大于0.　　
②解不等式3x+2<0可看作：当x 时，函数 的函数值小于0.　　
③解不等式5x+4<2x+10可看作：当x 时，函数 的函数值 0　
3.作出函数y=2x－5的图象，观察图象回答下列问题.
（1）x取哪些值时，2x－5=0? （3）x取哪些值时，2x－5＜0?
（2）x取哪些值时，2x－5＞0? （4）x取哪些值时，2x－5＞3?
4.想一想
如果y=－2x－5,那么当x取何值时，y＞0?
3.达测深化
兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9 m，然后自己才开始跑，已知弟弟每秒跑3 m，哥哥每秒跑4 m，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：
（1）何时弟弟跑在哥哥前面？
（2）何时哥哥跑在弟弟前面？
（3）谁先跑过20 m？谁先跑过100 m？
【教学指导】：
1、会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集。
2、通过作函数图像，观察函数图像，进一步理解函数概念，体会一次不等式，一次函数及一次方程的内在联系，提高识图能力。
3、理解一元一次不等式组及其解的意义，掌握利用一元一次不等式的解集的数轴表示求不等式组的解和解集的方法。
【师生共同探究，总结】：
u 知识点一：一元一次不等式的概念
（1）概念：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是１，这样的不等式叫做一元一次不等式，且最简形式为ax>b或ax<b，其中x是未知数，a，b是常数，且a≠0.
（2）一元一次不等式和一元一次方程概念的异同点。
相同点：都只含有一个未知数，未知数的最高次数是１，左右两边都是整式。
不同点：一元一次不等式表示不等关系，一元一次方程表示相等关系

u 知识点二：一元一次不等式的解法
（1）一元一次不等式的一般步骤：
①去分母（根据不等式性质2或3）
②去括号（根据去括号法则）
③移项（根据不等式性质1）
④合并同类项（合并同类项法则）
⑤把ax>b或ax<b化为系数为1的未知数x（根据不等式性质2或3）
（2）一元一次不等式和一元一次方程解法的异同点
相同点：步骤相同，都是经过变形化为左边x，右边常数。
不同点：在进行①与⑤步变形时，要根据不等式两边都乘以（或除以）的数的符号，决定是否要改变不等号方向，这正是解不等式时最易出错的地方，是解不等式的难点。
注意：（1）解不等式的其他步骤可以仿照解方程的方法。
（2）解不等式时，上述五个步骤不一定都能用到，根据题目灵活取舍。
u 知识点四：一次函数y=kx+b（k≠0）的图像性质。
若点在此图像上。
当k>0时，若，则，
当k<0时，若，则
说明：通过对图像的直观观察，体会得到：
（1）可以运用函数图像解不等式
（2）可以运用解不等式帮助研究函数问题。

u 知识点五：一次函数、一次方程和一次不等式的联系
一次函数y=kx+b（k≠0）
若已知x或y的取值，而确定y或x的值，则转化为解关于y或x的一次方程，若已知x或y的不等关系时，则转化为解关于y或x的一元一次不等式。

知识点六：一元一次不等式组的有关概念
1、一元一次不等式组：关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
2、一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。
说明：当几个不等式的解集没有公共部分时，我们就叫做这个一元一次不等式组无解。
u 由此可见，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切关系，当函数值等于0时即为方程，当函数值大于或小于0时即为不等式.
u 从数的角度看: 求ax+b>0或ax+b<0（a、b为常数，a≠0）的解 与 x为何值时， 的值大于（或小于）0？是同一问题。
从形的角度看： 求ax+b>0或ax+b<0（a、b为常数，a≠0）的解 与确定直线 与x轴的上方或下方是同一问题。
u 一次函数y=kx＋b与一元一次方程kx＋b=0和一元一次不等式的关系：函数y=kx＋b的图象在x轴上的点所对应的自变量x的值，即为不等式kx＋b>0的解集；在x轴上所对应的点的自变量的值即为方程kx＋b=0的解；在x轴下方所对应的点的自变量的值即为不等式kx＋b<0的解集.
【精品例题】：
1.一元一次不等式与一次函数之间的关系.
大家还记得一次函数吗？请举例给出它的一般形式.
如y=2x－5为一次函数.
在一次函数y=2x－5中，
当y=0时，有方程2x－5=0;
当y＞0时，有不等式2x－5＞0;
当y＜0时，有不等式2x－5＜0.
由此可见，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切关系，当函数值等于0时即为方程，当函数值大于或小于0时即为不等式.
2.作出函数y=2x－5的图象，观察图象回答下列问题.

（1）x取哪些值时，2x－5=0?
（2）x取哪些值时，2x－5＞0?
（3）x取哪些值时，2x－5＜0?
（4）x取哪些值时，2x－5＞3?
3.兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9 m，然后自己才开始跑，已知弟弟每秒跑3 m，哥哥每秒跑4 m，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：
（1）何时弟弟跑在哥哥前面？
（2）何时哥哥跑在弟弟前面？
（3）谁先跑过20 m？谁先跑过100 m？
（4）你是怎样求解的？与同伴交流.
4. 作出函数y1=2x－4与y2=－2x+8的图象，并观察图象回答下列问题：
（1）x取何值时，2x－4＞0？
（2）x取何值时，－2x+8＞0?
（3）x取何值时，2x－4＞0与－2x+8＞0同时成立？
（4）你能求出函数y1=2x－4，y2=－2x+8的图象与x轴所围成的三角形的面积吗？并写出过程.
解：图象如下：

【作业与教学反思】：
1.已知y1=－x+3，y2=3x－4,当x取何值时，y1＞y2？你是怎样做的？
2.对于一次函数，当为何值时，
（1）. y＞0？ （2）. y=0？ （3）. y＜0？
3.一艘轮船以20km/h的速度从甲港驶往160km远的乙港，2h后，一艘快艇以40km/h的速度也从甲港驶往乙港．请你分别列出轮船和快艇行驶的路程y (km)与时间x (h)的函数关系式，在图中的直角坐标系中画出函数图象，并观察图象回答下列问题：
（1）何时轮船行驶在快艇的前面？
（2）何时快艇行驶在轮船的前面？
（3）哪一艘船先驶过60km？哪一艘船先驶过100km？
4.作出函数的图象，观察图象，回答下列问题：
（1）x取什么值时，y大于-2？
（2）x取什么值时，y小于-2？
（3）x取什么值时，y大于0．
知识性内容的小结，可把课堂教学传授的知识尽快化为学生的素质，数学思想方法的小结，可便学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，并且逐渐培养学生的良好的个性品质目标,因此让学生归纳并总结出本节课的知识点与数学思想方法.
5